Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

13diagoras · 11 Ιουλίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από georg13pao:
ναι

Θα βάλω τη λύση μου, δεν ξέρω αν είναι σωστή βέβαια.

$x=a-{y}^{2}$
$y=a-{x}^{2}$

Με αντικατάσταση η 1η γίνεται
$x=a-{a}^{2}+2a{x}^{2}-{x}^{2}$
την οποία τροποποιούμε ως
$(2a-1){x}^{2}-x-a(a-1)=0$
Όμοια για το y βρίσκουμε την ίδια εξίσωση με y όπου x.

Δηλαδή το $xneq y$ ισοδυναμεί με το να έχει η εξίσωση $(2a-1){z}^{2}-z-a(a-1)=0$ 2 διαφορετικές λύσεις, δηλαδή

$Delta>0 Leftrightarrow$

$1+4a(2a-1)(a-1)>0 Leftrightarrow$

$8{a}^{3}-12{a}^{2}+4a+1>0 Leftrightarrow$

$8{a}^{3}-16{a}^{2}+4{a}^{2}+4a+1>0 Leftrightarrow$

$8{a}^{3}-16{a}^{2}+{(2a+1)}^{2}>0 Leftrightarrow$

Πρέπει δηλαδή

$8{a}^{3}-16{a}^{2}>0 Leftrightarrow$

${a}^{2}(8a-16)>0 Leftrightarrow$

$8a-16>0 Leftrightarrow$

$a>2$

Άρα ισχύει για κάθε πραγματικό $a$ μεγαλύτερο του 2.

εκει που λες πρεπει "δηλαδη" μας τα χαλας αφου ειναι $8{a}^{3}-16{a}^{2}+{(2a+1)}^{2}>0 \Leftrightarrow$
$8{a}^{3}-16{a}^{2}$ >- ${(2a+1)}^{2}$ και μονο....

οποιος και αν θελει τη λυση να μου την ζητησει.....(σε π.μ. φυσικα

)
υποδειξη:(1)α=....
(2)α=...

georg13pao · 02-08-09

Α καλά έκανα απίστευτη ηλιθιότητα. Το πρώτο πράγμα που έκανα ήταν αυτό που λες στην υπόδειξη αλλά έκανα λάθος στο γράψιμο και βγήκαν 2 ίδιες εξισώσεις, γιαυτό και όλες οι βλακείες που έκανα πιο πάνω.
Τεσπα εύκολη είναι η άσκηση

13diagoras · 02-08-09

Αρχική Δημοσίευση από georg13pao:
Α καλά έκανα απίστευτη ηλιθιότητα. Το πρώτο πράγμα που έκανα ήταν αυτό που λες στην υπόδειξη αλλά έκανα λάθος στο γράψιμο και βγήκαν 2 ίδιες εξισώσεις, γιαυτό και όλες οι βλακείες που έκανα πιο πάνω.
Τεσπα εύκολη είναι η άσκηση

συγχωρεμενος..(ετσι και αλλιως εισαι μικρος

)ναι η ασκηση ηταν ευκολη
(την εβαλα επειδη ηταν απο διαγωνισμο σουηδιας...:iagree

RafAspa94 · 03-08-09

Παιδιά.γνωρίζετε κάποιοα ιστοσελίδα με θεωρία και ασκήσεις άλγεβρας;

ξαροπ · 03-08-09

Αν δεν σε πειράζει που είναι στα αγγλικά, προτείνω artofproblemsolving.com

Αλλιώς, υπάρχει αντίστοιχη επιλογή στη Βιβλιοθήκη της ιστοσελίδας μας.

djimmakos · 03-08-09

Mόλις γύρισα από τις διακοπές και σας έχω άσκηση :p

Έστω μια συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ (f(x) διάφορο του μηδεν) για την οποία ισχύει

$f^3(x)=(x^2-5x+9) \cdot |f(x)|$

a. Να αποδείξετε ότι $f(x)=\sqrt{x^2-5x+9}$

Έστω μια συνάρτηση g, η γραφική παράσταση της οποίας βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ'χ για κάθε χ στο πεδίο ορισμού της και για την οποία ισχύει

$\sqrt{|g(x)|}=f(x)$

Ορίζουμε τη συνάρτηση

$h(x)=\frac{2f(x)}{\sqrt[4]{g(x)}-f(x)}$

b. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της h(x)

c. Nα αποδείξετε ότι $h(x)<-1$

Καλές λύσεις

-----------------------------------------
H λύση σε spoiler για να σας βάλω σε πειρασμό και για να βεβαιωθώ ότι είναι σωστή:p

a.Ισχύει ότι $x^2-5x+9>0$ , $\forall x \in R$

Ισχύει επίσης ότι $|f(x)|>0$ , $\forall x \in R$

Άρα ισχύει ότι

$f^3(x)>0 \Leftrightarrow f(x)>0\Leftrightarrow |f(x)|=f(x)$

Έτσι

$f^3(x)=(x^2-5x+9)\cdot f(x) \Leftrightarrow f^2(x)=x^2-5x+9 \Leftrightarrow f(x)=\sqrt{x^2-5x+9}$

b. Iσχύει από την εκφώνηση ότι $g(x)>0$

Οπότε $g(x)=f^2(x)=x^2-5x+9$

Πρέπει

$\sqrt[4]{g(x)}\neq f(x)\Leftrightarrow \sqrt[4]{f^2(x)}\neq f(x)\Leftrightarrow \sqrt{f(x)}\neq f(x)\Leftrightarrow f(x)\neq f^2(x)\Leftrightarrow f(x)\neq 0, f(x)\neq 1$

$f(x)\neq 0\Leftrightarrow f^2(x)\neq 0\Leftrightarrow x^2-5x+9\neq 0$ το οποίο ισχύει για κάθε χ στο R

$f(x)\neq 1\Leftrightarrow f^2(x)\neq 1\Leftrightarrow x^2-5x+8\neq 0$ το οποίο ισχύει για κάθε χ στο R

Άρα το πεδίο ορισμού είναι το R

c. Iσχυεί ότι $\sqrt{g(x)}=f(x)$ και επειδή f(x)>0, προκύπτει ότι

$\sqrt{g(x)}=f(x)\Rightarrow \sqrt{g(x)}<f^2(x)\Leftrightarrow (\sqrt[4]{g(x)})^2 - f^2(x)<0 \Leftrightarrow [\sqrt[4]{g(x)}-f(x)][\sqrt[4]{g(x)}+f(x)]<0\Leftrightarrow \frac{\sqrt[4]{g(x)}+f(x)}{\sqrt[4]{g(x)}-f(x)}<0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt[4]{g(x)}+2f(x)-f(x)}{\sqrt[4]{g(x)}-f(x)}<0\Leftrightarrow \frac{2f(x)}{\sqrt[4]{g(x)}-f(x)}+\frac{\sqrt[4]{g(x)}-f(x)}{\sqrt[4]{g(x)}-f(x)}<0\Leftrightarrow \frac{2f(x)}{\sqrt[4]{g(x)}-f(x)}+1<0\Leftrightarrow \frac{2f(x)}{\sqrt[4]{g(x)}-f(x)}<-1\Leftrightarrow h(x)<-1$

p@g · 03-08-09

Εξυπνες αλλα αποδειχτηκαν... βραδινα snacks!!!you know what i mean!!:xixi:

djimmakos · 03-08-09

Να σου θυμίσω ότι αν δεν είχα κάνει την πατάτα του να γράψω το συνολο τιμών ακόμα θα ήσουν στο α;:p

Boom · 04-08-09

ας βαλω και εγω μια!

αν a,b,g θετικοι πραγματικοι αριθμοι ωστε να ισχυει abg=1
να δειξετε οτι
α. $a+b\geq 2\sqrt{ab}$
β. (a+b)(b+g)(g+a) $\geq$ 8
γ.η ελαχιστη τιμη της παραστασης Α=a+b+g+ab+ag+bg ειναι ιση με 6

djimmakos · 04-08-09

Βαριέμαι να γράφω στο latex

Λοιπόν

α) Υψώνουμε στο τετράγωνο και έχουμε

(α+β)^2 >=4αβ <=> (α-β)^2>=0 το οποίο ισχύει

β) α+β >= 2ριζα αβ (1)
β+γ>=2ριζα βγ (2)
γ+α>= 2ριζα γα (3)

(1) χ (2) χ (3) : (α+β)(β+γ)(γ+α)>=8ριζα α^2β^2γ^2= 8 * αβγ = 8

γ) α+βγ>= 2 ριζα αβγ = 2 (1)
β+αγ>= 2 ριζα αβγ= 2 (2)
γ+αβ>= 2 ριζα αβγ=2 (3)

(1)+(2)+(3): Α >= 6

13diagoras · 11 Ιουλίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Βαριέμαι να γράφω στο latex

Λοιπόν

α) Υψώνουμε στο τετράγωνο και έχουμε

(α+β)^2 >=4αβ <=> (α-β)^2>=0 το οποίο ισχύει

β) α+β >= 2ριζα αβ (1)
β+γ>=2ριζα βγ (2)
γ+α>= 2ριζα γα (3)

(1) χ (2) χ (3) : (α+β)(β+γ)(γ+α)>=8ριζα α^2β^2γ^2= 8 * αβγ = 8

γ) α+βγ>= 2 ριζα αβγ = 2 (1)
β+αγ>= 2 ριζα αβγ= 2 (2)
γ+αβ>= 2 ριζα αβγ=2 (3)

(1)+(2)+(3): Α >= 6

το α+βγ>=2ριζα αβγ πως προκυπτει???? :hmm:

(οι αλλες ευκολες....)

djimmakos · 04-08-09

x+y >= 2 ριζα xy

Θέτω x=α και y=βγ

α+βγ>= 2 ριζα αβγ

guess · 04-08-09

κατι ευκολο υπαρχει?
γιατι τα εχω ξεχασει ολα?
μια ασκησουλα παρακαλω για να ξεσκονισουμε τις γνωσεις μας....

djimmakos · 11 Ιουλίου 2012

Ορίστε μια άσκηση

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Mόλις γύρισα από τις διακοπές και σας έχω άσκηση :p

Έστω μια συνάρτηση $f: R rightarrow R$ (f(x) διάφορο του μηδεν) για την οποία ισχύει

$f^3(x)=(x^2-5x+9) cdot |f(x)|$

a. Να αποδείξετε ότι $f(x)=sqrt{x^2-5x+9}$

Έστω μια συνάρτηση g, η γραφική παράσταση της οποίας βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ'χ για κάθε χ στο πεδίο ορισμού της και για την οποία ισχύει

$sqrt{|g(x)|}=f(x)$

Ορίζουμε τη συνάρτηση

$h(x)=frac{2f(x)}{sqrt[4]{g(x)}-f(x)}$

b. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της h(x)

c. Nα αποδείξετε ότι $h(x)<-1$

Καλές λύσεις

-----------------------------------------
H λύση σε spoiler για να σας βάλω σε πειρασμό και για να βεβαιωθώ ότι είναι σωστή:p

a.Ισχύει ότι $x^2-5x+9>0$ , $forall x in R$

Ισχύει επίσης ότι $|f(x)|>0$ , $forall x in R$

Άρα ισχύει ότι

$f^3(x)>0 Leftrightarrow f(x)>0Leftrightarrow |f(x)|=f(x)$

Έτσι

$f^3(x)=(x^2-5x+9)cdot f(x) Leftrightarrow f^2(x)=x^2-5x+9 Leftrightarrow f(x)=sqrt{x^2-5x+9}$

b. Iσχύει από την εκφώνηση ότι $g(x)>0$

Οπότε $g(x)=f^2(x)=x^2-5x+9$

Πρέπει

$sqrt[4]{g(x)}neq f(x)Leftrightarrow sqrt[4]{f^2(x)}neq f(x)Leftrightarrow sqrt{f(x)}neq f(x)Leftrightarrow f(x)neq f^2(x)Leftrightarrow f(x)neq 0, f(x)neq 1$

$f(x)neq 0Leftrightarrow f^2(x)neq 0Leftrightarrow x^2-5x+9neq 0$ το οποίο ισχύει για κάθε χ στο R

$f(x)neq 1Leftrightarrow f^2(x)neq 1Leftrightarrow x^2-5x+8neq 0$ το οποίο ισχύει για κάθε χ στο R

Άρα το πεδίο ορισμού είναι το R

c. Iσχυεί ότι $sqrt{g(x)}=f(x)$ και επειδή f(x)>0, προκύπτει ότι

$sqrt{g(x)}=f(x)Leftrightarrow sqrt{g(x)}<f^2(x)Leftrightarrow (sqrt[4]{g(x)})^2 - f^2(x)<0 Leftrightarrow [sqrt[4]{g(x)}-f(x)][sqrt[4]{g(x)}+f(x)]<0Leftrightarrow frac{sqrt[4]{g(x)}+f(x)}{sqrt[4]{g(x)}-f(x)}<0 Leftrightarrow frac{sqrt[4]{g(x)}+2f(x)-f(x)}{sqrt[4]{g(x)}-f(x)}<0Leftrightarrow frac{2f(x)}{sqrt[4]{g(x)}-f(x)}+frac{sqrt[4]{g(x)}-f(x)}{sqrt[4]{g(x)}-f(x)}<0Leftrightarrow frac{2f(x)}{sqrt[4]{g(x)}-f(x)}+1<0Leftrightarrow frac{2f(x)}{sqrt[4]{g(x)}-f(x)}<-1Leftrightarrow h(x)<-1$

Boom · 04-08-09

Αρχική Δημοσίευση από guess:
κατι ευκολο υπαρχει?
γιατι τα εχω ξεχασει ολα?
μια ασκησουλα παρακαλω για να ξεσκονισουμε τις γνωσεις μας....

Αρχική Δημοσίευση από theodora:
επειδη ξερω πως βαριεστε θα σας δωσω επαναληπτικες ασκησουλες!

στη σελ 28 ειναι οι ασκησεις!

guess · 04-08-09

του βιβλιου της αλγεβρας?

Boom · 04-08-09

αυτες που εβαλα εγω δεν ειναι του βιβλιου....

guess · 04-08-09

υπαρχουν λυσεις στις ασκησεις που εχεισ δωσει θεοδωρα?

Boom · 04-08-09

οχι,αλλα αν κολλησεις καπου θα σε βοηθησουμε!

guess · 04-08-09

βασικα τις λυνω αλλα θελω να βλεπω αν ειναι σωστες...:iagree:

Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Δραστήριο μέλος