Βοήθεια/Απορίες στη Γεωμετρία

[thewatcher]

Προεκτείνουμε τις ΔΖ, ΔΕ. Έχουμε τις ημιευθείες Ζχ,Εy. Αρκεί <χΖΑ=<ΑΖΕ και <yΕΑ=<ΑΕΖ.

xΖΑ=ΒΖΔ(κατακορυφήν)=ΒΗΔ(λόγω εγγράψιμου ΖΗΔΒ)
AZE=ΑΗΕ(εγγράψιμο ΑΖΗΕ)=ΒΗΔ(κατακορυφην)
άρα xZA=ΑΖΕ.

Αντίστοιχα και για όλα τα άλλα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Ναυσικά]

:bravo:καλή σκέψη

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Τολμηρος]

Παιδιά τη Δευτέρα γράφω Γεωμετρία και φοβάμαι πολύ τις αποδείξεις!
Έχετε καμία sos???

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Iliaso]

Εδώ θα αναφέρεστε ΜΟΝΟ σε αποδείξεις για να μην γίνει μπέρδεμα...Για ασκήσεις και λοιπές θεωρίες στο άλλο τόπικ

Παιδιά τη Δευτέρα γράφω Γεωμετρία και φοβάμαι πολύ τις αποδείξεις!
Έχετε καμία sos???

Αnyway αν και σε σχέση με άλλους πιο αρμόδιους υστερώ στη γεωμετρία θα σου έλεγα να προσέξεις την απόδειξη 5.6 σελίδα 104 και το πόρισμα σελίδα 110

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Nikos93]

Πολυ ΣΟΣ ειναι τα εξης : Καθε σημειο της διχοτομου ισαπεχει απο τις πλευρες της γωνιας καθως και το αντιστροφο του .

Το μεσο μιας πλευρας ενος τριγώνου εαν προεκταθεί τέμνει και την απεναντι πλευρα στο μεσο της . Το τμημα αυτο ειναι ισο με το μισο της απεναντι πλευρας .

Επισης τα αποστηματα αλλα και τα κριτηρια των σχηματων ειναι ΣΟΣ και οι σχετικες θεσεις ευθειας κυκλου . Οι αποδειξεις που ειναι καπως μεγαλες σε μεγεθος αποκλειεται να πεσουν . Αυτα...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Ειρηνάκι]

ΣΟΣ αποδείξεις για τη γεωμετρία είναι πως όταν μια γωνία ισούται με 30 μοίρες σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο τότε η απέναντι πλευρά είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας και το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με 2L...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Jim_Gkizanis]

Σος αποδειξη ειναι το αθροισμα γωνιων τριγωνου...Απλη για να την γραψουν ολοι και σοσαρα...Ουτε εγω εχω γραψει ακομα πειτε μου καμια...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Shadowfax]

Δείτε τις αποδείξεις των εξής θεωρημάτων:

''Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της''.

''Σε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της''.

''Αν σε ένα τρίγωνο μία διάμεσός του είναι ίση με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε αυτό είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή''.

''Η διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους''.

Θυμηθείτε επίσης πως αν σας ζητηθεί να αποδείξετε πως σε ισοσκελές τρίγωνο οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του είναι ίσες, ξεκινάτε φέρνοντας τη διχοτόμο και όχι το ύψος ή τη διάμεσο. Αποδεικνύεται και έτσι, αλλά χρησιμοποιείτε μη γνωστή θεωρία και η απόδειξη είναι λάθος.

Επίσης, τα θεωρήματα που ανέφεραν οι φίλοι πιο πάνω.

*τα θεωρήματα τα είπα διάσπαρτα και δε σας δίνω τις σελίδες μιας και γίνεται χαμός στο γραφείο μου και βαριέμαι να ψάχνω για το βιβλίο*

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[arisar]

Εμείς που γραψαμε πριν μία βδομάδα μας έβαλε να αποδείξουμε ότι το άθροισμα γωνιών τριγώνου είναι ίσο με 180 μοίρες........Δεν πρεπει πάντως να φοβάσαι τις αποδείξεις..........Δεν αξίζει να τις φοβάσαι.........

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Shadowfax]

Εμείς που γραψαμε πριν μία βδομάδα μας έβαλε να αποδείξουμε ότι το άθροισμα γωνιών τριγώνου είναι ίσο με 180 μοίρες........Δεν πρεπει πάντως να φοβάσαι τις αποδείξεις..........Δεν αξίζει να τις φοβάσαι.........

Και σε μας αυτή έπεσε. Ομολογουμένως είναι η πιο σημαντική φετινή απόδειξη, χωρίς αυτό να σημαίνει πως δεν πρέπει να κοιτάξετε και τις υπόλοιπες οι οποίες είναι εξίσου σημαντικές και, κατά τη γνώμη μου, πιο ''ωραίες''.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[djimmakos]

Δείτε τις αποδείξεις των εξής θεωρημάτων:

Spoiler

''Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της''.

''Σε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της''.

''Αν σε ένα τρίγωνο μία διάμεσός του είναι ίση με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε αυτό είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή''.

''Η διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους''.

Θυμηθείτε επίσης πως αν σας ζητηθεί να αποδείξετε πως σε ισοσκελές τρίγωνο οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του είναι ίσες, ξεκινάτε φέρνοντας τη διχοτόμο και όχι το ύψος ή τη διάμεσο. Αποδεικνύεται και έτσι, αλλά χρησιμοποιείτε μη γνωστή θεωρία και η απόδειξη είναι λάθος.

Επίσης, τα θεωρήματα που ανέφεραν οι φίλοι πιο πάνω.

*τα θεωρήματα τα είπα διάσπαρτα και δε σας δίνω τις σελίδες μιας και γίνεται χαμός στο γραφείο μου και βαριέμαι να ψάχνω για το βιβλίο*

Aυτή η απόδειξη γίνεται και με άλλο τρόπο, πιο ωραίο

(Άσχετο αλλά ήθελα να το πω)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[poppytaxlia]

Aυτή η απόδειξη γίνεται και με άλλο τρόπο, πιο ωραίο

(Άσχετο αλλά ήθελα να το πω)

μπορεις να τον γραψεις?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Ναυσικά]

Εμάς μας έπεσε να αποδείξουμε ότι οι 3 διάμεσοι ενός τριγώνου συντρέχουν, και την ιδιότητα του βαρυκέντρου να "χωρίζει" το τρίγωνο σε 3 μέρη, το ένα 2πλάσιο του άλλου.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[p@g]

Εμάς μας έπεσε να αποδείξουμε ότι οι 3 διάμεσοι ενός τριγώνου συντρέχουν, και την ιδιότητα του βαρυκέντρου να "χωρίζει" το τρίγωνο σε 3 μέρη, το ένα 2πλάσιο του άλλου.

αρκετα τολμηρες θα ελεγα αποδειξεις επεσαν..αυτο σημαινει ειτε οτι το τμημα τραβαει καλα ειτε οτι ο καθηγητης βαζει ωραια θεματακια...

μπορεις να τον γραψεις?

δε ξερω ποιο τροπο εχει κατανου αλλα ενδιαφερον ειναι να δειξει κανεις οτι η διαμεσος ειναι // στην βαση και οχι ετσι οπως το λεει στο βιβλιο εκ κατασκευης...(με βαση αξιωματος εχω εγω κατα νου χωρις ομως θαλη)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[djimmakos]

μπορεις να τον γραψεις?

Bασικά στηρίζεται σε θεώρημα της Β' λυκείου.

Λοιπόν.

Έχουμε:

1) Οι βάσεις είναι παράλληλες
2) Οι βάσεις και η διάμεσος χωρίζουν σε δύο διαφορευτικές ευθείες τμήματα άναλογα με λόγο 1

Από (1) και (2) και από το αντίστροφο του θεωρήματος του θαλή , τα τρία αυτά ευθύγραμμα τμήματα είναι παράλληλα.

Και μετά αποδεικνύεις εύκολα ότι ισούται με το ημιάθροισμα των βάσεων




Βασικά σκέφτηκα και άλλο τρόπο για να αποδείξεις ότι η διάμεσος είναι παράλληλη στις βάσεις. Θα τον ανεβάσω αργότερα. :p
-----------------------------------------
Έστω ΑΒΓΔ τραπέζιο και ΕΖ η διάμεσός του. Προεκτείνω την ΑΖ κατά ίσο τμήμα ΖΚ. Τότε το ΑΒΔΚ είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, αφού είναι ΒΖ=ΖΔ και ΑΖ=ΖΚ. Έτσι είναι ΑΒ//ΔΚ και επειδή ΑΒ//ΓΔ, τα σημεία είναι Γ,Δ,Κ είναι συνευθειακά. Έτσι το ΑΚΓ είναι τρίγωνο στο οποίο Ε,Ζ είναι τα μέσα των πλευρών του, οπότε ΕΖ//ΓΔ και τελείωσαμε.



(Γμτ, ξέχασα να βάλω κυκλικά τα γράμματα στο τραπέζιο)

:p

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[p@g]

Τις προαλλες πηγα να γραψω ολοκληρη τη ιστορια που ειχε συμβει με το καθηγητη μου για το ζητημα αυτο αλλα κατι εγινε και εχασα το post πριν πατησω υποβολη...
anyway το ρεζουμε εκεινης της ιστοριας ειναι οτι οταν ειπα του καθηγητη μου αν γινεται να τη βγαλουμε εμεις παραλληλη και οχι εκ κατασκευης μου ειπε οτι εσεις ακομα δε μπορειτε(στηριζοταν σαυτο που ειπε ο djimmakos με το αντιστροφο του κυριου θαλη)..μπορουμε να το δειξουμε ομως..


ηδου πως...:εστω τραπ. ΑΒΓΔ.Φερνω ΑΑ1 καθετη στη ΓΔ και ΒΒ1 καθετη στη ΓΔ.Εστω ακομα Μ,Ν τα μεσα των ΑΔ και ΒΓ αντιστοιχα.φερνουμε ΜΖ//ΓΔ(οπου Ζ σημειο της ΑΑ1)
ακομα φερνουμε ΝΕ//ΓΔ(οπου Ε σημειο της ΒΒ1).τοτε και ΖΕ//ΓΔ.Αρα απο αυτα εχουμε οτι η ΜΝ ειναι ευθεια γραμμη και παραλληλη στη ΓΔ.το ημιαθροισμα μετα ευκολα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[djimmakos]

Βασικά, και με το δικό μου τρόπο, έχουμε δύο διαφορετικούς τρόπους.

Ο καθηγητής σου μεσάνυχτα το πήρε το πτυχίο; :p

Στη λύση σου πρέπει να αποδείξεις ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των πλευρών του ορθογωνίου είναι παράλληλο προς τις άλλες πλευρές, δε νομίζω να το δεχτεί έτσι.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[p@g]

Βασικά, και με το δικό μου τρόπο, έχουμε δύο διαφορετικούς τρόπους.

Ο καθηγητής σου μεσάνυχτα το πήρε το πτυχίο; :p

ασε τα πηρα ασχημα οταν το ειπε(γενικα τσαντιζομαι οταν υποτιμουν ετσι) αλλα δεν ειπα τπτ για να εχω τα νωτα μου καθαρα σε περιπτωση που οντως δε μπορουσα αλλα την επομενη μερα του το εδειξα και μου κανει α ωραια απο δω και περα θα δειχνω στα παιδια και αυτο...ο,τι θελεις..
η γεωμετρια ετσι οπως γιναμε δεν ειναι μαθηματικα και εχουν βαλει το καθε $%^^&7 να την κανει αφου το 90% των μαθητων τη γραφουν και αδιαφορουν!!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[djimmakos]

Εγώ αν μας βάλει αυτή την απόδειξη σκέφτομαι να την κάνω με τον πρώτο τρόπο και ας τολμήσει να μου κόψει μονάδες :p

Κάθε επιστημονικά τεκμηριωμένη απάντηση είναι αποδεκτή. :p

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Manthak47]

Εγώ πάλι θέλω να ρωτήσω: Αν έχουμε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία δύο πλευρών ενός τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της, τότε εκείνα τα δύο σημεία δεν ειναι μέσα των πλευρών;

Ρωτάω γιατί το βιβλίο λέει μόνο το αντίστροφο και δίνει και μια άλλη απόδειξη που ξεκινά με δεδομένο το μέσο μιας πλευράς.:emm:

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.