Ανώτερα Μαθηματικά

Civilara · 12-06-09

Είναι καιρός να ανοιχτεί ένα thread στο οποία θα αναλύονται θέματα μαθηματικών γενικού ενδιαφέροντος καθώς υπάρχει πολύς κόσμος εδώ μέσα που του αρέσουν. Τα θέματα που θα αναλύνοται θα είναι απαλλαγμένα από τα στενά πλαίσια του λυκείου και ο καθένας μπορεί να ρωτάει οτιδήποτε επιθυμεί. Έτσι θα μπορούν οι υποψήφιοι που θα πάνε στα τμήματα μαθηματικών ή σε όποια σχολή που διδάσκουν μαθηματικά να πάρουν μία ιδέα για το πως είναι τα ανώτερα μαθηματικά.

Ξεκινώντας την συζήτηση σε αυτό το thread, θέλω να ρωτήσω τους ειδικούς αν τα θεωρήματα Rolle και μέσης τιμής που αναφέρονται σε πραγματικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής επεκτείνονται και σε πραγματικές συναρτήσεις 2 ή περισσότερων πραγματικών μεταβλητών και αν ναι πώς διατυπώνονται.

andreas157 · 12-06-09

το ΘΜΤ ξέρω ότι υπάρχει για δύο μεταβλητές και είναι:

έστω συνάρτηση f:A -> R όπου Α ανοιχτό υποσύνολο του $R^2$
και η f είναι διαφορίσημη στο Α. Έστω P(xο,yο) και Q(xο+h,yο+h) σημεία του Α τέτοια ώστε το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα δύο σημεία να ανήκει μέσα στο A. Τότε θα υπάρχει θετικός πραγματικός αριθμός θ, 0<θ<1, τέτοιος ώστε:
f(xo+h,yo+h) - f(xo,yo) = h(θf/θx)|(xo+θh,yo+θh) + k(θf/θy)|(xο+θh,yο+θh)

όπου | σημαίνει ότι είναι υπολογισμένες σε εκείνα τα σημεία

η απόδειξη είναι ένα τρενάκι μιάμιση σελίδα

για το Rolle δεν έχω ιδέα.

Civilara · 12-06-09

Συνεπώς το θεώρημα του Rolle μπορεί να διατυπωθεί για μία συνάρτηση f=f(x,y) ως εξής:

Δίνεται η συνάρτηση f(x,y) που έχει μερικές παραγώγους 1ης τάξεως σε ένα ανοιχτό σύνολο A υποσύνολο του

. Αν P(x0,y0) και Q(x0+h,y0+k) είναι δύο σημεία του Α τέτοια ώστε το ευθύγραμμο τμήμα PQ να ανήκει στο Α και ισχύει f(x0,y0)=f(x0+h,y0+k) τότε υπάρχει πραγματικός αριθμός θ με 0<θ<1 τέτοιος ώστε hfx(x0+θh,y0+θk)+kfy(x0+θh,y0+θk)=0.

όπου fx=θf/θx και fy=θf/θy

p@g · 21-06-09

εγω ηθελα να ρωτησω 2 πραγματα:

1)ποια η διαφορα μεταξυ απειρου και πεπερασμενου? και

2)μπορειο καποιος να μου δωσει ενα παραδειγμα στην rearrangement inequality και να μου δειχνει πως αντιλαμβανομαστε αν οι ακολουθιες εχουν την ιδια διαταξη η αντιθετη?

ευχαριστω

Civilara · 21-06-09

Όσον αφορά το 1ο ερώτημα, τα στοιχεία $+\propto ,-\propto$ ανήκουν στο σύνολο $\bar{R}=R\bigcup {-\propto ,+\propto }=\left[-\propto ,+\propto \right]$

Ορίζονται ως εξής:

$+\propto>x$ για κάθε $x\epsilon R$
$-\propto<x$ για κάθε $x\epsilon R$

Δεν ορίζονται στο σύνολο $\bar{R}$ οι πράξεις:

$(+\propto) -(+\propto ),(+\propto)+(-\propto),(-\propto)+(+\propto),(-\propto)-(-\propto),\left( {+\propto}\right)^{0},\left( {-\propto}\right)^{0},{0}^{+\propto },{0}^{-\propto },{(+\propto )}^{+\propto },{(+\propto )}^{-\propto },{(-\propto )}^{+\propto },{(-\propto )}^{-\propto },\frac{+\propto }{+\propto },\frac{-\propto }{+\propto },\frac{+\propto }{-\propto },\frac{-\propto }{-\propto },0(+\propto ),0(-\propto ),{0}^{0},\frac{0}{0}$

Οι 2 τελευταίες πράξεις δεν ορίζονται και στο $R$ .

paganini666 · 22-06-09

Λοιπον παιδια!
Τελειωσα φετος τις πανελληνιες πηρα και βαθμους (19600 περιπου).
Μου αρεσουν πολυ τα μαθηματικα,και απο κεκτημενη ταχυτητα μολις τελειωσα με τις πανελληνιες συνεχιζα να λυνω ασκησεις-γιατι υπαρχουν πολλα ωραια θεματα στη γ-λυκειου- με τη σκεψη πως αν δε παω καλα μπορω να ξαναδωσω πρακολουθωντας παραλληλα τη σχολη μου (δεν ειναι και δυσκολο για καποιον που εχει αφομοιωσει αριστα την υλη των μαθηματων). ευτυχως η βαθμολογια μου μου επιτρεπει να ειμαι σιγουρος οτι θα περασω στη σχολη της αρεσκειας μου οποτε το να λυνω ασκησεις της γ λυκειου το θεωρω πια...ασκοπο. Γιαυτο θελω να μπω στα βαθεια!
Θα ηθελα απο αυτο το topic- ή αν χρειαστει να ανοιξω αλλο- παιδια που σπουδαζουν σε μαθηματικο ή εχουν γνωσεις ανωτερων μαθηματικων να με εισαγαγουν σε νεα πεδια. χαλαρα,να παρουσιασουν τη νεα θεωρια και να παραθετουν ασκησουλες προς λυση.
Ενδιαφερεται κανεις;

napstor · 22-06-09

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
Λοιπον παιδια!
Τελειωσα φετος τις πανελληνιες πηρα και βαθμους (19600 περιπου).
Μου αρεσουν πολυ τα μαθηματικα,και απο κεκτημενη ταχυτητα μολις τελειωσα με τις πανελληνιες συνεχιζα να λυνω ασκησεις-γιατι υπαρχουν πολλα ωραια θεματα στη γ-λυκειου- με τη σκεψη πως αν δε παω καλα μπορω να ξαναδωσω πρακολουθωντας παραλληλα τη σχολη μου (δεν ειναι και δυσκολο για καποιον που εχει αφομοιωσει αριστα την υλη των μαθηματων). ευτυχως η βαθμολογια μου μου επιτρεπει να ειμαι σιγουρος οτι θα περασω στη σχολη της αρεσκειας μου οποτε το να λυνω ασκησεις της γ λυκειου το θεωρω πια...ασκοπο. Γιαυτο θελω να μπω στα βαθεια!
Θα ηθελα απο αυτο το topic- ή αν χρειαστει να ανοιξω αλλο- παιδια που σπουδαζουν σε μαθηματικο ή εχουν γνωσεις ανωτερων μαθηματικων να με εισαγαγουν σε νεα πεδια. χαλαρα,να παρουσιασουν τη νεα θεωρια και να παραθετουν ασκησουλες προς λυση.
Ενδιαφερεται κανεις;

αυτο ειναι αρκετα δυσκολο να γινει.γιατι δεν παιρνεις απο ενα βιβλιοπωλειο το βιβλιο ''μαθηματικα I'' ?σημερα το ειδα και εχει ανωτερα μαθηματικα(εφριξα,δεν μπορω να φανταστω οτι σε 2,5 χρονια θα κανω τετοια).

paganini666 · 22-06-09

Αρχική Δημοσίευση από napstor:
αυτο ειναι αρκετα δυσκολο να γινει.γιατι δεν παιρνεις απο ενα βιβλιοπωλειο το βιβλιο ''μαθηματικα I'' ?σημερα το ειδα και εχει ανωτερα μαθηματικα(εφριξα,δεν μπορω να φανταστω οτι σε 2,5 χρονια θα κανω τετοια).

χμ...
Καλη ιδεα αλλα ισως δε θελω να ασχοληθω τοσο σοβαρα. Θελω να αποκτησω μια σφαιρικη γνωση και για αλλα πεδια των μαθηματικων αλλα οχι να γινω και μαθηματικος. επισης θελω να συνεχισω να λυνω ασκησεις για τα πλακα μου και να το συνδυασω αυτο με το να μαθω καινουργια θεωρια.

Iliaso · 22-06-09

Δεν θα ταν καλύτερο να προσπαθήσεις θέματα ΕΜΕ που έχουν και μια λογική;Και δεν είναι ακριβώς γ λυκείου;

paganini666 · 22-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Iliaso:
Δεν θα ταν καλύτερο να προσπαθήσεις θέματα ΕΜΕ που έχουν και μια λογική;Και δεν είναι ακριβώς γ λυκείου;

Θελω να ξεφυγω απο τη λογικη των λυκειακων μαθηματικων και να μαθω νεα πεδια. Διαφορικες εξισωσεις,παρακατω στους μιγαδικους και πολλα αλλα ωραια που ουτε καν ξερω.
ΕΜΕ ηδη λυνω που και που.

Civilara · 22-06-09

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
Λοιπον παιδια!
Τελειωσα φετος τις πανελληνιες πηρα και βαθμους (19600 περιπου).
Μου αρεσουν πολυ τα μαθηματικα,και απο κεκτημενη ταχυτητα μολις τελειωσα με τις πανελληνιες συνεχιζα να λυνω ασκησεις-γιατι υπαρχουν πολλα ωραια θεματα στη γ-λυκειου- με τη σκεψη πως αν δε παω καλα μπορω να ξαναδωσω πρακολουθωντας παραλληλα τη σχολη μου (δεν ειναι και δυσκολο για καποιον που εχει αφομοιωσει αριστα την υλη των μαθηματων). ευτυχως η βαθμολογια μου μου επιτρεπει να ειμαι σιγουρος οτι θα περασω στη σχολη της αρεσκειας μου οποτε το να λυνω ασκησεις της γ λυκειου το θεωρω πια...ασκοπο. Γιαυτο θελω να μπω στα βαθεια!
Θα ηθελα απο αυτο το topic- ή αν χρειαστει να ανοιξω αλλο- παιδια που σπουδαζουν σε μαθηματικο ή εχουν γνωσεις ανωτερων μαθηματικων να με εισαγαγουν σε νεα πεδια. χαλαρα,να παρουσιασουν τη νεα θεωρια και να παραθετουν ασκησουλες προς λυση.
Ενδιαφερεται κανεις;

Εσένα σε παω πάρα πολύ. Κατ' αρχήν έσκισες, οπότε τι εννοείς όταν λες αν δεν παώ καλά θα ξαναδώσω? Τεσπα. Και εμάνα θα μου άρεσε να ασχολούμαστε σε αυτό το forum με ανώτερα μαθηματικά, όχι περιορισμένα στα πλαίσια του λυκείου. Όμως το να σου παρουσιάσουμε μια καινούρια θεωρία από δω...πολύ γράψιμο ρε φίλε μου και δεν υπάρχουν και τα κατάλληλα σύμβολα στο latex.

paganini666 · 22-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Εσένα σε παω πάρα πολύ. Κατ' αρχήν έσκισες, οπότε τι εννοείς όταν λες αν δεν παώ καλά θα ξαναδώσω? Τεσπα. Και εμάνα θα μου άρεσε να ασχολούμαστε σε αυτό το forum με ανώτερα μαθηματικά, όχι περιορισμένα στα πλαίσια του λυκείου. Όμως το να σου παρουσιάσουμε μια καινούρια θεωρία από δω...πολύ γράψιμο ρε φίλε μου και δεν υπάρχουν και τα κατάλληλα σύμβολα στο latex.

Ειλικρινα περιμενα γυρω στα 19100 οποτε αν δεν περναγα Αθηνα θα ξαναπροσπαθουσα-παραλληλα με τη σχολη.
Μπορειτε να σκαναρετε τη θεωρια απο καποιο βιβλιο...σιγα σιγα babysteps..

Civilara · 22-06-09

Αν και ζούμε στον 21ο αιώνα είμαι από τους ελάχιστους που δεν έχουν scanner, οπότε ας κάνει την αρχή κάποιος που να έχει.

Giorgos127 · 22-06-09

Γιατι δεν ψαχνεις αρθρα στο ιντερνετ? Μπορει να βρεις κατι... Παντως η λυση που προτεινε ο ναπστορ ειναι πολυ καλη, υπαρχουν βιβλια που καλυπτουν ενα ευρυ φασμα των μαθηματικων.. Ας πουμε σημερα ειδα ενα βιβλιο που ασχολειται με τις συνηθεις διαφορικες εξισωσεις κλπ... Και δν χρειαζεται να θες να γινεις μαθηματικος για να ασχοληθεις με τα ανωτερα μαθηματικα... Α, μπορεις να κατεβασεις και θεματα διεθνων ολυμπιαδων που ειναι πολυ δυσκολα και ενδιαφεροντα για να λυσεις...

paganini666 · 22-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Αν και ζούμε στον 21ο αιώνα είμαι από τους ελάχιστους που δεν έχουν scanner, οπότε ας κάνει την αρχή κάποιος που να έχει.

προς το παρον εχω υλικο:πινακες,κεφαλαια μιγαδικων εκτος υλης και διαφορικες εξισωσεις (απτο σχολικο) οποτε εαν θελετε να αρχιζουμε να "παιζουμε" με αυτα.

Giorgos127 · 22-06-09

Συγγνωμη αν βγαινω οφ τοπικ αλλα με τον ναπστορ δεν καταφεραμε να βρουμε βιβλια σχετικα με διαγωνισμους της ΕΜΕ στον παπασωτηριου.. Ξερει κανεις απο που μπορουμε να προμηθευτουμε τετοια βιβλια?

Civilara · 22-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Giorgos127:
Συγγνωμη αν βγαινω οφ τοπικ αλλα με τον ναπστορ δεν καταφεραμε να βρουμε βιβλια σχετικα με διαγωνισμους της ΕΜΕ στον παπασωτηριου.. Ξερει κανεις απο που μπορουμε να προμηθευτουμε τετοια βιβλια?

Αν ψάξεις στη σελίδα του παπασωτηρίου θα βρεις βιβλία για μαθηματικές ολυμπιάδες. Κάνεις ένα λογαριασμό, τα παραγγέλνεις και στα φέρνουν με courier.

paganini666 · 22-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Giorgos127:
Γιατι δεν ψαχνεις αρθρα στο ιντερνετ? Μπορει να βρεις κατι... Παντως η λυση που προτεινε ο ναπστορ ειναι πολυ καλη, υπαρχουν βιβλια που καλυπτουν ενα ευρυ φασμα των μαθηματικων.. Ας πουμε σημερα ειδα ενα βιβλιο που ασχολειται με τις συνηθεις διαφορικες εξισωσεις κλπ... Και δν χρειαζεται να θες να γινεις μαθηματικος για να ασχοληθεις με τα ανωτερα μαθηματικα... Α, μπορεις να κατεβασεις και θεματα διεθνων ολυμπιαδων που ειναι πολυ δυσκολα και ενδιαφεροντα για να λυσεις...

Προτιμω να συζηταμε εδω μαζι και οχι τη μοναξια του να ψαχνω μονος. Εχεις δικαιο. Απλως κανω μια προταση που καλυπτει αναγκες υπαρκτες! Και βιντεο δηλαδη υπαρχουν αλλα υπαρχει τοπικ οπου χρηστες να ανεβαζουν. Γιατι να μη γινει κατι αντιστοιχο και για τους λατρες των μαθηματικων;

Civilara · 22-06-09

Ας ξεκινήσουμε με την τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού.

Κάθε μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός γράφεται στη μορφή:
$z=\rho \left(cos\theta +isin\vartheta \right)$ όπου $\rho =\left|z \right|$ και θ είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα $\bar{OM}$ με τον άξονα x όπου M(x,y) η εικόνα του z=x+yi. Πρέπει
$(x,y)\neq (0,0)$

Η γωνία θ λέγεται όρισμα του μιγαδικού z και συμβολίζεται με arg(z). Το όρισμα του z που ανήκει στο διάστημα [0,2π) λέγεται προτεύων όρισμα και συμβολίζεται με Arg(z). Συνεπώς για κάθε όρισμα του z ισχύει $\theta =Arg(z)+2\kappa \pi ,k\epsilon Z$ . Για τον μιγαδικό z=0 δεν ορίζεται όρισμα.

Για το όρισμα θ ισχύουν οι σχέσεις:

$sin\theta =\frac{Im(z)}{\left|z \right|}=\frac{y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$

$cos\theta =\frac{Re(z)}{\left|z \right|}=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$

Ας θεωρήσουμε δύο μη μηδενικούς μιγαδικούς αριθμούς σε τριγωνομετρική μορφή
${z}_{1}=\left{\rho}_{1} (cos{\theta }_{1}+isin{\theta }_{1})$
${z}_{2}=\left{\rho}_{2} (cos{\theta }_{2}+isin{\theta }_{2})$

Τότε το γινόμενο και το πηλίκο τους γράφονται σε τριγωνομετρική μορφή

${z}_{1}{z}_{2}=\left{\rho}_{1}\left{\rho}_{2} [cos({\theta }_{1}+{\theta }_{2})+isin({\theta }_{1}+{\theta }_{2})]$

$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}} [cos({\theta }_{1}-{\theta }_{2})+isin({\theta }_{1}-{\theta }_{2})]$

Πολύ χρήσιμο είναι το Θεώρημα De Moivre:

Αν z μη μηδενικός μιγαδικός και γράφεται σε τριγωνομετρική μορφή $z=\rho \left(cos\theta +isin\vartheta \right)$ , τότε ${z}^{\nu }={\rho }^{\nu }[cos(\nu \theta )+isin(\nu \theta )]$ , όπου $\nu \epsilon Z$ .

Η ισότητα των μιγαδικών σε τριγωνομετρική μορφή γίνεται:
${z}_{1}={z}_{2}$ αν και μόνο αν ${\rho}_{1}={\rho}_{2}$ και ${\theta}_{1}-{\theta}_{2}=2\kappa \pi ,\kappa\epsilon Z$ .
-----------------------------------------
Αναπτύσσοντας περισσότερο την άλγεβρα των μιγαδικών, οι γνωστές τριγωνομετρικές, εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις επεκτείνονται και στο σύνολο C. Ισχύει η σχέση:

${e}^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$ όπου $\theta \epsilon R$ .

paganini666 · 22-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Ας ξεκινήσουμε με την τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού.

Κάθε μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός γράφεται στη μορφή:
$z=rho left(costheta +isinvartheta right)$ όπου $rho =left|z right|$ και θ είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα $bar{OM}$ με τον άξονα x όπου M(x,y) η εικόνα του z=x+yi. Πρέπει
$(x,y)neq (0,0)$

Η γωνία θ λέγεται όρισμα του μιγαδικού z και συμβοίζεται με arg(z). Το όρισμα του z που ανήκει στο διάστημα [0,2π) λέγεται προτεύων όρισμα και συμβολίζεται με Arg(z). Συνεπώς για κάθε όρισμα του z ισχύει $theta =Arg(z)+2kappa pi ,kepsilon Z$ . Για τον μιγαδικό z=0 δεν ορίζεται όρισμα.

Για το όρισμα θ ισχύουν οι σχέσεις:

$sintheta =frac{Im(z)}{left|z right|}=frac{y}{sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$

$costheta =frac{Re(z)}{left|z right|}=frac{x}{sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$

Κάθε μιγαδικός αριθμός $zepsilon {C}^{*}$ γράφεται κατά μοναδικό τρόπο σε τριγωνομετρική μορφή.

Ας θεωρήσουμε δύο μη μηδενικούς μιγαδικούς αριθμούς σε τριγωνομετρική μορφή
${z}_{1}=left{rho}_{1} (cos{theta }_{1}+isin{theta }_{1})$
${z}_{2}=left{rho}_{2} (cos{theta }_{2}+isin{theta }_{2})$

Τότε το γινόμενο και το πηλίκο τους γράφονται σε τριγωνομετρική μορφή

${z}_{1}{z}_{2}=left{rho}_{1}left{rho}_{2} [cos({theta }_{1}+{theta }_{2})+isin({theta }_{1}+{theta }_{2})]$

$frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}=frac{{rho }_{1}}{{rho }_{2}} [cos({theta }_{1}-{theta }_{2})+isin({theta }_{1}-{theta }_{2})]$

Πολύ χρήσιμο είναι το Θεώρημα De Moivre:

Αν z μη μηδενικός μηγαδικός και γράφεται σε τριγωνομετρική μορφή $z=rho left(costheta +isinvartheta right)$ , τότε ${z}^{nu }={rho }^{nu }[cos(nu theta )+isin(nu theta )]$ , όπου $nu epsilon N$ .
-----------------------------------------
Αναπτύσσοντας περισσότερο την άλγεβρα των μιγαδικών, οι γνωστές τριγωνομετρικές, εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις επεκτείνονται και στο σύνολο C. Ισχύει η σχέση:

${e}^{itheta }=costheta +isintheta$ όπου $theta epsilon R$ .

wow πώς μπερδευονται ολα αυτα τα μαθηματικα συμβολα σε μια σχεση ε;
-----------------------------------------
και σε τι μας χρησιμευει η τριγωνομετρικη μορφη μιγαδικου;
Γενικα οι μιγαδικοι τι και πώς στο καλο χρησιμευουν; Αφου...δεν υπαρχουν!

Ανώτερα Μαθηματικά

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος