Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

169 · 14 Ιουλίου 2008 στις 21:53

παντως mano66 δεν νομιζω πως αυτο ειναι δοκιμο
να θυμασε οτι |κ+λ|=/|κ|+|λ|

mostel · 14 Ιουλίου 2008 στις 21:56

Ισχύει αυτό που λες 169 (αλήθεια, ποιο είναι το όνομά σου ; ),

αλλά δεν έχει σχέση με τη λύση που προτείνει ο Μάνος.

Στέλιος

manos66 · 14 Ιουλίου 2008 στις 21:58

Κάθε μέτρο |z - w|, |w - u| και |u -z| είναι μήκος πλευράς ισοπλέυρου τριγώνου του μοναδιαίου κύκλου.
Άρα ισούται με R $sqrt{3}$ ή $sqrt{3}$ .

exc · 14 Ιουλίου 2008 στις 22:02

Και εγώ σκέφτηκα με το ισόπλευρο τρίγωνο που σχηματίζεται, το ρίζα 3 το έβγαλα με νόμο συνημιτόνων, όμως.

169 · 14 Ιουλίου 2008 στις 22:05

ειναι απλο
|z+w|=|u|=>|w-z|=|1-2z|
|z+u|=1=>|u-z|=|1-2z|
αρα |w-z|=|u-z|(1)
|w+u|=1=>|w-u|=|1-2u|
|z+u|=1=>|z-u|=|1-2u|
αρα |w-u|=|z-u|(2)
απο (1),(2)=>το ζητουμενο
ειναι σωστο;
καμια ιδεα για το (β);

mostel · 14 Ιουλίου 2008 στις 22:06

Το β το έχω απαντήσει πιο πάνω!

169 · 14 Ιουλίου 2008 στις 22:07

εχεις δικιο mostel ... δεν σου αρεσει το 169 σκεφτομουν και το1729..

mostel · 14 Ιουλίου 2008 στις 22:08

Όχι, απλώς μου φαίνεται άκυρο να σε αποκαλώ ως ένα νούμερο. Το Κωνσταντίνα ή Μαρία ακούγεται καλύτερο μάλλον.

Στέλιος

manos66 · 14 Ιουλίου 2008 στις 22:10

Αν θέλουμε ν.δ.ο. |z - w| = |w - u| "ξεφορτωνόμαστε" τον κοινό w
z + w + u = 0 άρα w = -z - u
Αρκεί ν.δ.ο. |2z + u| = |-z - 2u|
Υψώνω στο τετράγωνο (2z + u) $(2\frac{-}{z}$ + $\frac{-}{u})$ = (z + 2u) $(\frac{-}{z}$ +2 $\frac{-}{u})$
4 $|z|^2$ + 2z $\frac{-}{u}$ + 2u $\frac{-}{z}$ + $|u|^2$ = $|z|^2$ + 2z $\frac{-}{u}$ + 2u $\frac{-}{z}$ + 4 $|u|^2$

3 $|z|^2$ = 3 $|u|^2$
που ισχύει
(Συγνώμη για τους συζυγείς. Τώρα το μαθαίνω)
Όμοια |w - u| = |u - z|

169
|w+u|=1 ?????

mostel · 14 Ιουλίου 2008 στις 22:17

Βάζω και δύο λύσεις για το πρόβλημα:

Λύση 2η:

Είναι γνωστό ότι το ορθόκεντρο τριγώνου βρίσκεται στο:

$H=a+b+c$

Στην προκειμένη είναι $H=0$ .

Ακόμη, το βαρύκεντρο δίνεται από τον τύπο:

$G=\frac{a+b+c}{3}=0$

Άρα ορθόκεντρο=βαρύκεντρο=περίκεντρο = ισόπλευρο.

Λύση 3η:

Θα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα:

$|u-w|^2+|u+w|^2=2(|w^2|+|u^2|)$

Όμως $u+w+z=0$

Άρα:

$u+w=-z$

$|u-w|^2 + |z|^2=2(|w^2|+|u^2|)$

$|u-w|^2=4-1$

$|u-w|^2=3$

$|u-w|=\sqrt{3}$

Το ίδιο και για τα άλλα.

exc · 14 Ιουλίου 2008 στις 22:22

Πολλή έμπνευση έχει φέρει αυτή η άσκηση... 5-6 λύσεις συνολικά...

169 · 14 Ιουλίου 2008 στις 22:37

mano ειναι |z+u|=|-w|

169 · 14 Ιουλίου 2008 στις 22:40

mostel δεν το πετυχες το ονομα
προτιμω το 169 αν δεν σε πειραζει
αληθεια η λυση μου ειναι σωστη ;

mostel · 14 Ιουλίου 2008 στις 22:46

Δε καταλαβαίνω τι ακριβώς γράφεις. Αν θες, ξαναγράψε το αναλυτικά.

Στέλιος

169 · 14 Ιουλίου 2008 στις 22:52

δες την παλι απλα αντικαθιστω στις μεταβλητες απο την z+w+u=0
ευχαριστω που κοιταξες παντως

who · 15 Ιουλίου 2008 στις 00:17

Τώρα το είδα. Mostel είναι τέταρτου. Υπάρχει και πιο εύκολη λύση από το να βρείτε τις ρίζες. Να σας κάνω υπόδειξη ή να σας την λύσω???

who · 15 Ιουλίου 2008 στις 01:08

Αν $z^4-4z+6=0$ να αποδείξετε ότι $|z|>1$ .

ΛΥΣΗ

Έστω ότι $|z|<=1$ . Τότε, $4z-z^4=6$ ή $|4z-z^4|=|6|=6$ ή, από τριγωνική ανισότητα, $6=|4z-z^4|<=4|z|+|z|^4<=4*1+1^4=5$ . Δηλαδή $6<=5$ . Άτοπο. Άρα $|z|>1$ .

Ακόμα δεν έχω μάθει να χρησιμοποιώ το latex

mostel · 15 Ιουλίου 2008 στις 11:44

Με πρόλαβες.... Γιατί βιάστηκες αλήθεια να δώσεις τη λύση; :s

Α, και οι ρίζες σε αυτή δε βρίσκονται!

manos66 · 15 Ιουλίου 2008 στις 13:05

169

|z+u|=1 σωστό αλλά
|u-z|=|1-2z|;;;

169 · 15 Ιουλίου 2008 στις 13:13

αφαιρεις και απο τα δυο μελη το 2z

Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος