1)δινεται συναρτηση f(x)=x+ριζα(χ^2+1).
i)Να αποδειξετε οτι f(x)>0 για καθε χ ε R.
ii)ν.δ.ο f γνησιως αυξουσα
f(x)=x+((x^2)+1)^(1/2), x ανήκει R
i) Υπενθυμίζουμε την ταυτότητα |x|>=-x για κάθε x ανήκει R. Έχουμε
1>0 <=> (x^2)+1>(x^2) <=> ((x^2)+1)^(1/2)>|x|>=-x => ((x^2)+1)^(1/2)>-x <=> x+((x^2)+1)^(1/2)>0
Επομένως f(x)>0 για κάθε x ανήκει R
ii) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο
f΄(x)=[x+((x^2)+1)^(1/2)]/[((x^2)+1)^(1/2)]=f(x)/[((x^2)+1)^(1/2)]>0 αφού f(x)>0 για κάθε x ανήκει R
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.
2)εστω συνεχης συναρτηση f:[0,1]-->R με 4<=f(x)<=5 για καθε χ ε [0,1].Ν.δ.ο η εξισωση f^2 (x)-5f(x)+4x=0 εχει μια τουλαχιστον ριζα στο διαστημα (0,1).
Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=(f(x))^2-5f(x)+4x, x ανήκει [0,1]. Επειδή η f είναι συνεχής στο [0,1] τότε και η g είναι συνεχής στο [0,1].
4<=f(x)<=5 => 16<=(f(x))^2<=25
4<=f(x)<=5 => -25<=-5f(x)<=-20
0<=x<=1 => 0<=4x<=4
Προσθέτοντας τις 3 ανισότητες κατά μέλη προκύπτει -9<=(f(x))^2-5f(x)+4x<=9 => -9<=g(x)<=9
Επειδή η g είναι συνεχής στο [0,1] τότε η εικόνα του [0,1] είναι διάστημα και επομένως g([0,1])=[-9,9] και επειδή 0 ανήκει [-9,9] τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο [0,1] τέτοιο ώστε g(ξ)=0
3)εστω η συνεχης συναρτηση f:R-->R για την οποιαα ισχυει f^3 (x)+f^2 (x)+f(x)=xe^x -συνχ για καθε χ ε R.Ν.δ.ο η εξισωση f(x)=0 εχει μια τουλαχιστον λυση στο (0,1).
Θεωρούμε την πολυωνυμική συνάρτηση g(x)=(x^3)+(x^2)+x όπου x ανήκει R. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο g΄(x)=3(x^2)+2x+1=2(x^2)+[(x^2)+2x+1]=2(x^2)+((x+1)^2)>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο R και επομένως είναι 1-1, οπότε και αντιστρέψιμη. Επειδή lim(x->-άπειρο)g(x)=- άπειρο, lim(x->+άπειρο)g(x)=+άπειρο και η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R τότε το πεδίο τιμών της g είναι g(R)=(-άπειρο,+άπειρο)=R. Επειδή 0 ανήκει g(R)=R και η g είναι 1-1 τότε υπάρχει μοναδικό ξ στο R τέτοιο ώστε g(ξ)=0.
Παρατηρούμε ότι g(0)=0. Η g είναι 1-1 οπότε
g(ξ)=g(0) <=> ξ=0 η μοναδική ρίζα της εξίσωσης g(x)=0
Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=x(e^x)-συνx, x ανήκει R. Η h είναι συνεχής στο R και έχουμε h(0)=-1<0 και h(1)=e-συν1>0 αφού e>1>συν1. Η h είναι συνεχής στο διάστημα [0,1] και ισχύει h(0)h(1)<0, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (0,1) τέτοιο ώστε h(x0)=0.
Η αρχική εξίσωση που ισχύει για κάθε x στο R γράφεται στη μορφή g(f(x))=h(x). Επομένως έχουμε:
g(f(x))=h(x) <=> f(x)=(g-1)(h(x)), όπου x ανήκει R
Επίσης έχουμε g(0)=0 <=> (g-1)(0)=0
Για x=x0 έχουμε:
f(x0)=(g-1)(h(x0))=(g-1)(0)=0. Επομένως f(x0)=0.
4)Αν f ,g συνεχεις με συνολο τιμων το [α,β] και f(α)=α , f(β)=β ,δειξτε οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ ε (α,β):2f(ξ)=g(f(ξ))+g(ξ).
α<=f(x)<=β
α<=g(x)<=β
α<=x<=β
Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=g(f(x))+g(x)-2f(x), x ανήκει [α,β]. Επειδή η f και η g είναι συνεχείς στο [α,β] και η f έχει πεδίο τιμών το [α,β] τότε και η h είναι συνεχής στο [α,β]. Έχουμε:
h(α)=g(f(α))+g(α)-2f(α)=g(α)+g(α)-2α=2g(α)-2α=2(g(α)-α)>=0 αφού α<=g(α)<=β
h(β)=g(f(β))+g(β)-2f(β)=g(β)+g(β)-2β=2g(β)-2β=2(g(β)-β)<=0 αφού α<=g(β)<=β
Αν g(α)=α τότε h(α)=0
Αν g(β)=β τότε h(β)=0
Αν g(α) διάφορο α και g(β) διάφορο β τότε h(α)>0 και h(β)<0. Επομένως η h είναι συνεχής στο [α,β] και h(α)h(β)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bozano υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε h(ξ)=0
Επομένως υπάρχει ξ στο [α,β] ώστε h(ξ)=0 <=>2f(ξ)=g(f(ξ))+g(ξ)
