να ρωτήσω και εγώ κάτι?
έστω ότι έχω μια διανυσματική συνάρτηση του t πχ
r(t) = x(t)xo + y(t)yo
τι κάνω για να βρώ την φυσική παραμετρική εξίσωση
r(s) = x(s)xo + y(s)yo ?
αν γίνεται βάλτε και ένα παράδειγμα για να καταλάβω...
όπου bold διανύσματα...
Είναι μια διαδικασία που δεν είναι πάντα εφικτή. Πρώτα απ' όλα επιλέγεις αυθαίρετα ένα σημείο της καμπύλης C
,y({t}_{0}) \right))
που είναι η αρχή του συτήματος καμπυλόγραμμων συντεταγμένων στο οποίο
. Σε κάθε σημείο
,y(t) \right))
της καμπύλης C αντιστοιχεί μοναδική καμπυλόγραμμη συντεταγμένη s που δίνεται από τον τύπο:
)
όπου
=\int_{{t}_{0}}^{t}\sqrt{{\left(x'(\tau ) \right)}^{2}+{\left(y'(\tau ) \right)}^{2}}d\tau)
Το πεδίο ορισμού
της f καθορίζεται έτσι ώστε η f να είναι 1-1 σε αυτό. Έτσι σε κάθε σημείο A(x(t),y(t)) αντιστοιχεί μία καμπυλόγραμμη συντεταγμένη s και αντίστροφα. Στην περίπτωση αυτή έχουμε:
\Leftrightarrow t={f}^{-1}(s))
)
Τότε η εξίσωση της καμπύλης γίνεται:
=\vec{r}({f}^{-1}(s))=\vec{R(s)})
Άρα
}=x\left({f}^{-1}(s) \right)\vec{{x}_{0}}+y\left({f}^{-1}(s) \right)\vec{{y}_{0}})
Αν μπορούμε να προσδιορίσουμε την αντίστροφη της f, τότε μπορεί να γραφεί η C στη μορφή
})
-----------------------------------------
Ας εξετάσουμε για παράδειγμα τον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ. Ως γνωστόν η εξίσωσή του στο επίπεδο Οxy είναι C:
.
Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου αυτού είναι
)
)
όπου
)
Ας θεωρήσουμε ως αρχή του συστήματος καμπυλόγραμμων συντεταγμένων το σημείο του κύκλου που αντιστοιχεί στην τιμή
:
=\varrho )
=0)
οπότε η αρχή είναι το σημείο
)
Η φ θεωρείται θετική όταν διαγράφεται δεξιόστροφα. Όταν η φ είναι θετιή τότε και η s είναι θετική.
 \right)}^{2}+{\left(y'(\phi ) \right)}^{2}}d\phi =\int_{0}^{\varphi }\varrho d\phi =\varrho \int_{0}^{\varphi }d\phi =\varrho \varphi =f(\varphi ))
Καταλήξαμε στη γνωστή σχέση s=ρφ από την Ευκλείδεια Γεωμετρία.
Η f έχει πεδίο ορισμού
)
, πεδίο τιμών
=[0,2\pi \varrho ))
και είναι 1-1.
\Rightarrow \varphi ={f}^{-1}(s))
\Leftrightarrow s=\varphi \varrho \Leftrightarrow \varphi =\frac{s}{\varrho }\Leftrightarrow \varphi ={f}^{-1}(s))
όπου
=\frac{s}{\varrho })
Αντικαθιστώντας στις αρχικές παραμετρικές εξισώσεις προκύπτει:
=x({f}^{-1}(s))=\varrho cos\left(\frac{s}{\varrho } \right))
=y({f}^{-1}(s))=\varrho sin\left(\frac{s}{\varrho } \right))
