Παιδιά, επειδή έχω μπερδευτεί στον Ρυθμό μεταβολής όταν μου ζητάει ρ.μ γωνίας θ μπορώ να πάρω οποιονδήποτε τρίγων. Αριθμό; Γενικά κάποιοι καθηγητές μας έχουν πει ότι είτε πάρω πχ ημχ είτε συνχ είτε εφχ θα βγαίνει το ίδιο, αλλά τώρα μόλις συνειδητοποίησα ότι δε βγαίνει. Πχ στη παρακάτω άσκηση εγώ πήρα αρχικά συνχ ενώ στις λύσεις πήρε το εφχ. Πως μπορώ να καταλάβω ποιον τρίγων. αριθμό πρέπει να πάρω;
Έστω x = 0 στο σημείο Β. Άρα ΒΑ = χ(t).
Το ύψος του κτιρίου θα είναι h = ΒΓ = 40m.
Οπότε απο την γεωμετρία του προβλήματος μπορούμε να γράψουμε :
εφ(θ) = h/x(t) =>
θ'(t)/συν²(θ) = -hχ'(t)/x²(t) =>
θ'(t) = -h*συν²(θ)x'(t)/x²(t)
Με :
συν²(θ) = x²(t)/S²
Απο το πυθαγόρειο όμως η υποτείνουσα είναι :
S² = χ²(t) + h²
Άρα :
συν²(θ) = x²(t) /[χ²(t) + h²]
Οπότε ο ρυθμός μεταβολής γράφεται ως εξής :
θ'(t) = -h*x²(t)x'(t) / { χ²(t)[χ²(t) + h²] } =>
θ'(t) = -h*x'(t)/[χ²(t) + h²]
Ο άνθρωπος όμως πλησιάζει με ταχύτητα 2m/s προς την αρχή των αξόνων οπότε :
x'(t) = -2m/s
Επομένως :
θ'(t) = 2h/[χ²(t) + h²]
Ας επαναλάβουμε τώρα την διαδικασία εύρεσης του ρυθμού μεταβολής της γωνίας, χρησιμοποιώντας μια διαφορετική έκφαση που θα περιλαμβάνει το ημίτονο :
ημ(θ) = h/S
ημ(θ) = h/sqrt(x²(t) + h²) =>
συν(θ)θ'(t) = -0.5*h*2x(t)x'(t)/[x²(t) + h²]^(3/2) => Ξέρουμε το συνημίτονο απο τα παραπάνω...
x(t)θ'(t) /sqrt[χ²(t) + h²] =-hx(t)x'(t)/[x²(t) + h²]^(3/2) => Διαιρούμε με x(t) και αντικαθιστούμε x'(t)
θ'(t) = 2h/[x²(t) + h²]
Σημαντική σημείωση : το θ(t) και θ'(t) εκφράζονται σε rad & rad/s στα παραπάνω.
Με συνημίτονο δεν στο κάνω, και ήταν και πολύ ατυχές που το δοκίμασες για να πειστείς, γιατί όπως θα αντιληφθείς και μόνη σου είναι ο πιο επίπονος τρόπος διότι οδηγεί σε κλάσμα στο δεξί μέλος που τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρανομαστής είναι συναρτήσεις του χρόνου με αποτέλεσμα να περιπλέκονται πολύ οι πράξεις. Ποιο είναι λοιπόν το συμπέρασμα ;
Εαν καταφέρεις και βρεις μια έκφραση που περιλαμβάνει το θ, οποιαδήποτε και εαν είναι αυτή, και δεν τα κάνεις μαντάρα με τις παραγωγίσεις, τότε θα καταλήξεις στο σωστό αποτέλεσμα. Όμως...δεν είναι όλες οι εκφράσεις ίδιες, και κάποιες θα χρειαστούν παραπάνω δουλειά για να φτάσεις στο ζητούμενο.
