Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

mostel · 14-12-07

Υπάρχει και μια ωραία γενίκευση, η λεγόμενη AM-GM (Arithmetic - Geometric mean ineq) για n όρους!

Δηλαδή:

$a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}\geq n\sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}$

Για $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ θετικούς .

Απόδειξη με λήμμα Ehlers ή με επαγωγή

miv · 14-12-07

Ναι, αλλα το συγκεκριμενο δε νομιζω να εχει σχεση με Α' Λυκειου.

mostel · 14-12-07

Δεν είπα ότι έχει σχέση. Απλή αναφορά έκανα..

Προσέχτε ότι για n=3, αποδεικνύεται εύκολα με την ταυτότητα του Euler, που μάλιστα είναι πιο δυνατή, αφού ισχύει για όλο τον πραγματικό δακτύλιο!

8etikoulis · 15-12-07

Εγώ βρήκα άλλη λύση :
α + β = 40 <=>
(α + β )^2 =1600 <=>
α^2 + β^2 +2αβ = 1600 <=>
2αβ = 1600 -(α^2 + β^2) <=>
αβ = 800 -1/2(α^2 + β^2)

και σκέφτομαι : α^2 + β^2 >= 0 <=>
-(α^2 + β^2) <= 0
Άρα, αβ <= 800 -1/2 * 0 <=>
αβ <= 800

mostel · 15-12-07

Αρχική Δημοσίευση από 8etikoulis:
Εγώ βρήκα άλλη λύση :
α + β = 40 <=>
(α + β )^2 =1600 <=>
α^2 + β^2 +2αβ = 1600 <=>
2αβ = 1600 -(α^2 + β^2) <=>
αβ = 800 -1/2(α^2 + β^2)

και σκέφτομαι : α^2 + β^2 >= 0 <=>
-(α^2 + β^2) <= 0
Άρα, αβ <= 800 -1/2 * 0 <=>
αβ <= 800

Δυστυχώς έχεις λάθος

Για να 'ναι $a^2+b^2=0$ , πρέπει $a=b=0$ . Άρα στην ουσία δείχνεις ότι $0\leq800$ , που είναι κάτι προφανές..

miv · 15-12-07

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Δεν είπα ότι έχει σχέση. Απλή αναφορά έκανα..

Προσέχτε ότι για n=3, αποδεικνύεται εύκολα με την ταυτότητα του Euler, που μάλιστα είναι πιο δυνατή, αφού ισχύει για όλο τον πραγματικό δακτύλιο!

Αυτο το θυμαμαι απο περσι. Και οντως η euler (με n=3) ειναι εντος υλης Α' λυκειου.

Γιώργος · 19-12-07

Από τον Euler αν θυμάμαι έχουμε ότι:

$a + b + c = 0 \Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

Δεν παίρνω κι όρκο...

Βασικά η wikipedia λέει ότι η ταυτότητα του Euler είναι η $e^{i\pi} + 1 = 0$

mostel · 19-12-07

Ισχύει γενικά...
$<br /> a^3+b^3+c^3\geq 3abc$ ( $a,b,c >0$ )

Αυτό που γράφεις είναι ειδική περίπτωση..

Χμ.. Πέρα από τον κλασικό τρόπο που αποδεικνύεται η παραπάνω, δηλαδή τον:

$a^3+b^3+c^3-3abc = \frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$

Όπου και φαίνεται ότι αν $a+b+c=0$ , τότε προκύπτει αυτό που έγραψες εσύ..

Θα βάλω μερικές ακόμη αποδείξεις που 'χω κατά νου για αυτή την ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ταυτότητα.

Ας θεωρήσουμε το πολυώνυμο:

$P(X) = X^3 -(a+b+c)X^2 + (ab+bc+ca)X - abc$

Επειδή $P(a)=P(b)=P(c)=0$

Π.χ.

$P(a ) =a^3 -(a+b+c)a^2 + (ab+bc+ca)a - abc = \ldots = 0$

Αν προσθέσουμε τα P(a), P(b), P(c) κατά μέλη, θα πάρουμε:

$P(a)+P(b)+P(c)=a^3+b^3+c^3+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) + (ab+bc+ca)(a+b+c) - 3abc = 0$

Από την τελευταία προκύπτει:

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Μια ακόμη προσέγγιση μπορεί να γίνει θεωρώντας τον 3Χ3 πίνακα (a,b,c)(c,a,b)(b,c,a).

Τέλος μια ακόμη προσέγγιση είναι αν θεωρήσουμε την εξίσωση:

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$

Και λύσουμε αυτή ως δευτεροβάθμια ως προς a π.χ. και θα 'χουμε διακρίνουσα:

$D=(b+c)^2-4(b^2+c^2-bc)=-3(b-c)^2$

Οπότε οι ρίζες θα 'ναι:

$a_{1}=b\frac{1-i\sqrt{3}}{2}+c\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$

$a_{2}=\overline{a_{1}}$

Θέτοντας $m=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ μία μιγαδική ρίζα της κυβικής μοναδιαίας εξίσωσης, παίρνουμε:

$a_{1}=-bm-cm^2$
$<br /> a_{2}=-bm^2-cm$

Αυτό δίνει από παραγοντοποίηση:

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(a+bm+cm^2)(a+bm^2+bm)$

που οδηγεί στην επιθυμητή.

-----------------------------------------------------------------------

Ένα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ εφαρμοφής π.χ. είναι:

Να γίνει γινόμενο η παράσταση:

$(x-y)^3+(y-z)^3 + (z-x)^3$

Λύση:

Παρατηρούμε ότι:

Αν $x-y=a, y-z=b, z-x =c$

$a+b+c= x-y+y-z+z-x = 0$

Και θέλουμε να κάνουμε γινόμενο την:

$a^3+b^3+c^3$ .

Άρα από την:

$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Επειδή $a+b+c=0$ , θα έχουμε:

$a^3+b^3+c^3-3abc =0$

Δηλαδή:

$a^3+b^3+c^3=3abc$

Δηλαδή:

$(x-y)^3+(y-z)^3 + (z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)$

Undead · 24-12-07

Παραγοντοποιήστε την παράσταση

$x^{5n}+x^n+1$ όπου το ν είναι φυσικός αριθμός

PROTEAS1992 · 14-01-08

λες/...Θα τη βάλω στον αδερφό μου που είναι 5η δημοτικού!Ισως τη λύσει.. :lol:

miv · 14-01-08

Στελιο, οταν αυτο εχει την ισοτητα δεν ειναι εφαρμογη του euler στον κυβο?

Αυτα ειναι εφαρμογες παντως...μεχρι τωρα δε μου εχουν χρειαστει.

desolator_X · 21-01-08

Οριστε 2 ενδιαφερουσες ασκησουλες πανω στις ριζες...

1) $x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}, <br /> y=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}, <br /> z=\sqrt{2+\sqrt{3}}$

Nα υπολογισετε το xyz...

2) )Αν Α= $(x^2-x\sqrt{2})(x^2-2)(x+\sqrt{2})$

Να λυσετε για i)Α=0 και ii)Α<0

Γιώργος · 22-01-08

Αρχική Δημοσίευση από desolator_X:
Οριστε 2 ενδιαφερουσες ασκησουλες πανω στις ριζες...

1)

$xyz=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{3}}$

:cool:

Τι.... δεν το υπολόγισα; :who:
Ελλιπέστατη εκφώνηση πάντως κατ' εμέ. Δεν σε υποχρεώνει να το φέρεις σε κάποια "μορφή". Και όχι, στα μαθηματικά δεν υπονοείται τίποτα, δεν είμαστε φιλόλογοι.

Krou · 22-01-08

Ναι καλα, πηγαινε το αυτο σε εναν καθηγητη να δουμε αν θα στο παρει σωστο ομως

desolator_X · 11 Ιουλίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από Γιώργος:
Τι.... δεν το υπολόγισα; :who:
Ελλιπέστατη εκφώνηση πάντως κατ' εμέ. Δεν σε υποχρεώνει να το φέρεις σε κάποια "μορφή". Και όχι, στα μαθηματικά δεν υπονοείται τίποτα, δεν είμαστε φιλόλογοι.

Ναι...και φαντασου οτι στην αρχικη ασκηση που μας εδωσε ο καθηγητης δεν υπηρχε καν εκφωνηση...Μονο ενα ξερο xyz=?

leobakagian · 26-02-08

Σχετικα με τα μαθηματικα:Γιατί:
α γ
-+1= -+1 να συνεπάγεται α+β γ+δ
β δ ------= ----- ;;;;;;;
β δ

natasa92 · 26-02-08

Μπορείς να τα γράψεις πιο καθαρά?

leobakagian · 28-02-08

γιατι (γραμμη κλάσματος) α προς β συν 1=(γραμμή κλάσματος)γ προς δ συν ενα να συνεπάγεται (γραμμή κλάσματος) α συν β προς β=(γραμμή κλάσματος) γ συν δ προς δ;;

alex_st · 29-02-08

Δεν είναι τπτ αυτο που εγραψες...Κανε ομωνυμα και τα δύο μερη, προσθεσε τα κλασματα και βγηκε
Καλη επιτυχία!

leobakagian · 01-03-08

ευχαριστώ

Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος