Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

manos66 · 22 Ιουλίου 2008 στις 16:58

Όταν ΟΒ κάθετη στη ΓΔ.
Πυθαγόρειο
Κάθε μέτρο ίσο με 5.

169 · 22 Ιουλίου 2008 στις 17:00

mostel παλι χαλια με εκανες ... εδω τα παραταω (εχω να κανω και εκθεση για αυριο ισως εκει τα παω καλυτερα

)

mostel · 22 Ιουλίου 2008 στις 17:03

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Αν Β, Γ, Δ οι εικόνες των $z_1, z_2, -z_2$ αντίστοιχα τότε
Α = (ΒΓ) + (ΒΔ)
Τα Γ, Δ είναι αντιδιαμετρικά του κύκλου με κέντρο Ο και ρ = 4,
άρα η Α γίνεται ελάχιστη όταν Β, Γ, Δ συνευθειακά και
Α = (ΒΓ) + (ΒΔ) = (ΓΔ) = 2ρ = 8

Sorry για πριν, αντί για 8, είδα 6. Είναι σωστή η λύση σας.

Η δική μου έχει ως εξής:

Από ταυτότητα Euler για παρ/μο, παίρνουμε:

$|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2$

$2(|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2)=100$

$2(|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2)\geq (|z_1-z_2|+|z_1+z_2|)^2$ (Cauchy Schwarz)

Άρα

$|z_1-z_2|+|z_1+z_2|\leq 10$

H ελάχιστη προκύπτει όταν είναι ομόρροπα, όπως αναφέρατε. Δηλαδή όταν έχουν απόσταση 2ρ=8

Υπάρχει και ακόμη μία λύση με καθαρά χρήση μιγαδικών. Δηλαδή:

$\frac{A}{4}=|w+1|+|w-1|$

όπου $w=\frac{z_1}{z_2}$ και $|w|=\frac{3}{4}$

Μπορούμε να περιοριστούμε (όσον αφορά το τριγωνάκι που σχηματίζεται) στο [0,π] λόγω συμμετρίας και να έχουμε:

$\frac{A}{4}=f(\theta)=\sqrt{\frac{9}{16}+1^2- 2\frac{3}{4}\cos(\pi-\theta)}+\sqrt{\frac{9}{16}+1^2+2\frac{3}{4}\cos \theta}$

Αυτή με παραγώγιση , βρίσκουμε ότι έχει max το 10 και min το 8.

Υπάρχει και η γεωμετρική σαφώς λύση, με θεώρημα διαμέσων, κ.λπ.

manos66 · 22 Ιουλίου 2008 στις 19:31

Στέλιο θα προτιμούσα να μου γράφεις στο ενικό.
Προσπαθώ να γράφω λύσεις όσο πιο ¨κοντά¨ στα μαθηματικά Γ΄λυκείου.
Με παιδεύει λίγο το μαθηματικό κέιμενο.
Ευχαριστώ.

mostel · 22 Ιουλίου 2008 στις 19:58

Μία ακόμη, παρμένη από ένα Ρουμανικό βιβλίο, "Numere Complexe":

Αν $z_1,z_2,\ldots, z_n\in\mathbf{C -\{i\}}$ και ισχύει ότι:

$\sum_{k=1}^n\left|\frac{z_k+i}{z_k-i}\right|<1$ ,

να δειχθεί ότι:

$\left|\frac{\sum_{k=1}^n z_k+i}{\sum_{k=1}^n z_k -i}\right|<1$

Στέλιος

EGR · 22 Ιουλίου 2008 στις 20:58

συγγνωμη με τους μιγαδικους που ξερω απο το βιβλιο μπορω να λυσω αυτο το πραγμα

mostel · 22 Ιουλίου 2008 στις 21:12

Ναι, δεν είναι κάτι άγνωστο από την ύλη που κάνουμε. Απλώς, είναι δυσκολούτσικη άσκηση, γιατί λείπει ένα βήμα , που πρέπει να το σκεφτείς πριν τη λύσεις. Γενικά, τα ρουμάνικα βιβλία είναι ...φωτιά

169 · 22 Ιουλίου 2008 στις 21:25

ενα κλασμα ειναι μικροτερο της μοναδας οταν ο αριθμητης ειναι μικροτερος απο τον παρανομαστη ... αυτο βοηθαει καθολου ; :xixi:

EGR · 22 Ιουλίου 2008 στις 21:36

εστω Α το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου ,για τα οποία ισχύει οτι μετρο z+2-3i κλείνει το μετρο<ή=3.για καθε ΖεΑ οριζουμε τον αριθμο f(z) από τη σχέση
f(z)=metro z-6+3i κλεινει α)να εκφράσετε γεωμετρικά το συνολο Α β)να βρειτε την ελαχιστη κ μεγιστη τιμη του f(z)

gossipgirl · 23 Ιουλίου 2008 στις 11:08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Μία ακόμη, παρμένη από ένα Ρουμανικό βιβλίο, "Numere Complexe":

Αν $z_1,z_2,ldots, z_ninmathbf{C -{i}}$ και ισχύει ότι:

$sum_{k=1}^nleft|frac{z_k+i}{z_k-i}right|<1$ ,

να δειχθεί ότι:

$left|frac{sum_{k=1}^n z_k+i}{sum_{k=1}^n z_k -i}right|<1$

Στέλιος

θεουλη μου!!!υπάρχει περιπτωση να μπει κτ τετοιο;;;;;

mostel · 23 Ιουλίου 2008 στις 12:16

Εξαρτάται από την επιτροπή. Καλά, μη τρομάζετε από τo σύμβολο του αθροίσματος. Το έγραψα έτσι για να συντομεύσω την εκφώνηση.

Στέλιος

chris_90 · 23 Ιουλίου 2008 στις 13:40

Καλα... αν μπει τετοια ασκηση την κατσαμε! Ουτε να διαβασω την εκφωνηση δεν μπορω!

gossipgirl · 23 Ιουλίου 2008 στις 14:15

εγω παντως αυτα δεν τα ξερω ακομα.....πιο μετα δεν εναι αυτο το μεγαλο Σ που βαζετε;;;( :lol:

ουτε πως το λενε δεν ξερω!)

konask · 23 Ιουλίου 2008 στις 16:06

Αναπτύσσουμε την ανισότητα που πρέπει να δείξουμε και στην συνέχεια παίρνουμε την τριγωνική ανισότητα και επειδή ισχύει, ισχύει κατά ελάσσονα τρόπο ότι είναι και <1. Αυτό είναι; Θα προσπαθήσω να το περάσω απλώς έχω ένα προβληματάκι με το Latex.

manos66 · 23 Ιουλίου 2008 στις 18:41

εστω Α το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου ,για τα οποία ισχύει οτι | z+2-3i |<=3.για καθε ΖεΑ οριζουμε τον αριθμο f(z) από τη σχέση
f(z)=| z-6+3i |
α)να εκφράσετε γεωμετρικά το συνολο Α
β)να βρειτε την ελαχιστη κ μεγιστη τιμη του f(z)

| z+2-3i | = η απόσταση της εικόνας Μ του z από το Α (-2 , 3)
| z+2-3i |<=3 είναι κυκλικός δίσκος
| z-6+3i | = η απόσταση της εικόνας Μ του z από το Β (6 , -3)
Απάντηση στο β)
| z-6+3i |max = 13
| z-6+3i |min = 7

mostel · 23 Ιουλίου 2008 στις 20:29

Γεια όσους δε καταλαβαίνουν την άσκηση:

Για $z_1,z_2,\ldots,z_n\in\mathbf{C-\{i\}}$ , αν ισχύει ότι:

$\left|\frac{z_1+i}{z_1-i}\right|+\left|\frac{z_2+i}{z_2-i}\right|+\ldots+\left|\frac{z_n+i}{z_n-i}\right|<1$ ,

να δειχθεί ότι:

$\left|\frac{z_1+z_2+\ldots +z_n+i}{z_1+z_2+\ldots +z_n -i}\right|<1$

konask · 24 Ιουλίου 2008 στις 00:55

Άκυρο. Θα προσπαθήσω να την γράψω.

manos66 · 24 Ιουλίου 2008 στις 14:49

Aν ισχύει ότι
$\|\frac{z_1+i}{z_1-i}\|+\|\frac{z_2+i}{z_2-i}\|+...+\|\frac{z_n+i}{z_n-i}\|<1$
ν' αποδειχθεί ότι
$\|\frac{z_1+z_2+...+z_n+i}{z_1+z_2+...+z_n-i}\|<1$

Βοήθεια
Αν z $\in\mathbb{C}-$ {i} , ν' αποδειχθεί ότι :
$\|\frac{z+i}{z-i}\|<1$ <=> Im(z)>0

manos66 · 25 Ιουλίου 2008 στις 11:04

ΑΣΚΗΣΗ
Αν $\|z+2-2i\|\leq2$ και $\|w+4-6i\|\leq3$ , τότε:
α) Να βρεθούν οι γ.τ. των εικόνων των z και w.
β) Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του $\|z+w\|$

cJay · 7 Αυγούστου 2008 στις 18:16

α)
Έστω $z=x+yi \Leftrightarrow$

$|z+2-2i|\leq 2 \Leftrightarrow$

$|x+yi+2-2i|\leq 2 \Leftrightarrow$

$\sqrt{{(x+2)}^{2}+{(y-2)}^{2}}\leq 2 \Leftrightarrow$

${(x+2)}^{2}+{(y-2)}^{2}}\leq 4 \Leftrightarrow$

Κύκλος με κέντρο (-2,2) και ακτίνα 2...

Ο γ.τ.(z) είναι το εσωτερικό του κύκλου με κέντρο (-2,2) και ακτίνα 2 καθώς και ο κύκλος...

Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος