Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

cJay · 7 Αυγούστου 2008 στις 18:19

για το w ίδιος τρόπος λύσης με το z... Κ(-4,6) και ρ=3

manos66 · 7 Αυγούστου 2008 στις 21:50

Το δύσκολο είναι το Ι z+w Ι. Οι περισσότερες ασκήσεις ζητούν το Ι z -w I.

mostel · 8 Αυγούστου 2008 στις 06:36

$|z-(-w)|$

Αν και για να μη μεθοδολογούμε εντελώς, μπορούμε να κάνουμε κλασικά το σχηματάκι μας και να δουλέψουμε από εκεί, έχοντας μια οπτική εικόνα για το τι κάνουμε.

Γενικά να θυμάστε:

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ = ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ!

Επομένως, μη διστάσετε, αν δε σας έρχεται κάτι από άποψη εμπειρίας κατά νου, να κάνετε το σχήμα. Μας ανοίγει τα μάτια πολλές φορές!

Τα λέμε απ' την άλλη βδομάδα, μιας και την κάνω για διακοπές.

Στέλιος

kvgreco · 2008-08-13T13:24:56+0300

Να ζητήσω κι εγώ μιά βοήθεια γιά την παρακάτω άσκηση πού μού έβαλε ο καθηγητής.

το 2 ερώτημα.

kvgreco · 2008-08-15T10:28:25+0300

Μού την έλυσε ο καθηγητής αλλά δεν σας τη λέω κι εγώ γιατί δεν με βοηθήσατε να! :jumpy:

mostel · 2008-08-16T04:05:20+0300

Δίνεται ο μιγαδικός $z=x+yi, x,y\in\mathbf{R^*}$ και οι παραστάσεις $a=\sqrt{2}[Re(z)+|z|]$ , $b=\sqrt{2}[Im(z)+|z|]$ , με $x+y\in\mathbf{Z}$ και $|z|\in\mathbf{N}$ .

α) Να δειχθεί ότι το γινόμενο $a\cdot b$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

β) Αν $a\cdot b=|z|^2$ , τότε:

i) Να δειχθεί ότι η εικόνα του z ανήκει σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

ii) Να δειχθεί ότι οι $x,y\in\mathbf{R-Q}$ .

Στέλιος

tirovlaxos · 2008-08-18T19:16:59+0300

Παιδιά, να βάλω και εγώ μια άσκηση που με δυσκόλεψε αρκετά...Τελικά δεν την έλυσα, οπότε δεν μπορώ να σας δώσω και βοήθεια!

z^3 μεγαλύτερο ή ίσο του 1

Ελπίζω εσείς να καταφέρετε να την λύσετε! (Μπας και δω και εγώ άσπρη μέρα!

)

tirovlaxos · 2008-08-19T21:44:48+0300

κάτι που ξέχασα (τι βλακάκος που είμαι!)

η εκφώνηση της άσκησης που ζήτησα είναι: Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του z, αν ισχύει: ${z}^{3}\geq 1$

sorry για το double-post

manos66 · 2008-08-20T12:50:16+0300

ΒΟΗΘΕΙΑ
Όταν διαβάζουμε ότι $z^3\geq1$
"κρύβεται" ότι ο $z^3$ είναι πραγματικός αριθμός

Θέτοντας z = x + yi
- από το $z^3\epsilon R$ καταλήγουμε σε τρείς ευθείες
- από το $z^3\geq1$ οι ευθείες γίνονται ημιευθείες

ΑΠΑΝΤΗΣΗ
${\epsilon }_{1} : y = 0, x\geq1$
${\epsilon }_{2} : y = \sqrt{3}x, x\leq-\frac{1}{2}$
${\epsilon }_{3} : y = -\sqrt{3}x, x\leq-\frac{1}{2}$

tirovlaxos · 2008-08-20T13:11:06+0300

ναι φίλε μου, γνωρίζω ότι λόγω της ανίσωσης ο z είναι πραγματικός (γιατί δεν υπάρχει διάταξη στο C). αλλά δυσκολέυτηκα αρκετά.. κυρίως με το μεγαλύτερο ή ίσο. δεν έχω καταλάβει τίποτα από γεωμετρικούς τόπους! τι θα κάνω?

m3Lt3D · 2008-08-20T15:14:31+0300

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Δίνεται ο μιγαδικός $z=x+yi, x,yinmathbf{R^*}$ και οι παραστάσεις $a=sqrt{2}[Re(z)+|z|]$ , $b=sqrt{2}[Im(z)+|z|]$ , με $x+yinmathbf{Z}$ και $|z|inmathbf{N}$ .

α) Να δειχθεί ότι το γινόμενο $acdot b$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

β) Αν $acdot b=|z|^2$ , τότε:

i) Να δειχθεί ότι η εικόνα του z ανήκει σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

ii) Να δειχθεί ότι οι $x,yinmathbf{R-Q}$ .

Στέλιος

$ab=\sqrt{2}(x+\sqrt{x^2+y^2})\sqrt{2}(y+\sqrt{x^2+y^2})=<br /> 2xy+2x\sqrt{x^2+y^2}+2y\sqrt{x^2+y^2}+2(x^2+y^2)=<br /> 2(x+y)\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}^2+(x+y)^2=<br /> (x+y+\sqrt{x^2+y^2})^2$
το χ+y einai ακεραιος. το το |z| ειναι φυσικος, αρα ειναι και ακεραιος. ομως το αθροισμα 2 ακεραιων κανει ακεραιο, οποτε αποδειχτηκε.

να προχωρισω στα επομενα ερωτηματα ή υπαρχει καπου λαθος;

(τις παραγοντοποιησεις δεν τις εκανα τοσο αναλυτικα, ελπιζω να τις καταλαβαινετε

)

mostel · 2008-08-20T15:49:05+0300

Μια χαρά είσαι. Συνέχισέ τη!

Στέλιος

kvgreco · 2008-08-21T15:09:15+0300

Άλλη άσκηση από τον καθηγητή μου.Μάλλον εύκολη αλλά κάπου σκαλώνω.

Να δειχθεί γιά κάθε μιγαδικό z ότι |1+z|< = |1+z|^2 +|z|.
Άμα δεν με βοηθήσετε καί τώρα δεν ξαναρωτάω

peri · 2008-08-21T15:29:00+0300

Γεια σας παιδια ειμαι καινουρια στο forum.
Εχω να υποβαλλω μια ασκηση που ομολογουμενως με δυσκολεψε..!!!
Αν μπορουσατε να βοηθησετε......

Αν για τους μιγαδικούς z1,z2, … ,zν (ν ≥ 2) ισχύουν z1 + z2 + … + zν = 0 (1) και |z1| = |z2| = … = |zν| = 1 να δείξετε ότι ισχύει :

|z – z1| + |z – z2| + … + |z – zν| ≥ ν, z ? C

tirovlaxos · 2008-08-21T17:58:19+0300

^είσαι από τον ειρμό?

kvgreco · 2008-08-21T23:28:17+0300

Αρχική Δημοσίευση από tirovlaxos:
^είσαι από τον ειρμό?

Τι θέλει να πεί ο.. ποιητής?
Α εννοείς το φροντιστήριο? Α μπα.Είμαι από πολύ μακριά γιά να έχω ειρμό στις σκέψεις μου. :bye:

xrhstoss · 2008-08-22T03:23:08+0300

Αρχική Δημοσίευση από gossipgirl:
θεουλη μου!!!υπάρχει περιπτωση να μπει κτ τετοιο;;;;;

ΟΧΙ

m3Lt3D · 2008-08-22T10:14:55+0300

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Δίνεται ο μιγαδικός $z=x+yi, x,yinmathbf{R^*}$ και οι παραστάσεις $a=sqrt{2}[Re(z)+|z|]$ , $b=sqrt{2}[Im(z)+|z|]$ , με $x+yinmathbf{Z}$ και $|z|inmathbf{N}$ .

α) Να δειχθεί ότι το γινόμενο $acdot b$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

β) Αν $acdot b=|z|^2$ , τότε:

i) Να δειχθεί ότι η εικόνα του z ανήκει σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
ii) Να δειχθεί ότι οι $x,yinmathbf{R-Q}$ .

Στέλιος

β)

i)
$ab=|z|^2\Leftrightarrow (x+y+ \sqrt{x^2+y^2})^2=\sqrt{x^2+y^2}^2\Leftrightarrow x+y+ \sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{x^2+y^2}\Leftrightarrow x+y=0\Leftrightarrow y=-x$
οταν διωχνω τα τετραγωνα δεν εχω εξετασει την περιπτωση
$x+y+ \sqrt{x^2+y^2}<0$ που καταληγει σε xy>0. εκει τι λεμε?

mostel · 2008-08-22T10:23:20+0300

Έχουμε ότι $|z|\in\mathbf{N}$ .

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

όμως $y=-x$ , άρα:

$|z|=\sqrt{x^2+(-x)^2}=\sqrt{2x^2}=|x|\sqrt{2}\in\mathbf{N}$

Αν $x\in\mathbf{Q}$ , τότε θα 'χαμε $|z|\notin\mathbf{N}$ , μιας και γινόμενο ρητού και άρρητου μας κάνει άρρητο. Άρα οφείλει $x\in\mathbf{R-Q}$ . Αντίστοιχα και για το y. qed.

Πώς σου φάνηκε η άσκηση; Νομίζω ότι είναι καλή, δείχνει ποιος μαθητής μπορεί να σκεφτεί κάτι το παραπάνω, αλλά μπορεί και ο καθένας τη λύσει, αν όχι εξ' ολοκλήρου, το μεγαλύτερο μέρος της.

Στέλιος

Ps: Στο γεωμετρικό τόπο, όταν φεύγεις απ' τα τετράγωνα, παίρνεις δύο περιπτώσεις. Με τη μία περίπτωση βρίσκεις για γεωμετρικό τόπο την y=-x, ενώ με την άλλη x=y=0, που 'ναι άτοπο.

m3Lt3D · 2008-08-22T10:57:04+0300

αρκετα ωραια και πρωτοτυπη ασκηση! προχθες τελειωσαμε το κεφαλαιο των μιγαδικων και παρολο που εχω λυσει ασκησεις με μιγαδικους απο 3 βοηθηματα(γκατζουλη,σκομπρη,μπαρλα), δεν εχω συναντησει παρομοια. αν εχεις κιαλλες ποσταρε!

Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος