Ανώτερα Μαθηματικά

statakos · 28-08-09

Και συμπληρώνω :

(εν' όψει εξέτασης διακριτών την άλλη βδομάδα

)

Παράδειγμα σχέσης ισοδυναμίας : a Ξ4 b $\Leftrightarrow$ $a-b= 4k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

5. Η Μερική Διάταξη :
Μερική διάταξη στο σύνολο Α λέγεται μια σχέση στο Α που είναι αυτοπαθής, αντισυμμετρική και μεταβατική. Δηλαδή η $S \subseteq A x A$ είναι μερική διάταξη στο Α αν :

$x \sim x$ $\forall x$ $\in$ $A$
$x \sim y$ και $y \sim x \Rightarrow x=y$ , και
$x \sim y$ και $y \sim z \Rightarrow x \sim z$

Παραδείγματα :

Η σχέση " $\leq$ " στο $\mathbb{R}$ είναι μια σχέση μερικής διάταξης.
Η σχέση " $\subseteq$ " στο δυναμοσύνολο ενός συνόλου, είναι επίσης μία σχέση μερικής διάταξης.

6. H Ολική διάταξη :
Έστω R σχέση μερικής διάταξης η οποία ορίζεται σ' ένα σύνολο Α. Αν επιπλέον $\forall x,y \in A$ είτε $x \sim y$ ή $y \sim x$ , τότε η R ονομάζεται σχέση ολικής διάταξης.

Σχόλιο : Η σχέση 1) του τελευταίου παραδείγματος είναι και ολικής διάταξης ενώ η 2) δεν είναι και ολικής διάταξης.

nPb · 28-08-09

η σχέση μερικής διάταξης λέγεται επίσης και σχέση διάταξης

andreas157 · 12-09-09

ερώτηση: το κέντρο συμμετρίας μιας καμπύλης σχετίζεται με κάποιον τρόπο με το σημείο καμπής?

galois01 · 13-09-09

Αρχική Δημοσίευση από andreas157:
ερώτηση: το κέντρο συμμετρίας μιας καμπύλης σχετίζεται με κάποιον τρόπο με το σημείο καμπής?

Χωρίς να είμαι και σίγουρος νομίζω πως δεν σχετίζονται μεταξύ τους.
Δίνω τους ορισμούς

Κέντρο Συμμετρίας

Έστω η συνάρτηση $f:A\longrightarrow\mathbb{R}$ . Για να είναι το σημείο Κ(λ/2,μ/2) κέντρο συμμετρίας πρέπει και αρκεί

1. $\lambda-x\inA$ για κάθε χ ανήκει Α

2. $f(x)+f(\lambda-x)=\mu$ για κάθε χ ανήκει Α

Σημείο Καμπής

Εστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ΄ένα διάστημα (α,β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $x_{0}$ . Αν

1.η f είναι κυρτή στο $(\alpha,x_{0})$ και κοίλη στο $(x_{0},\beta)$ ή αντιστρόφως

2.η Cf έχει εφαπτομένη στο $A(x_{0},f(x_{0})$

τότε το σημείο Α ονομάζεται σημείο καμπής της Cf.

Kαι ένα παράδειγμα

οι πολυωνυμικές συναρτήσεις άρτιου βαθμού δεν έχουν κέντρα συμμετρίας ωστόσο μπορεί να έχουν σημεία καμπής.

π.χ $f(x)=x^{4}-6x^{2}-1$

Κώστας

gorilla1906 · 14-09-09

Χμμμ...Ενδιαφέρον..Το σημείο καμπής είναι μία τοπική έννοια..Η καμπύλη γενικά μπορεί να είναι εξωτική..Εξέτασε αν μπορείς να βρεις ένα δ>0 έτσι ώστε στο διάστημά (x-δ,x+δ) αν το ο x είναι σημείο καμπής, τότε είναι κέντρο συμμετρίας..Έχω την εντύπωση ότι τοπικά μπορείς να δείξεις ότι κάθε σημείο μίας καμπύλης μπορεί σε ένα μικρό διάστημα να θεωρηθεί προσεγγιστικά ως κέντρο συμμετρίας..Οπότε δεν θα βρεις σχέση μεταξύ των δύο εννοιών.. Το αντίστροφο δεν ισχύει ούτε τοπικά ούτε γενικά.. Η f(x)=x έχει κέντρο συμμετρίας κάθε σημείο της..Σωστά;
Καλημέρα!

galois01 · 14-09-09

Αρχική Δημοσίευση από gorilla1906:
Η f(x)=x έχει κέντρο συμμετρίας κάθε σημείο της..Σωστά;

Γενικά η πολυωνυμική συνάρτηση 1ου βαθμού $f(x)=ax+b$ έχει άπειρα κέντρα συμμετρίας τα οποία είναι τα σημεία που ανήκουν στη Cf.

Κώστας

gorilla1906 · 14-09-09

Όταν λες άπειρα σημεία συμμετρίας το διαχωρίζεις από την δική μου;; Υπάρχει κάποιο σημείο στην Cf το οποίο να μην είναι κέντρο συμμετρίας;;

galois01 · 15-09-09

Αρχική Δημοσίευση από gorilla1906:
Όταν λες άπειρα σημεία συμμετρίας το διαχωρίζεις από την δική μου;; Υπάρχει κάποιο σημείο στην Cf το οποίο να μην είναι κέντρο συμμετρίας;;

Όχι το ίδιο ακριβώς λέμε. Ότι η $C_{f}$ έχει άπειρα κέντρα συμμετρίας τα οποία θα είναι όλα τα σημεία που ανήκουν στη γραφική της παράσταση και αυτό διότι ισχύει η εξής πρόταση

Αν μια συνάρτηση $f:A\longrightarrow\mathbb{R}$ έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο $(x_{0},y_{0})$ και $x_{0}\in A$ τότε $(x_{0},y_{0})\in C_{f}$

Ειδικότερα τώρα αν $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ μια πολυωνυμική συνάρτηση (περιττού βαθμού) και έχει κέντρο συμμετρίας τότε αυτό θα ανήκει στη $C_{f}$

Πάντως η συμμετρία έχει ωραίες εφαρμογές και στον υπολογισμό ολοκληρωμάτων. Ισχύει η βασική πρόταση

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο [a,b].Αν η Cf έχει κέντρο συμμετρίας τότε:

$\int_a^bf(x)dx=\frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))=(b-a)f(\frac{a+b}{2})$ .

Κώστας

13diagoras · 23-07-10

Αν και δεν νομίζω να το δεί κάποιος μιας και το θέμα παραμένει ανενεργό εδώ και πολλούς μήνες,θα ήθελα να ρωτήσω εάν κάποιος γνωρίζει τίποτα περί οκτωνίων και κουατερνίων?(Αποτελούν διδακταία ύλη του πανεπιστημίου?)

nPb · 23-07-10

Δεν έχω ακούσει κάτι...

Dias · 23-07-10

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
Αν και δεν νομίζω να το δεί κάποιος μιας και το θέμα παραμένει ανενεργό εδώ και πολλούς μήνες,θα ήθελα να ρωτήσω εάν κάποιος γνωρίζει τίποτα περί οκτωνίων και κουατερνίων?(Αποτελούν διδακταία ύλη του πανεπιστημίου?)

https://www.google.gr/#hl=el&q=octonions&aq=6&aqi=g1g-s4g2g-s1&aql=&oq=octon&gs_rfai=&fp=2227e1cee0d4542d
https://www.google.gr/#hl=el&q=quaternions&aq=1&aqi=g-s1g3g-s2g4&aql=&oq=quate&gs_rfai=&fp=2227e1cee0d4542d
Πρώτη φορά τα ακούω. Ενδιαφέρον έχουν πάντως, ας μην κατάλαβα και πολλά....

ΚΛΙΚ

nPb · 23-07-10

Α, αυτά τα ξέρω απλά δεν τα ξέρω με τέτοια ονόματα...χεχεχε

Dias · 23-07-10

Αρχική Δημοσίευση από nPb:
Α, αυτά τα ξέρω απλά δεν τα ξέρω με τέτοια ονόματα...χεχεχε

Μια μέρα στην αρχή της Α λυκείου ο φυσικός μας είπε κάτι που ανακάλυψε ο Newton και μια συμμαθήτρια μου πετάχτηκε και είπε: "όχι κύριε, ο Νεύτωνας το ανακάλυψε και όχι ο Newton"!!!!

nPb · 23-07-10

Αυτά τα μαθηματικά πρέπει να ανήκουν στον κλάδο των Θεμελίων των Μαθηματικών και Θεωρία Κατηγορημάτων...

13diagoras · 23 Ιουλίου 2010

Οπως απο τους πραγματικους που αναπαριστανται σε ευθεια περασαμε στους μιγαδικους ,λογικο επομενο ειναι σε τρεισδιαστατους και πολυδιαστατους χωρους να δημιουργουμε ευρυτερες ομαδες αριθμων,αν και δεν νομιζω πως ειναι τοσο απλο οσο το παρουσιαζω.Παντος τα διαβασα στα "μαθηματικα επικαιρα"του Τευκρου και σε μια σχετικη αναζητηση περι κουατερνιων στο google,βρηκα ενα αρχειο που παρουσιασε ο Λυγερος και τιποτα παραπανω,δυστυχως...
εδιτ:Το θεμα ομως ειναι απο εκει που οι μιγαδες "επινοηθηκαν" για το ι²=-1,τα αλλα 2 που χρησιμευουν πρακτικα??

Ορεστης · 13 Σεπτεμβρίου 2018

Καλησπέρα είναι δυνατόν κάποιος να με βοηθήσει επιβεβαιώνοντας ότι οι παρακάτω ασκήσεις είναι λυμένες σωστά και να με βοη θησει με καποιες αποριες μου ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ εκ των προτέρων.
1 :Να βρεθεί το πολυώνυμο taylor για την f(x)=2+ln(5-x^3) γύρω από το σημείο χ0=0
2: Να βρεθεί το ολικό διαφορικό της συνάρτησης z=5yx^2-7xy^2 Να βρεθεί μια προσεγγιστική τιμή της συνάρτησης για το σημείο (2,02 .3,99) με βάση το ολικό διαφορικό
3: Σε ένα νοσοκομείο το 35% των ανθρώπων έχουν προσβληθεί από μια ασθενεια.Ποια η πιθανότητα σε ένα τυχαίο δείγμα 7 ανθρώπων οι 4 να έχουν προσβληθεί?Ποια η πιθανότητα σε ένα δείγμα 5 ανθρώπων οι 4 να μην έχουν προσβληθεί?
Υ.Σ λόγω χώρου θα αναρτήσω από κάτω τις λυσεις

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Έλυσα τη την δευτερη ασκηση με τα διαφορικα ως εξης:αρχικα εκανα μερικη παραγωγηση ως προς χ
θf/θx=5y*2x-7y^2=10yx-7y^2
Επειτα ως προς y
θf/θy=5x^2-7x*2y=5x^2-14xy
Και τελος εφαρμοσα τον τυπο του διαφορικου και βγηκε αυτο :
df=θf/θx*dx+θf/θy*dy=( 10yx-7y2)*dx+ ( 5x^2-14xy )*dy
Ωστοσο για το δευτερο σκελος της ερωτησης τι κανω? Βαζω οπου χ 2,02 και οπου y 3,99?
Έλυσα τη τρίτη ως εξής :Για το πρώτο έχω n=7, p=0,35 X= 4
fx(4)=(7/4)* 0,35^4 *0,65^3=0,0071925
Για το δεύτερο n=5, p=0,65 X=4
fx(4)=(5/4)*0,65^4*(1-0,65)^1= 1.25*0.178*0.35=0,077875
Είναι σωστή με διωνυμική κατανομη την έκανα
Με το taylor δε έβγαλα άκρη μπορεί να με βοηθήσει κανείς?

Lancelot · 13-09-18

Αρχική Δημοσίευση από Ορεστης:
Καλησπέρα είναι δυνατόν κάποιος να με βοηθήσει επιβεβαιώνοντας ότι οι παρακάτω ασκήσεις είναι λυμένες σωστά και να με βοη θησει με καποιες αποριες μου ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ εκ των προτέρων.
1 :Να βρεθεί το πολυώνυμο taylor για την f(x)=2+ln(5-x^3) γύρω από το σημείο χ0=0
2: Να βρεθεί το ολικό διαφορικό της συνάρτησης z=5yx^2-7xy^2 Να βρεθεί μια προσεγγιστική τιμή της συνάρτησης για το σημείο (2,02 .3,99) με βάση το ολικό διαφορικό
3: Σε ένα νοσοκομείο το 35% των ανθρώπων έχουν προσβληθεί από μια ασθενεια.Ποια η πιθανότητα σε ένα τυχαίο δείγμα 7 ανθρώπων οι 4 να έχουν προσβληθεί?Ποια η πιθανότητα σε ένα δείγμα 5 ανθρώπων οι 4 να μην έχουν προσβληθεί?
Υ.Σ λόγω χώρου θα αναρτήσω από κάτω τις λυσεις

=

Ειναι ο τυπος του taylor .
Βρισκεις απο τη μηδενικη εως την 5η παραγωγο της f(x) που εχεις, υπολογιζεις για χ=0 την καθε τιμη και αντικαθιστας στον αρχικο τυπο .
Ελπιζω να καταλαβες .
Το ολικο διαφορικό μ φαίνεται σωστο. Στατιστική ας απαντήσει κανενας αλλος δεν το χω

Ορεστης · 13 Σεπτεμβρίου 2018

Σε ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.Για τη 2η άσκηση που λέει βρείτε τη τιμή 2,02 l 3,99 τι κάνω? έχω κολλησει.επιπελον για το taylor μήπως επειδή μου λέει γύρω από το σημείο Χο=0 είναι σειρά maclaurin η όχι σορυ είμαι άσχετος.Το ταυλορ άμα γίνεται να το εξηγήσεις λίγο η άμα έχεις καμία δημειωση.Ευχαριστω σορυ είμαι άσχετος με μαθηματικα

Samael · 13-09-18

Αρχική Δημοσίευση από Ορεστης:
Σε ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.Για τη 2η άσκηση που λέει βρείτε τη τιμή 2,02 l 3,99 τι κάνω? έχω κολλησει.επιπελον για το taylor μήπως επειδή μου λέει γύρω από το σημείο Χο=0 είναι σειρά maclaurin η όχι σορυ είμαι άσχετος.Το ταυλορ άμα γίνεται να το εξηγήσεις λίγο η άμα έχεις καμία δημειωση.Ευχαριστω σορυ είμαι άσχετος με μαθηματικα

Η σειρα Maclaurin ειναι απλα ειδικη περιπτωση της σειρας taylor

.

Ορεστης · 13-09-18

Α επίσης για τη δεύτερη άσκηση που με λέει να βρω μια προσεγγιστική τιμή της συνάρτησης για το 2,02 3,99 τι κάνω?

Ανώτερα Μαθηματικά

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Επιφανές μέλος

Επιφανές μέλος

Επιφανές μέλος

Επιφανές μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος