Έστω συνεχής συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει
f^2(x)-2f(x)ημχ=(ημχ)^4 + (ημχ)^2 + 1 για κάθε χΕR με f(π/2)=3
α) ν.α.ο. η εφ διατηρεί σταθερό πρόσιμο το οποίο και να βρείτε
β) Να βρείτε το f(0)
γ) ν.α.ο. η g(x)= f(x)-ημχ διατηρεί σταθερό πρόσιμο τα οποίο και να βρείτε
δ) να υπολογίσεται το όριο Α=limf(x)/x x-->+apeiro
την μισοέλλυσα αλλά δεν είμαι καθόλου σίγουρος
ύλη μέχρι πριν τις παραγώγους!!
Λύση
Αρχικά δες το γράφημα, ίσως σε βοηθήσει σε αυτά που θα σου πω στη συνέχεια:
α)Νομίζω ότι οι παραγοντοποιήσεις των δύο μελών της εξίσωσης είναι προφανείς.
Καταλήγουμε σε δύο ανεξάρτητους κλάδους για την f.
f(x)=(sinx+1)^2-sinx
και f(x)=-(sinx-1)^2-sinx.
Μετά από μικρή διερεύνηση βλέπουμε ότι η πρώτη είναι συνεχώς θετική, ενώ η δεύτερη συνεχώς αρνητική.
Η "μικρή διερεύνηση" πιο αναλυτικά: Καμία από τις δύο f δεν μηδενίζεται (f(x)=0 δεν έχει ρίζες για κανέναν από τους δύο τύπους της f) και επειδή είναι συνεχείς, διατηρούν πρόσημο. Παίρνουμε μία τυχαία τιμή για την πρώτη και βλέπουμε ότι μας βγάζει θετικό αποτέλεσμα και μία τιμή για τη δεύτερη και βλέπουμε ότι μας βγάζει αρνητικό αποτέλεσμα.
Όμως, μας έχει δοθεί ότι f(π/2)=3, επομένως η f είναι η πρώτη: f(x)=(sinx+1)^2-sinx.
Ήδη εξήγησα ότι διατηρεί πρόσημο και για ποιο λόγο.
β)f(0)=(sin0+1)^2-sin0=1
γ)g(x)=f(x)-sinx=f(x)=(sinx+1)^2-2sinx=(sinx)^2+1>=1>0
δ)Αυτό δεν ξέρω πώς να στο πω με τρόπο που σίγουρα θα καταλάβεις.
Εν πάσει περιτώσει θα σου πω και αν δεν καταλάβεις το λες και ίσως βοηθήσει κανένας άλλος.
f(x)/x=((sinx+1)^2-sinx)/x=((sinx)^2+sinx+1)/x.
Ο αριθμητής είναι μία φραγμένη συνάρτηση, δηλαδή έχει ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο.
Όταν μία φραγμένη συνάρτηση πολλαπλασιάζεται με μία μηδενική, δηλαδή μία που τείνει στο 0, όπως εδώ η 1/χ, τότε το αποτέλεσμα είναι μία νέα μηδενική συνάρτηση. Επομένως το ζητούμενο όριο είναι 0.
Δες την f(x)/x:
