Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

JKaradakov · 07-11-12

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Έπρεπε να αποδείξω πως ο μιγαδικός $w=\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{{z}_{1}-{z}_{2}}$ ανηκει στο R

Έπρεπε να αποδείξεις ότι είναι ίσος με τον συζηγή του.

Mercury · 07-11-12

Χρειάζομαι μία επαλήθευση.

Αν $z\in I$ και $z\neq i$ να δείξετε πως ο αριθμός $w=\frac{{z}^{3}+i}{z-i}$ είναι αρνητικος πραγματικός αριθμός

Αφού $z\in I \Rightarrow-z=\bar{z}$
Για να είναι ο w πραγματικός θα πρέπει να ανήκει στο R άρα $w=\bar{w}$
$\bar{w}=\frac{-\bar{z}^{3}-i}{-\bar{z}+i} =\frac{-({z}^{3}+i)}{-(z-i)}=w$

Ή κάνω κάπου λάθος;Και το αρνητικό πως το δείχνουμε; :worry:

antonisd95 · 7 Νοεμβρίου 2012

θέσε ζ=yi yER
θα σου βγει μία εξίσωση που έχει πάντα αρνητικό πρόσημο .

αν δείξεις μόνο ότι είναι αρνητικός δεν χρειάζεται να δείξεις ότι είναι και πραγματικός.

Mercury · 07-11-12

Αρχική Δημοσίευση από antonisd95:
θέσε ζ=yi yER
θα σου βγει μία εξίσωση που έχει πάντα αρνητικό πρόσημο .

αν δείξεις μόνο ότι είναι αρνητικός δεν χρειάζεται να δείξεις ότι είναι και πραγματικός.

Ευχαριστώ!
Αντικατέστησα όπου z=yi και κατέληξα σε αρνητικό πραγματικό αριθμό.

antonisd95 · 07-11-12

πρέπει να καταλήξεις σε άπειρους αρνητικούς αριθμούς :hmm:

Mercury · 07-11-12

Αρχική Δημοσίευση από antonisd95:
πρέπει να καταλήξεις σε άπειρους αρνητικούς αριθμούς

Ups...Βλακεία μου.Ξέχασα μία δύναμη :redface:

Mercury · 08-11-12

Η σημερινή απορία
$w=\frac{z+2\bar{z}}{{z}^{2}}$
Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του z αν ισχύει $w\in I$

Απο ότι κατάλαβα,αντικαθιστώ όπου $z=x+yi$ και φέρνω το w σε μορφή $a+bi$ όπου μετά μηδενίζεται το πραγματικό μέρος,δηλαδή ο αριθμητής είναι 0,και απο εκεί προσπαθώ να καταλήξω σε μία σχέση για τα x,y.
Σωστα;

Πληροφοριακά είναι η άσκηση 55,σελίδα 34(Γεωμετρικοί τόποι) απο τον πρώτο τόμο του βοηθήματος του Μπάρλα.

gregory nub · 08-11-12

Εγώ αυτές αν θυμάμαι καλά τις έλυνα λέγοντας

w= -w(συζηγής) και μετά συνέχιζα.

JKaradakov · 08-11-12

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Η σημερινή απορία
$w=\frac{z+2\bar{z}}{{z}^{2}}$
Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του z αν ισχύει $w\in I$

Απο ότι κατάλαβα,αντικαθιστώ όπου $z=x+yi$ και φέρνω το w σε μορφή $a+bi$ όπου μετά μηδενίζεται το πραγματικό μέρος,δηλαδή ο αριθμητής είναι 0,και απο εκεί προσπαθώ να καταλήξω σε μία σχέση για τα x,y.
Σωστα;

Πληροφοριακά είναι η άσκηση 55,σελίδα 34(Γεωμετρικοί τόποι) απο τον πρώτο τόμο του βοηθήματος του Μπάρλα.

Δεν έχεις καμία άλλη σχεση για το z? :hmm:

Αν όχι τότε κάνε αυτό που λέει ο greg.

Mercury · 08-11-12

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Δεν έχεις καμία άλλη σχεση για το z? Αν όχι τότε κάνε αυτό που λέει ο greg.

Αυτή ήταν η επομενη σκέψη μου.
Καταλήγω στο ακόλουθο:
$\bar{z}(z\bar{z}+2\bar{{z}^{2}})-z(2{z}^{2}+z\bar{z})=0$

Κάνω αντικαταστάσεις και λύνω το τέρας που προκύπτει ή υπάρχει κάτι άλλο;

stelios1994-4 · 08-11-12

Οτι είναι τέρας είναι τέρας, και σίγουρα θα υπάρχει κάτι άλλο, αλλα γιατί σου βγαίνει μείον? (μείον είναι, μετα το ειδα

)

rebel · 8 Νοεμβρίου 2012

Δεν νομίζω ότι υπάρχει βασιλική οδός. Πράξεις, πράξεις, πράξεις...

$w=\frac{z+2\bar{z}}{z^2}=\frac{(z+2\bar{z})\bar{z}^2}{z^2\bar{z}^2}=\frac{z \bar{z}^2+2\bar{z}^3}{|z|^4}=\frac{|z|^2 \bar{z}+2\bar{z}^3}{|z|^4}\stackrel{z=x+yi}{=}\cdots = \frac{3x^3-5xy^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{y^3-7x^2y}{(x^2+y^2)^2}i$
Tώρα ο w ανήκει στον γεωμετρικό τόπο αν και μόνο αν

$\begin{cases}w \in \mathbb{I} \\ z \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\frac{3x^3-5xy^2}{(x^2+y^2)^2}=0 \\ (x,y) \neq (0,0) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x(\sqrt{3}x-\sqrt{5}y)(\sqrt{3}x+\sqrt{5}y)=0 \\ (x,y) \neq (0,0) \end{cases}$

Άρα ο ζητούμενος γ.τ. είναι οι ευθείες $y=\sqrt{\frac{3}{5}}x,\,\,\,y=-\sqrt{\frac{3}{5}}x,\,\,\,x=0$ με εξαίρεση το σημείο (0,0)

Aris90 · 09-11-12

Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο x0=2 και ισχυει $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)f(x)+sun\frac{px}{4}}{{(x-2)}^{2}}=3$
να βρεθει τη τιμη f(2)
sun=συν
τι λετε για αυτη την ασκησκη? :hmm:

rebel · 9 Νοεμβρίου 2012

Επειδή η f είναι συνεχής είναι $\lim_{x \to 2}f(x)=f(2)$ οπότε αρκεί να βρούμε το όριο της f καθώς το χ τείνει στο 2. Μας δίνει σαν δεδομένο το όριο μίας συνάρτησης που περιέχει την f. Ως συνήθως θέτω

$g(x)=\frac{(x-2)f(x)+\sigma \upsilon \nu \frac{\pi x}{4}}{(x-2)^2}$ η οποία ορίζεται για κάθε $x \in D_f \backslash\{2 \}$

οπότε για χ κοντά στο 2 είναι

$f(x)=g(x)(x-2)-\frac{\sigma \upsilon \nu\frac{ \pi x}{4}}{x-2}\,\,\,(1)$

Από τριγωνομετρία ξέρουμε γενικά ότι $\sigma \upsilon \nu a=\eta \mu \left(\frac{\pi}{2}-a\right)$ . Για $a=\frac{\pi x}{4}$ θα έχουμε

$\sigma \upsilon \nu \frac{\pi x}{4}=\eta \mu \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi x}{4}\right)=\eta \mu \left( \frac{\pi}{4}(2-x)\right)$

και

$\lim_{x \to 2}\frac{\sigma \upsilon \nu \frac{\pi x}{4}}{x-2}=\lim_{x \to 2}\left[-\frac{\pi}{4}\frac{\eta \mu \left( \frac{\pi}{4}(2-x)\right)}{\frac{\pi}{4}(2-x)}\right]\stackrel{u=\frac{\pi}{4}(2-x)}{=}\lim_{u \to 0} \left(-\frac{\pi}{4}\frac{\eta \mu u}{u}\right)= \\ -\frac{\pi}{4}\cdot 1=-\frac{\pi}{4} \,\,\,(2)$

Τελικά από (1) και (2) παίρνουμε

$\lim_{x \to 2} f(x)= 0 \cdot 3 - \left(- \frac{\pi}{4}\right)= \frac{\pi}{4}$

mary-blackrose · 10-11-12

θα ηθελα τη βοηθεια σας στις παρακατω ασκησεις..... :worry:

1)δινεται συναρτηση f(x)=x+ριζα(χ^2+1).
i)Να αποδειξετε οτι f(x)>0 για καθε χ ε R.
ii)ν.δ.ο f γνησιως αυξουσα

2)εστω συνεχης συναρτηση f:[0,1]-->R με 4<=f(x)<=5 για καθε χ ε [0,1].Ν.δ.ο η εξισωση f^2 (x)-5f(x)+4x=0 εχει μια τουλαχιστον ριζα στο διαστημα (0,1).

3)εστω η συνεχης συναρτηση f:R-->R για την οποιαα ισχυει f^3 (x)+f^2 (x)+f(x)=xe^x -συνχ για καθε χ ε R.Ν.δ.ο η εξισωση f(x)=0 εχει μια τουλαχιστον λυση στο (0,1).

4)Αν f ,g συνεχεις με συνολο τιμων το [α,β] και f(α)=α , f(β)=β ,δειξτε οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ ε (α,β):2f(ξ)=g(f(ξ))+g(ξ).

στις ασκησεις 2,3,4 γνωριζω τη διαδικασια αλλα μπερδευομαι στο πως θα βρω ποια ειναι στο f(0) , f(1) και f(α) ,f(β) θετικα και αρνητικα .......

Civilara · 10 Νοεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
1)δινεται συναρτηση f(x)=x+ριζα(χ^2+1).
i)Να αποδειξετε οτι f(x)>0 για καθε χ ε R.
ii)ν.δ.ο f γνησιως αυξουσα

f(x)=x+((x^2)+1)^(1/2), x ανήκει R

i) Υπενθυμίζουμε την ταυτότητα |x|>=-x για κάθε x ανήκει R. Έχουμε

1>0 <=> (x^2)+1>(x^2) <=> ((x^2)+1)^(1/2)>|x|>=-x => ((x^2)+1)^(1/2)>-x <=> x+((x^2)+1)^(1/2)>0
Επομένως f(x)>0 για κάθε x ανήκει R

ii) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο

f΄(x)=[x+((x^2)+1)^(1/2)]/[((x^2)+1)^(1/2)]=f(x)/[((x^2)+1)^(1/2)]>0 αφού f(x)>0 για κάθε x ανήκει R
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
2)εστω συνεχης συναρτηση f:[0,1]-->R με 4<=f(x)<=5 για καθε χ ε [0,1].Ν.δ.ο η εξισωση f^2 (x)-5f(x)+4x=0 εχει μια τουλαχιστον ριζα στο διαστημα (0,1).

Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=(f(x))^2-5f(x)+4x, x ανήκει [0,1]. Επειδή η f είναι συνεχής στο [0,1] τότε και η g είναι συνεχής στο [0,1].

4<=f(x)<=5 => 16<=(f(x))^2<=25
4<=f(x)<=5 => -25<=-5f(x)<=-20
0<=x<=1 => 0<=4x<=4

Προσθέτοντας τις 3 ανισότητες κατά μέλη προκύπτει -9<=(f(x))^2-5f(x)+4x<=9 => -9<=g(x)<=9

Επειδή η g είναι συνεχής στο [0,1] τότε η εικόνα του [0,1] είναι διάστημα και επομένως g([0,1])=[-9,9] και επειδή 0 ανήκει [-9,9] τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο [0,1] τέτοιο ώστε g(ξ)=0

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
3)εστω η συνεχης συναρτηση f:R-->R για την οποιαα ισχυει f^3 (x)+f^2 (x)+f(x)=xe^x -συνχ για καθε χ ε R.Ν.δ.ο η εξισωση f(x)=0 εχει μια τουλαχιστον λυση στο (0,1).

Θεωρούμε την πολυωνυμική συνάρτηση g(x)=(x^3)+(x^2)+x όπου x ανήκει R. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο g΄(x)=3(x^2)+2x+1=2(x^2)+[(x^2)+2x+1]=2(x^2)+((x+1)^2)>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο R και επομένως είναι 1-1, οπότε και αντιστρέψιμη. Επειδή lim(x->-άπειρο)g(x)=- άπειρο, lim(x->+άπειρο)g(x)=+άπειρο και η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R τότε το πεδίο τιμών της g είναι g(R)=(-άπειρο,+άπειρο)=R. Επειδή 0 ανήκει g(R)=R και η g είναι 1-1 τότε υπάρχει μοναδικό ξ στο R τέτοιο ώστε g(ξ)=0.

Παρατηρούμε ότι g(0)=0. Η g είναι 1-1 οπότε
g(ξ)=g(0) <=> ξ=0 η μοναδική ρίζα της εξίσωσης g(x)=0

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=x(e^x)-συνx, x ανήκει R. Η h είναι συνεχής στο R και έχουμε h(0)=-1<0 και h(1)=e-συν1>0 αφού e>1>συν1. Η h είναι συνεχής στο διάστημα [0,1] και ισχύει h(0)h(1)<0, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (0,1) τέτοιο ώστε h(x0)=0.

Η αρχική εξίσωση που ισχύει για κάθε x στο R γράφεται στη μορφή g(f(x))=h(x). Επομένως έχουμε:

g(f(x))=h(x) <=> f(x)=(g-1)(h(x)), όπου x ανήκει R

Επίσης έχουμε g(0)=0 <=> (g-1)(0)=0

Για x=x0 έχουμε:

f(x0)=(g-1)(h(x0))=(g-1)(0)=0. Επομένως f(x0)=0.

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
4)Αν f ,g συνεχεις με συνολο τιμων το [α,β] και f(α)=α , f(β)=β ,δειξτε οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ ε (α,β):2f(ξ)=g(f(ξ))+g(ξ).

α<=f(x)<=β
α<=g(x)<=β
α<=x<=β

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=g(f(x))+g(x)-2f(x), x ανήκει [α,β]. Επειδή η f και η g είναι συνεχείς στο [α,β] και η f έχει πεδίο τιμών το [α,β] τότε και η h είναι συνεχής στο [α,β]. Έχουμε:

h(α)=g(f(α))+g(α)-2f(α)=g(α)+g(α)-2α=2g(α)-2α=2(g(α)-α)>=0 αφού α<=g(α)<=β
h(β)=g(f(β))+g(β)-2f(β)=g(β)+g(β)-2β=2g(β)-2β=2(g(β)-β)<=0 αφού α<=g(β)<=β

Αν g(α)=α τότε h(α)=0
Αν g(β)=β τότε h(β)=0
Αν g(α) διάφορο α και g(β) διάφορο β τότε h(α)>0 και h(β)<0. Επομένως η h είναι συνεχής στο [α,β] και h(α)h(β)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bozano υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε h(ξ)=0

Επομένως υπάρχει ξ στο [α,β] ώστε h(ξ)=0 <=>2f(ξ)=g(f(ξ))+g(ξ)

rebel · 10-11-12

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (0,π/2) τέτοιο ώστε h(x0)=0.

Όμως $(0,1) \subset \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ οπότε δεν είμαστε σίγουροι αν η ρίζα ανήκει στο $(0,1)$ . Αλλιώς για χ=0 στην σχέση που δίνεται:
$f(0)\left(f^2(0)+f(0)+1\right)=-1<0 \Rightarrow f(0)<0,\,\,(1)$
επειδή
$f^2(0)+f(0)+1=\left(f(0)+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0$
Για χ=1 είναι
$f(1)\left(f^2(1)+f(1)+1\right)=e-\sigma \upsilon \nu 1>e-1>0 \Rightarrow f(1)>0,\,\,(2)$
επειδή
$f^2(1)+f(1)+1=\left(f(1)+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0$

Από (1),(2) και θεώρημα Βοlzano, υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0 \in (0,1):f(x_0)=0$

JKaradakov · 11-11-12

Θα ήθελα μερικά tips για τις παρακάτω ασκήσεις:

Έστω η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-1}{x}=2$ και η συνάρτηση $g:R^*\rightarrow R$ με $\frac{g(x)}{\eta \mu ^4x}=\frac{1}{x^2\eta \mu ^2x}+\frac{f(x)}{x^4}$ , για κάθε $x\neq \kappa \pi , \kappa \in Z$ . Αν $\lambda =\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$ , να βρείτε το $\lim_{x\rightarrow 0}g(x)$ .
Έστω οι συναρτήσεις $f,g:R\rightarrow R$ για τις οποίες ισχύει: $f(x)\leq 0\leq g(x)$ , για κάθε $x\in R$ . Αν $\lim_{x\rightarrow 0}(f(x)-g(x))=0$ , να δείξετε ότι $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=0$ .
Έστω $f:R\rightarrow R$ μια συνάρτηση για την οποία ισχύει $f^3(x)+f(x)+2=x$ , για κάθε $x\in R$ . Να βρείτε το $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)$
Δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $\lim_{x\rightarrow 2}(f(x)+3f(4-x))=4$ . Να βρείτε το $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)$ .

rebel · 11-11-12

2) εδώ

3)
$x-2=f(x)\left(f^2(x)+1\right) \Rightarrow \\|x-2|=\left|f(x)\left(f^2(x)+1\right)\right| \stackrel{\left|f^2(x)+1\right|\geq 1}{\geq} \left|f(x)\right| \Rightarrow -|x-2|\leq f(x) \leq |x-2|$
και από κ. παρεμβολής το όριο είναι 0.

JKaradakov · 11-11-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
2) εδώ

3)
$x-2=f(x)\left(f^2(x)+1\right) \Rightarrow \\|x-2|=\left|f(x)\left(f^2(x)+1\right)\right| \stackrel{\left|f^2(x)+1\right|\geq 1}{\geq} \left|f(x)\right| \Rightarrow -|x-2|\leq f(x) \leq |x-2|$
και από κ. παρεμβολής το όριο είναι 0.

Ωραίος.

Για τα άλλα δύο τι έχεις να πεις. :hmm:

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Τιμώμενο Μέλος

Επιφανές μέλος

Δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος