Ενδιαφέροντα προβλήματα φυσικής, μαθηματικών και μηχανικής

[Samael]

Ποοο ασκησαρα για δ3!!!Καταρχην εκμεταλλευεσαι την κυρτη συναρτηση και την ιδιοτητα την εφαπτομενης.
Εφαπτομενη στο (α,f(a).f(x)>=f(a)+f'(a)(x-a) για καθε χ στο R με την ισοτητα μονο για χ=α.
Βαζεις οπου χ το f(b)+a και εχεις f(f(b)+a)>=f(a)+f'(a)f(b) (1)
Oμοια για την εφαπτομενη στο (β,f(b) f(x)>=f(b)+f'(b)(x-b) για καθε χ στο R με την ισοτητα μονο για χ=b.
Βαζεις οπου χ το f(a)+b και εχεις f(f(a)+b)>=f(b)+f'(b)f(a) (2)
Προσθετεις κατα μελη τις (1) και (2) και δημιουργειται η σχεση f(f(b)+a)+ f(f(a)+b)>=f(a)+f'(a)f(b)+f(b)+f'(b)f(a)
H σχεση αυτη ισχυει ως ισοτητα επομενως για να ισχυει ως ισοτητα πρεπει f(a)+b=b f(a)=0 και f(b)+a=a f(b)=0
Aρα βγαλαμε οτι f(a)=f(b)=0 επομενως η ασκηση λυθηκε επι της ουσιας.
Κανουμε rolle στο [a,b] κατα τα γνωστα και εχουμε ξ στο (α,β) f'(ξ)=0
Εφοσον f κυρτη η f' ειναι γν αυξουσα αρα χ<ξ f'(x)<0 x>ξ f"(x)>0 αρα αποδεικνυουμε οτι το ξ ειναι θεση ελαχιστου της f. Παμε τωρα να βγαλουμε και την αρνητικοτητα του f(ξ). Στο [α,ξ] ειναι γν φθινουσα.
α<ξ f(ξ)<f(a)=0 αρα f(ξ)<0.

Δεν μπορείς να κάνεις Rolle . Σου είπε οτι είναι κυρτή , όχι παραγωγίσιμη .

 

[Cade]

Δεν μπορείς να κάνεις Rolle . Σου είπε οτι είναι κυρτή , όχι παραγωγίσιμη .

εννοούσα τον σχολικό ορισμό της κυρτότητας, λάθος μου

 

[eukleidhs1821]

εννοούσα τον σχολικό ορισμό της κυρτότητας, λάθος μου

Λυνεται χωρις η f να ειναι παραγωγισιμη?

 

[Samael]

εννοούσα τον σχολικό ορισμό της κυρτότητας, λάθος μου

Εννοείς οτι την θεωρείς παραγωγίσιμη τελικά ; Γιατί τώρα μπερδεύτηκα καθώς και το σχολικό βιβλίο απο όσο θυμάμαι καλά δηλώνει ρητά οτι ισχύει τάδε και τάδε αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη .

 

[Alexandros28]

 

[Samael]

Λυνεται χωρις η f να ειναι παραγωγισιμη?

Δοκίμασε με την ανισότητα Jensen , εαν και προσωπικά δεν έβγαλα άκρη .

 

[eukleidhs1821]

Δοκίμασε με την ανισότητα Jensen , εαν και προσωπικά δεν έβγαλα άκρη .

A λες για τον γενικο ορισμο της κυρτοτητας.Βαριεμαι να το ψαξω για να χει παραγωγους απο την αρχη f'(a) λογικα χωρις χρηση παραγωγισιμοτητας δε θα βγαινει λογω στησιματος της ασκησης

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 15 Σεπτεμβρίου 2023

Εννοείς οτι την θεωρείς παραγωγίσιμη τελικά ; Γιατί τώρα μπερδεύτηκα καθώς και το σχολικό βιβλίο απο όσο θυμάμαι καλά δηλώνει ρητά οτι ισχύει τάδε και τάδε αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη .

Γενικα στο λυκειο δεν μπορουν να μιλησουν για κυρτοτητα χωρις η f να ειναι παραγωγισιμη!Το μονο που μπορει να αποδειχτει παγιδα στο λυκειο ειναι οτι καποιοι μπερδευονται και θεωρουν αυτοματα οτι υπαρχει η δευτερη παραγωγος πραγμα που δεν χρειαζεται γτ σου μιλαει για μονοτονια της f'.Tεσπα ειναι η κλασσικη βλακεια του λυκειου.Αντι τοσα χρονια να το διορθωσουν και να το δινουν με το γενικο ορισμο το πανε ετσι.

 

[Cade]

Λυνεται χωρις η f να ειναι παραγωγισιμη?

Μάλλον οχι, πιστεύω αυτός που την έφτιαξε αυτή τη λύση είχε στο νου του

 

[Guest 198007]

Jensen

Τέτοιο Τζένσεν;

Ενδιαφέρον τεχνολογικά αυτοκίνητο για την εποχή του. @Samael ψάξε.

 

[Samael]

Δηλώνεται όμως εξαρχής οτι η f είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ . Δεν λέει :
Αν f κυρτή τότε f΄γνησίως αύξουσα .

Μια ξανθιά, μια μέρα με καύσωνα άνοιξε την πόρτα του ψυγείου και κάθισε εκεί για να δροσίζεται. Τι λέτε; Κατάφερε να δροσιστεί ή όχι;

Άντε ρε Δία , επιτέλους και ένα θερμοδυναμικό πρόβλημα .
Λοιπόν , δεν το έχω δοκιμάσει ποτέ αυτό το πράγμα , όχι για πολύ ώρα τουλάχιστον . Μου φαίνεται πολύ καλό για να είναι αληθινό .

Αρχικά σίγουρα θα δροσιστεί καθώς υπάρχει μεγάλη διαφορά θερμοκρασίας στο εσωτερικό του ψυγείου και τον περιβάλλοντα χώρο οπότε και μεγάλη ροή θερμότητας απο το σώμα της προς το ψυγείο . Μετά απο λίγη ώρα θα ξεκινήσει να δουλεύει ο συμπιεστής στο μέγιστο του . Οπότε όση θερμότητα αφαιρεί το ψυγείο απο το εσωτερικό του θα την κατευθύνει πάλι πίσω στον χώρο της κουζίνας . Επειδή ο συμπιεστής δεν είναι ιδανικός θα παράγει κιόλας θερμότητα , οπότε ίσα ίσα το δωμάτιο θα ζεσταθεί κιόλας περισσότερο .

Η εκτίμηση μου λοιπόν είναι οτι η ξανθιά μάλλον δεν θα τα καταφέρει . Στην ουσία προσπαθεί να χρησιμοποιήσει το ψυγείο σαν κλιματιστικό αλλά το πρόβλημα είναι οτι ο κλιματισμός δουλεύει επειδή η θερμότητα που αφαιρείται απο τον χώρο διοχετεύεται στο εξωτερικό του σπιτιού . Εδώ επανατροφοδοτείται πίσω στον χώρο .

 

[ιωαννηs]

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 16 Σεπτεμβρίου 2023

Το προβλημα αυτο το ξαναειδαμε ..εδω μια αλλη προσεγγιση συντομοτερη με λιγο τριγωνομετρια

 

[Samael]

Εισαγωγικό :
Το 1860 ο Gustav Theodor Fechner , φυσικός και πειραματικός ψυχολόγος , διατύπωσε με μαθηματικό τρόπο βασιζόμενος σε μελέτες του μέντορα του και γιατρού Ernst Heinrich Weber , δύο νόμους που συσχέτιζαν την αντίληψη μιας φυσικής διέγερσης μέσω των αισθήσεων μας , σε σχέση με τις πραγματικές μεταβολές των μεγέθων αυτών . Για την ακρίβεια ο Weber είχε διατυπώσει πως η αίσθηση της μεταβολής ενός μεγέθους dp είναι ανάλογη της αρχικής φυσικής διέγερσης S . Δηλαδή ισχύει :

dp = k(dS/S)

Όπου S η φυσική διέγερση , dS η μεταβολή της φυσικής διέγερσης , k μια σταθερά που εξαρτάται απο τον κάθε άνθρωπο και dp η μεταβολή που αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος στο φυσικό μέγεθος S .

Επίσης σημειώνεται πως στην πειραματική ψυχολογία το JND( just noticable difference ) ορίζεται ως η ποσότητα εκείνη κατά την οποία πρέπει να μεταβληθεί ένα μέγεθος έτσι ώστε η μεταβολή να μπορεί να γίνει αισθητή το 50% των φορών που πραγματοποιείται το πείραμα .

Πρόβλημα :
Έχοντας ως δεδομένα τα παραπάνω , εαν ένας άνθρωπος μπορεί να αντιληφθεί την διαφορά μεταξύ 100g και 110g , πόσο νερό θα έπρεπε να προσθέσει σε ένα μπιτόνι με 10L νερό , ώστε μόλις να καταλαβαίνει την διαφορά ;

 

[41%]

Εισαγωγικό :
Το 1860 ο Gustav Theodor Fechner , φυσικός και πειραματικός ψυχολόγος , διατύπωσε με μαθηματικό τρόπο βασιζόμενος σε μελέτες του μέντορα του και γιατρού Ernst Heinrich Weber , δύο νόμους που συσχέτιζαν την αντίληψη μιας φυσικής διέγερσης μέσω των αισθήσεων μας , σε σχέση με τις πραγματικές μεταβολές των μεγέθων αυτών . Για την ακρίβεια ο Weber είχε διατυπώσει πως η αίσθηση της μεταβολής ενός μεγέθους dp είναι ανάλογη της αρχικής φυσικής διέγερσης S . Δηλαδή ισχύει :

dp = k(dS/S)

Όπου S η φυσική διέγερση , dS η μεταβολή της φυσικής διέγερσης , k μια σταθερά που εξαρτάται απο τον κάθε άνθρωπο και dp η μεταβολή που αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος στο φυσικό μέγεθος S .

Επίσης σημειώνεται πως στην πειραματική ψυχολογία το JND( just noticable difference ) ορίζεται ως η ποσότητα εκείνη κατά την οποία πρέπει να μεταβληθεί ένα μέγεθος έτσι ώστε η μεταβολή να μπορεί να γίνει αισθητή το 50% των φορών που πραγματοποιείται το πείραμα .

Πρόβλημα :
Έχοντας ως δεδομένα τα παραπάνω , εαν ένας άνθρωπος μπορεί να αντιληφθεί την διαφορά μεταξύ 100g και 110g , πόσο νερό θα έπρεπε να προσθέσει σε ένα μπιτόνι με 10L νερό , ώστε μόλις να καταλαβαίνει την διαφορά ;

Μια προσπάθεια, προς την αντικατάσταση τα χάλασα μάλλον...

s=10
k=0.5
dp=kds/s
p=klns+C

Αν το ερέθισμα γίνει αντιληπτό έχουμε p=0 S0=S

c=-klns0

p=k*ln(s/s0)

p=0.5ln(110/100)

1 λίτρο νερό = 1000 γραμμάρια

άρα 1.047 για το 1 λίτρο

 

[Samael]

Μια προσπάθεια, προς την αντικατάσταση τα χάλασα μάλλον...

s=10

Το S δεν είναι 10 , αυτό είναι το αρχικό ερέθισμα στην δεύτερη περίπτωση

k=0.5

Το k δεν δίνεται ( και δεν χρειάζεται ) .

dp=kds/s
p=klns+C

Σωστή σκέψη .

1 λίτρο νερό = 1000 γραμμάρια
άρα 1.047 για το 1 λίτρο

Εδώ δεν κατανοώ τι θες να πεις .

 

[41%]

Εδώ δεν κατανοώ τι θες να πεις .

Αυτό είναι άκυρο, κάτι πέρασε από το μυαλό μου αλλά ήταν παρερμηνεία της εκφώνησης.

 

[Dias]

Spoiler

​

 

[41%]

Πηγή Μαθηματική Ολυμπιάδα Ρωσίας.
Στην οθόνη ενός υπολογιστή είναι γραμμένος ο φυσικός αριθμός

, μεγαλύτερος του

. Κάθε δευτερόλεπτο ο υπολογιστής αφαιρεί από τον

αριθμό, που προκύπτει από τον

αφαιρώντας τα δυο τελευταία ψηφία του και αντικαθιστά στην οθόνη τον αριθμό

με την διαφορά που προέκυψε. Όταν ο

γίνει μικρότερος του

, ο υπολογιστής σταματάει. Μπορεί άραγε να προκύψει έτσι, ώστε κατά την χρονική διάρκεια λειτουργίας του υπολογιστή σε καμία στιγμή ο αριθμός

να μην λήγει σε δυο μηδενικά;

 

[Dias]

Πηγή Μαθηματική Ολυμπιάδα Ρωσίας.
Στην οθόνη ενός υπολογιστή είναι γραμμένος ο φυσικός αριθμός

, μεγαλύτερος του

. Κάθε δευτερόλεπτο ο υπολογιστής αφαιρεί από τον

αριθμό, που προκύπτει από τον

αφαιρώντας τα δυο τελευταία ψηφία του και αντικαθιστά στην οθόνη τον αριθμό

με την διαφορά που προέκυψε. Όταν ο

γίνει μικρότερος του

, ο υπολογιστής σταματάει. Μπορεί άραγε να προκύψει έτσι, ώστε κατά την χρονική διάρκεια λειτουργίας του υπολογιστή σε καμία στιγμή ο αριθμός

να μην λήγει σε δυο μηδενικά;

Μάλλον κάτι κατάλαβα λάθος. Όποιο παράδειγμα πάρω, μετά από 3 το πολύ βήματα έχω το ζητούμενο.

 

[41%]

Μάλλον κάτι κατάλαβα λάθος. Όποιο παράδειγμα πάρω, μετά από 3 το πολύ βήματα έχω το ζητούμενο.

Λογικά δεν το έκανες λάθος απλά έκανες την παρατήρηση και έμεινε η απόδειξη.
Το Α είναι ίσο με Α- 2ο τελευταίο ψηφίο - 1ο τελευταίο παράδειγμα 1984-(8+4)=1972, 1972-(7+2)=1963 κτλ
Μετά από 2-3 παραδείγματα παίρνουμε ότι το ζητούμενο δεν γίνεται δηλαδή πάντα θα λήγει σε 2 μηδενικά, μένει να το αποδείξουμε.
Ένας φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί στη μορφή α1*10^ν+α2*10^(ν-2)+...α(ν-2)*10^2+α(ν-1)*10+αν
Έχουμε α1*10^ν+α2*10^(ν-2)+...α(ν-2)*10^2+α(ν-1)*10+αν - (α(ν-1)+αν)= α1*10^ν+α2*10^(ν-2)+...α(ν-2)*10^2+α(ν-1)*9
Άρα τα τελευταία 2 ψηφία είναι πολλαπλάσια του 9
Γνωρίζουμε ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με το 9, εύκολα αποδεικνύεται και το αντίστροφο. Επομένως σε κάθε κίνηση (μετά την πρώτη) το άθροισμα είναι πολλαπλάσιο του 9 μειωμένο κατα 9, έπεται ότι κάποια στιγμή θα μηδενιστεί.
Άρα δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός Α.

 

[Dias]

Εάν θέλουμε να αποδείξουμε ότι κάτι δεν ισχύει γενικά, πρέπει να κάνουμε πλήρη απόδειξη.
Εάν θέλουμε να αποδείξουμε ότι κάτι είναι δυνατόν να ισχύει, αρκεί ένα παράδειγμα.

Π.χ. 1. Μας ρωτά ένας εξωγήινος: "Υπάρχουν πράσινοι άνθρωποι στη Γη;". Το ΟΧΙ πρέπει να θεμελιωθεί με κύτταρα, DNA, φως, χλωροφύλλη, αντιδράσεις και δεν ξέρω τι άλλο. Δηλαδή χρειάζεται λεπτομερή απόδειξη.
Π.χ. 2. Μας ρωτά ένας εξωγήινος: "Υπάρχουν μαύροι άνθρωποι στη Γη;". Το ΝΑΙ δεν θέλει πολλά - πολλά. Του δείχνουμε έναν Αφρικανό και τελείωσε.

​