Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

who · 14 Ιουλίου 2008 στις 12:47

Άλλη μία,
Αν ισχύει $z^4-4z+6=0$ , να αποδείξετε ότι $|z|>1$ .

169 · 14 Ιουλίου 2008 στις 14:44

το παλευω αλλα τιποτα μη βαλεις γρηγορα την λυση please

169 · 14 Ιουλίου 2008 στις 15:11

θελω λιγη βοηθεια εδω κανενας αλλος δεν προσπαθει ....?

mostel · 14 Ιουλίου 2008 στις 15:21

Εγώ περιμένω επαλήθευση πως όντως είναι τετάρτου βαθμού και όχι δευτέρου, για να βάλλω μπρος τη λύση

Στέλιος

169 · 14 Ιουλίου 2008 στις 15:31

ουτε με δευτερου ειναι << καλη>> νομιζω

mostel · 14 Ιουλίου 2008 στις 15:33

Είναι καλή τότε. Οι ρίζες είναι :

$2\pm i2\sqrt{2}$

και έχουν μέτρο μεγαλύτερο της μονάδας.

169 · 14 Ιουλίου 2008 στις 15:53

λογικα αρκει νδο |4z-6|>1 σωστα?

mostel · 14 Ιουλίου 2008 στις 16:11

Ενδεχόμενα, ναι.

ηλεκτρα22481 · 14 Ιουλίου 2008 στις 16:13

Αρχική Δημοσίευση από 169:
λογικα αρκει νδο |4z-6|>1 σωστα?

απο οσα εχω στο μυαλο μου το αδειο προτεινω αν εχετε ορεξη να το λυσετε απλα ξαπλωστε και θα σας περασει......απο μια τρελη φαν της 169

ξερει αυτη..μισο λεπτο να σκεφτω σοβαρα τη λυση να σας πω....

169 · 14 Ιουλίου 2008 στις 16:47

για να σκεφτεις σοβαρα πρεπει αρχικα να σκεφτεσαι καλη μου :lol:

παλεψε το ομως

ευχαριστω mostel μηπως μπορεσες να το δειξεις

mostel · 14 Ιουλίου 2008 στις 16:52

Όχι, δε το επιχείρησα κάν. Περιμένω επαλήθευση από τον who..

Στέλιος

169 · 14 Ιουλίου 2008 στις 19:35

αν ειναι ευκολο θα ηθελα την λυση

αν |z|=|w|=|u|=1 και z+w+u=0
α)νδο |z-w|=|w-u|=|u-z|
β)νδο |z-w|<ή= 4

169 · 14 Ιουλίου 2008 στις 19:44

τελικα ειναι πολυ καλη την προτεινω...:no1:

exc · 14 Ιουλίου 2008 στις 20:58

Λοιπόν...
Από την πρώτη σχέση καταλαβαίνουμε πως οι z,w,u κινούνται στον μοναδιαίο κύκλο. Τρία διανύσματα για να έχουν μηδενικό άθροισμα όταν κινούνται στον ίδιο κύκλο πρέπει να έχουν μία "γωνιακή απόσταση" (ας μου επιτραπεί ο όρος αυτός) 120 μοιρών (δε χρειάζεται περισσότερη εξήγηση). Άρα και οι μιγαδικοί z,w,u έχουν "απόσταση" 120 μοιρών. Άρα η εικόνα τους σχηματίζει ένα ισόπλευρο τρίγωνο και έτσι αποδεικνύεται το α.
Τώρα όσον αφορά το β ερώτημα... Μάλλον είναι λάθος να θεωρήσουμε <ή=4... Τι να πω...

Συγγνώμη για την περίεργη λύση... Tουλάχιστον είναι σωστή!

169 · 14 Ιουλίου 2008 στις 21:25

μηπως μπορεις να αναλυσεις αυτο με την γωνιακη αποσταση μια
αποδειξη θα βοηθουσε εγω το εβγαλα αλλιως

exc · 14 Ιουλίου 2008 στις 21:29

μηπως μπορεις να αναλυσεις αυτο με την γωνιακη αποσταση

Βεβαίως μπορώ. Έχουμε τον μοναδιαίο κύκλο και παίρνουμε τρία σημεία Α(z), B(w), C(u) έτσι ώστε τα τόξα ΑΒ, ΒC, CA να είναι ίσα μεταξύ του και άρα 120 μοιρών. Οπότε οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε αυτά είναι 60 και συνεπώς το τρίγωνο ΑΒC είναι ισόπλευρο.

ΥΓ: Μπορούμε ανά πάσα στιγμή να θεωρούμε τους μιγαδικούς ως διανύσματα και το αντίθετο.

edit: με το νόμο των συνημιτόνων βρίσκουμε το β. Σημ.: συν120=-0,5

manos66 · 14 Ιουλίου 2008 στις 21:42

Το σωστό είναι
β) ν.δ.ο. $|z - w|\leq \sqrt{3}$

169 · 14 Ιουλίου 2008 στις 21:49

ευχαριστω ειναι πραγματικα ομορφο

manos66 · 14 Ιουλίου 2008 στις 21:52

Αν θέλουμε ν.δ.ο. |z - w| = |w - u| "ξεφορτωνόμαστε" τον κοινό w
w = -z - u
Αρκεί ν.δ.ο. |2z + u| = |-z - 2u|
Υψώνω στο τετράγωνο ...

Όμοια |w - u| = |u - z|

mostel · 14 Ιουλίου 2008 στις 21:52

Λοιπόν:

$z+w+u=0$ ή

$w+u=-z$ (1)

Όμως και:

$\overline{z+w+u}=0$

$\frac{1}{z}+\frac{1}{u}+\frac{1}{w}=0$

$\frac{zw+zu+wu}{zwu}=0$

$zw+zu+wu=0$ (2)

$z(w+u)+wu = 0$ ( από (1) )

$-z^2 + wu = 0$

$wu=z^2$ (3)

Ακόμη:

$z+w+u=0$

$(z+w+u)^2=0$

$z^2+w^2+u^2+2wz+2wu+2zu=0$

$z^2+w^2+u^2+2(wz+wu+zu)=0$

$z^2+w^2+u^2=0$ (από (2) )

Όμως $z^2=wu$

Άρα

$w^2+u^2+wu = 0$ (από (3) )

ή

$w^2+u^2-2wu+wu = -2wu$

$(w-u)^2=-3wu$

$|w-u|^2=3$

$|w-u|=\sqrt{3}$

Αντίστοιχα και για τα άλλα βγαίνει ότι:

$|w-u|=|u-z|=|z-w|=\sqrt{3}<4$

(Μάλιστα βρήκα ακριβώς το μέτρο

)

Υπάρχει και δεύτερος τρόπος όμως για να βρούμε το μέτρο των $|w-u|$ , κ.λπ.

Γενικά το εμβαδόν ισοπλεύρου, είναι γνωστό από τη γεωμετρία ότι δίνεται από τον τύπο:

$E=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (4)

Όμως και το εμβαδόν τριγώνου, περιγεγραμμένου σε κύκλο, είναι επίσης γνωστό από γεωμετρία ότι δίνεται από τον τύπο:

$E=\frac{abc}{4R}$

όμως στην προκειμένη $R=1$ και $a=b=c$ . Άρα:

$E=\frac{a^3}{4}$ (5)

Ταυτίζοντας τις (4) και (5), παίρνουμε:

$\frac{a^3}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$a=\sqrt{3}$

Άρα:

$|u-w|=\sqrt{3}$ , και το ίδιο για τα άλλα.

Στέλιος

Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος