Ενδιαφέροντα προβλήματα φυσικής, μαθηματικών και μηχανικής

[Cade]

Ο Gauss είχε αναφέρει πως τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών, και η βασίλισσα των μαθηματικών είναι η θεωρία αριθμών. Πραγματικά είναι εντυπωσιακό το πόσα προβλήματα, τόσο θεωρητικά όσο και πρακτικά, εν τέλει καθορίζονται άμεσα απο τις ιδιότητες των ίδιων των αριθμών.

Πρόβλημα :
Έστω οτι έχουμε 100 πόρτες σε ένα κτίριο οι οποίες αρχικά είναι όλες κλειστές.
Ένας επιστάτης περνάει κάθε φορά και αλλάζει την κατάσταση μιας πόρτας(δηλαδή εαν ήταν κλειστή την ανοίγει και αντίστροφα) με τον εξής τρόπο :

Την πρώτη φορά ανοίγει τις πόρτες ανά μια(οπότε ανοίγει τις πόρτες 1,2,3...).
Την δεύτερη φορά ανοίγει κάθε δεύτερη πόρτα(οπότε ανοίγει τις πόρτες 2,4,6...).
Την τρίτη φορά ανοίγει κάθε τρίτη πόρτα(ανοίγει τις πόρτες με αριθμό 3,6,9,...).
κ.ο.κ.

Πόσες πόρτες θα έχουν μείνει ανοιχτές την 100η φορά που θα έχει περάσει απο όλες τις πόρτες ;

Αν κάτσει κανείς να παρατηρήσει το μοτίβο με το οποίο αλλάζει κατάσταση κάθε πόρτα θα δει ότι ο αριθμός αυτός συμπίπτει με τον αριθμό των διαιρετών κάθε πόρτας. Πχ πόρτα n, k φορές, όπου k: ο αριθμός διαιρετών του n. Επίσης θέλουμε να είναι περιττός ώστε τελικώς η πόρτα να είναι ανοιχτή, άρα τα n δε μπορούν παρά να είναι τέλεια τετράγωνα => 10 πόρτες

 

[Samael]

Αν κάτσει κανείς να παρατηρήσει το μοτίβο με το οποίο αλλάζει κατάσταση κάθε πόρτα θα δει ότι ο αριθμός αυτός συμπίπτει με τον αριθμό των διαιρετών κάθε πόρτας. Πχ πόρτα n, k φορές, όπου k: ο αριθμός διαιρετών του n. Επίσης θέλουμε να είναι περιττός ώστε τελικώς η πόρτα να είναι ανοιχτή, άρα τα n δε μπορούν παρά να είναι τέλεια τετράγωνα => 10 πόρτες

Πολύ σωστά Cade, μπράβο !
Ευελπιστώ πως ήταν ευχάριστο .

 

[Guest 182562]

Θα έχετε πετύχει κι εσείς κάπου αυτή την εικόνα στο διαδίκτυο:

Μπορεί κάποιος καλός άνθρωπος να μου εξηγήσει με απλά λόγια πώς στέκεται η επιφάνεια του τραπεζιού;

 

[Kate1914]

Θα έχετε πετύχει κι εσείς κάπου αυτή την εικόνα στο διαδίκτυο:

Μπορεί κάποιος καλός άνθρωπος να μου εξηγήσει με απλά λόγια πώς στέκεται η επιφάνεια του τραπεζιού;

Θα στο εξηγήσουν οι άλλο καλύτερα (@Samael enters the chat), αλλά νομίζω ότι είναι αρκετά απλό. Αν δεις, και πάνω και κάτω έχουμε δύο μεταλλικά τμήματα. Στο κέντρο αυτά συνδέονται με μια αλυσίδα, που λειτουργεί θα λέγαμε σαν σύνδεσμος, και άρα για αυτό δεν πέφτει το πάνω μεταλλικό κομμάτι. Ε, οπότε μετά οι άλλες δύο αλυσίδες είναι απλώς σαν να σταθεροποιούν το όλο κομμάτι.
Δε νομίζω πως στα εξήγησα πολύ καλά, αλλά ειλικρινά εμένα μου φαίνεται πολύ απλό. Αν διάβαζα και φυσική μπορεί να στο εξηγούσα καλύτερα.

ΥΓ. Ελπίζω να μην ήμουν η μόνη που της ήρθε μια συγκεκριμένη εικόνα (σύμβολο) κατά νου με το που το είδα...

 

[Scandal]

Θα έχετε πετύχει κι εσείς κάπου αυτή την εικόνα στο διαδίκτυο:

Μπορεί κάποιος καλός άνθρωπος να μου εξηγήσει με απλά λόγια πώς στέκεται η επιφάνεια του τραπεζιού;

Φαίνεται οι 2 μεσαίες αλυσίδες το κρατάνε από το να μην πέσει προς τα κάτω και οι άλλες 4 δίνουν αντίβαρο η μία στην άλλη ταυτόχρονα ώστε να μην γύρει.

 

[Guest 182562]

Φαίνεται οι 2 μεσαίες αλυσίδες το κρατάνε από το να μην πέσει προς τα κάτω και οι άλλες 4 δίνουν αντίβαρο η μία στην άλλη ταυτόχρονα ώστε να μην γύρει.

Κι εγώ αυτό σκέφτηκα στην αρχή, αλλά μου φαίνεται περίεργο και είπα να ρωτήσω εδώ

Συγχωρέστε την ασχετοσύνη μου

 

[Samael]

Θα έχετε πετύχει κι εσείς κάπου αυτή την εικόνα στο διαδίκτυο:

Μπορεί κάποιος καλός άνθρωπος να μου εξηγήσει με απλά λόγια πώς στέκεται η επιφάνεια του τραπεζιού;

Το design αυτό βασίζεται στην αρχή του Tensegrity.
Στην ουσία είναι μια έξυπνη δομή που ισορροπεί παντού τις δυνάμεις θλίψης και του εφελκυσμού, εξασφαλίζοντας την μεγάλη σταθερότητα της. Οι δύο αυτές πτυχές είναι αλληλοεξαρτώμενες.

Λόγου χάρη φαντάσου οτι έκοβες την μεσαία αλυσίδα. Θα έχανες τις εφελκυστικές τάσεις και το τραπέζι θα έπεφτε στο έδαφος. Εαν απο την άλλη έκοβες μια απο τις αλυσίδες στις γωνίες, θα έχανες τις θλιπτικές τάσεις και θα αναπτύσσοταν καμπτική ροπή. Κοινώς το τραπέζι θα τούμπαρε. Είναι μια τέλεια ισορροπία μεταξύ τάσεων θλίψης και εφελκυσμού, οι οποίες συνυπάρχουν, εξαρτώνται άμεσα η μια απο την άλλη(αύξηση της μιας οδηγεί σε αύξηση της άλλης), και για αυτό διατηρούν την δομή σε ισορροπία. Η κατανομή των προηγούμενων τάσεων σε όλη την μάζα του σώματος είναι κλειδί στην όλη υπόθεση.

 

[Scandal]

Κι εγώ αυτό σκέφτηκα στην αρχή, αλλά μου φαίνεται περίεργο και είπα να ρωτήσω εδώ

Συγχωρέστε την ασχετοσύνη μου

Το design αυτό βασίζεται στην αρχή του Tensegrity.
Στην ουσία είναι μια έξυπνη δομή που ισορροπεί παντού τις δυνάμεις θλίψης και του εφελκυσμού, εξασφαλίζοντας την μεγάλη σταθερότητα της δομής. Οι δύο αυτές πτυχές είναι αλληλοεξαρτώμενες.

Λόγου χάρη φαντάσου οτι έκοβες την μεσαία αλυσίδα. Θα έχανες τις εφελκυστικές τάσεις και το τραπέζι θα έπεφτε στο έδαφος. Εαν απο την άλλη έκοβες μια απο τις αλυσίδες στις γωνίες, θα έχανες τις θλιπτικές τάσεις και θα αναπτύσσοταν καμπτική ροπή. Κοινώς το τραπέζι θα τούμπαρε. Είναι μια τέλεια ισορροπία μεταξύ τάσεων θλίψης και εφελκυσμού, οι οποίες συνυπάρχουν, εξαρτώνται άμεσα η μια απο την άλλη, και για αυτό διατηρούν την δομή σε ισορροπία.

Ναι αλλά προφανώς δεν θα είναι και πολύ σταθερό αν του ασκήσεις την παραμικρή δύναμη προς οποία κατεύθυνση, εκτός κι αν είναι κάθετη δύναμη αντίθετη στη βαρύτητα.

 

[Samael]

Ναι αλλά προφανώς δεν θα είναι και πολύ σταθερό αν του ασκήσεις την παραμικρή δύναμη προς οποία κατεύθυνση, εκτός κι αν είναι κάθετη δύναμη αντίθετη στη βαρύτητα.

Είτε το πιστεύεις είτε όχι...παραδόξως δεν θα τουμπάρει και πάλι !
Είναι τρομερά ευσταθές ακόμα και στην άσκηση διατμητικών τάσεων(παράλληλα στην επιφάνεια του τραπεζιού ας πούμε). Φαίνεται πολύ περίεργο αλλά είναι αλήθεια.

 

[Scandal]

Είτε το πιστεύεις είτε όχι...παραδόξως δεν θα τουμπάρει και πάλι !
Είναι τρομερά ευσταθές ακόμα και στην άσκηση διατμητικών τάσεων(παράλληλα στην επιφάνεια του τραπεζιού ας πούμε). Φαίνεται πολύ περίεργο αλλά είναι αλήθεια.

Πωπω ναι το αντιλαμβάνομαι τώρα που το λες.

 

[Samael]

Πωπω ναι το αντιλαμβάνομαι τώρα που το λες.

Εαν γκουγκλάρεις, έχουν φτιάξει μέχρι και γέφυρα που αξιοποιεί αυτές τις αρχές :

Δεν ξέρω εαν σας αρέσει, δεν φαίνεται και άσχημη, αλλά τα safety checks υποθέτω τα περνάει .

 

[Guest 182562]

Είτε το πιστεύεις είτε όχι...παραδόξως δεν θα τουμπάρει και πάλι !
Είναι τρομερά ευσταθές ακόμα και στην άσκηση διατμητικών τάσεων(παράλληλα στην επιφάνεια του τραπεζιού ας πούμε). Φαίνεται πολύ περίεργο αλλά είναι αλήθεια.

Εντάξει, η επιφάνεια του τραπεζιού πάνω κάτω δεν μπορεί να κινηθεί.

Δεξιά αριστερά;

 

[Samael]

Εντάξει, η επιφάνεια του τραπεζιού πάνω κάτω δεν μπορεί να κινηθεί.

Δεξιά αριστερά;

Είναι το ίδιο που ρώτησε ο Scandal. Παραμένει σταθερό. Δεν του φαίνεται αλλά είναι πραγματικά πολύ γερή κατασκευή σε σημείο που φτιάχνουν όπως είπα γέφυρες, κτίρια ή ακόμα και ρομπότ.

 

[Guest 691153]

Θα στο εξηγήσουν οι άλλο καλύτερα (@Samael enters the chat), αλλά νομίζω ότι είναι αρκετά απλό. Αν δεις, και πάνω και κάτω έχουμε δύο μεταλλικά τμήματα. Στο κέντρο αυτά συνδέονται με μια αλυσίδα, που λειτουργεί θα λέγαμε σαν σύνδεσμος, και άρα για αυτό δεν πέφτει το πάνω μεταλλικό κομμάτι. Ε, οπότε μετά οι άλλες δύο αλυσίδες είναι απλώς σαν να σταθεροποιούν το όλο κομμάτι.
Δε νομίζω πως στα εξήγησα πολύ καλά, αλλά ειλικρινά εμένα μου φαίνεται πολύ απλό. Αν διάβαζα και φυσική μπορεί να στο εξηγούσα καλύτερα.

ΥΓ. Ελπίζω να μην ήμουν η μόνη που της ήρθε μια συγκεκριμένη εικόνα (σύμβολο) κατά νου με το που το είδα...

Αίμα, τιμή χρυσ-

 

[Cade]

Το design αυτό βασίζεται στην αρχή του Tensegrity.
Στην ουσία είναι μια έξυπνη δομή που ισορροπεί παντού τις δυνάμεις θλίψης και του εφελκυσμού, εξασφαλίζοντας την μεγάλη σταθερότητα της. Οι δύο αυτές πτυχές είναι αλληλοεξαρτώμενες.

Λόγου χάρη φαντάσου οτι έκοβες την μεσαία αλυσίδα. Θα έχανες τις εφελκυστικές τάσεις και το τραπέζι θα έπεφτε στο έδαφος. Εαν απο την άλλη έκοβες μια απο τις αλυσίδες στις γωνίες, θα έχανες τις θλιπτικές τάσεις και θα αναπτύσσοταν καμπτική ροπή. Κοινώς το τραπέζι θα τούμπαρε. Είναι μια τέλεια ισορροπία μεταξύ τάσεων θλίψης και εφελκυσμού, οι οποίες συνυπάρχουν, εξαρτώνται άμεσα η μια απο την άλλη(αύξηση της μιας οδηγεί σε αύξηση της άλλης), και για αυτό διατηρούν την δομή σε ισορροπία. Η κατανομή των προηγούμενων τάσεων σε όλη την μάζα του σώματος είναι κλειδί στην όλη υπόθεση.

Όλες οι τάσεις που αναπτύσσονται στα καλώδια είναι εφελκυστικές!

 

[Samael]

Κάποια στιγμή ο φίλος @juanium είχε κάνει μια παρατήρηση σχετικά με το μήκος τόξου μιας συνάρτησης. Ένα θέμα που όπως του είχα αναφέρει είχε κεντρίσει και σε εμένα το ενδιαφέρον όταν ήμουν στην ηλικία του. Αργότερα είχα διαβάσει σε ένα βιβλίο πως σχετίζεται με τα κύματα αλλά δυστυχώς η αναφορά ήταν κάπως επιφανειακή. Καταπιανόμενος λοιπόν με αυτό το θέμα τις τελευταίες εβδομάδες στον ελεύθερο μου χρόνο, έκατσα και το ανέλυσα. Προφανώς ξεφεύγει του λυκείου αυτή η ανάλυση, αλλά την επισυνάπτω για κάθε ενδιαφερόμενο όπως επίσης και ένα βίντεο ως αποτέλεσμα αυτής της ανάλυσης και της προσομοίωσης των μη γραμμικών φαινομένων λόγω της μεταβολής του μήκους μιας χορδής όταν διαδίδονται σε αυτή κύματα, απο τα οποία συνθέτουμε τον παρακάτω ήχο σαν πείραμα. Μια πτυχή σημαντική για να προσεγγίσει κανείς την φυσική των πραγματικών χορδών στα μουσικά όργανα.

Εαν και ξεφεύγει όπως είπα, εντούτοις ελπίζω να εμπνεύσει τους μαθητές του 2ου πεδίου σχετικά με το πόσο όμορφη επιστήμη είναι τα μαθηματικά και η φυσική και πως όσα μαθαίνουν μπορούν να έχουν πολλές ενδιαφέρουσες και πραγματικές εφαρμογές.

 

[juanium]

Κάποια στιγμή ο φίλος @juanium είχε κάνει μια παρατήρηση σχετικά με το μήκος τόξου μιας συνάρτησης. Ένα θέμα που όπως του είχα αναφέρει είχε κεντρίσει και σε εμένα το ενδιαφέρον όταν ήμουν στην ηλικία του. Αργότερα είχα διαβάσει σε ένα βιβλίο πως σχετίζεται με τα κύματα αλλά δυστυχώς η αναφορά ήταν κάπως επιφανειακή. Καταπιανόμενος λοιπόν με αυτό το θέμα τις τελευταίες εβδομάδες στον ελεύθερο μου χρόνο, έκατσα και το ανέλυσα. Προφανώς ξεφεύγει του λυκείου αυτή η ανάλυση, αλλά την επισυνάπτω για κάθε ενδιαφερόμενο όπως επίσης και ένα βίντεο ως αποτέλεσμα αυτής της ανάλυσης και της προσομοίωσης των μη γραμμικών φαινομένων λόγω της μεταβολής του μήκους μιας χορδής όταν διαδίδονται σε αυτή κύματα, απο τα οποία συνθέτουμε τον παρακάτω ήχο σαν πείραμα. Μια πτυχή σημαντική για να προσεγγίσει κανείς την φυσική των πραγματικών χορδών στα μουσικά όργανα.

Εαν και ξεφεύγει όπως είπα, εντούτοις ελπίζω να εμπνεύσει τους μαθητές του 2ου πεδίου σχετικά με το πόσο όμορφη επιστήμη είναι τα μαθηματικά και η φυσική και πως όσα μαθαίνουν μπορούν να έχουν πολλές ενδιαφέρουσες και πραγματικές εφαρμογές.

Πολύ εντυπωσιακό, αν και δυσκολεύομαι αρκετά να ακολουθήσω την μελέτη, θα το κρατήσω να το κοιτάξω όταν μάθω τις απαιτούμενες γνώσεις.
Βέβαια, από αυτά που ξέρω από φέτος στο λύκειο η εξίσωση του στάσιμου κύματος που έχεις στην πρώτη σελίδα δεν ειναι y(x,t) = 2Acos(kx)sin(ωt);

 

[Samael]

Πολύ εντυπωσιακό, αν και δυσκολεύομαι αρκετά να ακολουθήσω την μελέτη, θα το κρατήσω να το κοιτάξω όταν μάθω τις απαιτούμενες γνώσεις.
Βέβαια, από αυτά που ξέρω από φέτος στο λύκειο η εξίσωση του στάσιμου κύματος που έχεις στην πρώτη σελίδα δεν ειναι y(x,t) = 2Acos(kx)sin(ωt);

Ευχαριστώ ! Ελπίζω όντως να το διαβάσεις όταν έρθει η ώρα και να σου φανεί χρήσιμο κάπως.
Good catch για το τελευταίο. Η αλήθεια είναι πως η εξίσωση αλλάζει ανάλογα τις συνθήκες στα άκρα της χορδής.

Στην προκειμένη θεωρούμε χορδή πακτωμένη και στα δύο άκρα, οπότε η εξίσωση γίνεται αυτή που βλέπεις. Εαν ήταν cos(kx) για x = 0 θα είχαμε πλάτος 2Α. Θα μου πεις ε και ; Αφού την t = 0 είναι το ημίτονο μηδέν και είμαστε οκει. Σε άλλη χρονική στιγμή όμως η απομάκρυνση του ενός άκρου της χορδής δεν θα ήταν μηδενική, οπότε δεν θα ήταν και πακτωμένη.

 

[juanium]

Ευχαριστώ ! Ελπίζω όντως να το διαβάσεις όταν έρθει η ώρα και να σου φανεί χρήσιμο κάπως.
Good catch για το τελευταίο. Η αλήθεια είναι πως η εξίσωση αλλάζει ανάλογα τις συνθήκες στα άκρα της χορδής.

Στην προκειμένη θεωρούμε χορδή πακτωμένη και στα δύο άκρα, οπότε η εξίσωση γίνεται αυτή που βλέπεις. Εαν ήταν cos(kx) για x = 0 θα είχαμε πλάτος 2Α. Θα μου πεις ε και ; Αφού την t = 0 είναι το ημίτονο μηδέν και είμαστε οκει. Σε άλλη χρονική στιγμή όμως η απομάκρυνση του ενός άκρου της χορδής δεν θα ήταν μηδενική, οπότε δεν θα ήταν και πακτωμένη.

Αα οκοκ, το ´πιασα, ευχαριστώ για την εξήγηση

 

[Cade]

Ας δούμε κανέναν τοίχο:

Spoiler