Ισως να καταλαβα κατι
Ανελυσε αυτα που εχω κανει bold
Με αυτο το "μπαλοκληρωμα" μπορουμε να βρουμε τι;Εμβαδο; Αφου λες για κλειστα σχηματα τοτε και για τον κυκλο;
Ας πω 2 πραγματάκια για τον λογισμό πραγματικών συναρτήσεων 2 πραγματικών μεταβλητών.
Μία (πραγματική) συνάρτηση 2 (πραγματικών) μεταβλητών f(x,y) συμβολίζεται με
.
Τι είναι όμως ο χώρος
; Ας το ορίσουμε. Ως χώρος
ορίζεται το σύνολο
| x\epsilon R, y\epsilon R \right])
. Συνεπώς ο χώρος
αποτελείται από τα σημεία (x,y) του επιπέδου Oxy όπου x,y πραγματικοί αριθμοί, ενώ ο γνωστός χώρος R αποτελείται από τα σημεία x της ευθείας Ox όπου x πραγματικός αριθμός.
Κάθε επίπεδο χωρίο του
(π.χ. κυκλικός δίσκος) είναι υποσύνολο του
. Επίσης κάθε επίπεδη καμπύλη του
(π.χ. κυκλική περιφέρεια) είναι υποσύνολο του
.
Τώρα θα οριστούν οι συντεταγμένες ενός σημείου στον 3διάστατο χώρο. Φανταστείτε 3 άξονες στον χώρο x, y, z που είναι ανά 2 κάθετοι και το σημείο τομής τους είναι το σημείο Ο. Οι άξονες x,y είναι κάθετοι μεταξύ τους και ο άξονας z είναι κάθετος στο επίπεδο των x,y και διέρχεται από το Ο που είναι το σημείο τομής και των 3 αξόνων. Η θετική φορά των αξόνων επιλέγεται αυθαίρετα αλλά συνήθως χρησιμοποιούνται δεξιόστροφα συτήματα. Η θέση ενός σημείου του χώρου καθορίζεται από 3 αριθμούς x,y,z κάθε ένας από τους οποίους δείχνει το προσημασμένο μήκος ευθύγραμμου τμήματος με άκρα την αρχή Ο και πέρας την προβολή του σημείου στον αντίστοιχο άξονα. Έτσι σε ένα σημείο του χώρου αντιστοιχεί μία μοναδική 3άδα (x,y,z) και σε μία 3άδα (x,y,z) αντιστοιχεί ένα μοναδικό σημείο του χώρου. Η x λέγεται τετμημένη, η y τεταγμένη και η z κατηγμένη του σημείου. Τα (x,y,z) αποτελούν τις συντεταγμένες του σημείου.
Ορίζουμε παρόμοια τον χώρο
| x\epsilon R, y\epsilon R, z\epsilon R \right])
. Δηλαδή ο χώρος
αποτελείται από όλα τα σημεία (x,y,z) όπου x,y,z πραγματικοί αριθμοί.
Ως γραφική παράσταση της συνάρτησης 2 μεταβλητών f(x,y) ορίζεται το σύνολο των σημείων (x,y,z) του
για τα οποία ισχύει z=f(x,y). Δηλαδή το σύνολο των σημείων (x,y,f(x,y)). Η γραφική παράσταση αυτή αντιστοιχεί σε μία επιφάνεια του χώρου (π.χ. επίπεδο, ημισφαίριο κλπ.)
Το πεδίο ορισμού μίας συνάρτηση 2 μεταβλητών f(x,y) είναι υποσύνολο του
, το πεδίο τιμών της υποσύνολο του R και η γραφική της παράσταση υποσύνολο του
.
Αν μία συνάρτηση 2 μεταβλητών είναι ολοκληρώσιμη στα σημεία μιας καμπύλης C του
(π.χ. κύκλος στο επίπεδο Oxy που είναι κλειστή καμπύλη ή ημικύκλιο που είναι ανοιχτή καμπύλη) τότε το ολοκλήρωμά της f κατά μήκος της C λέγεται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f κατά μήκος της C. Το ολοκλήρωμα αυτό ορίζεται σε τόξο της καμπύλης C που σχηματίζεται από 2 σημεία A και Β της καμπύλης C. Αν η καμπύλη είναι κλειστή (π.χ. κύκλος) τότε τα Α και Β συμπίπτουν και χρησιμοποιείται αυτή "η μπάλα στη μέση"
Αν η f είναι θετική (z>0) στο τόξο ΑΒ της καμπύλης C τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της σε αυτό το τόξο ισούται με το εμβαδόν της επιφάνειας που προκύπτει από την προβολή του τόξου ΑΒ της C στην γραφική παράσταση της f.
Αυτά σαν εισαγωγή.
