Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Alexandros28]

Δεν ξέρω αν δε καταλαβαίνω κάτι εγώ, αλλά το γεγονός πως κάτι είναι μεγαλύτερο του 0 κοντά στο 0 δεν σημαίνει ότι και το όριο του θα είναι μεγαλύτερο του 0. Παράδειγμα x^2>0 για χ κοντά στο 0 αλλά limx^2 x->0 = 0

 

[Samael]

Δεν ξέρω αν δε καταλαβαίνω κάτι εγώ, αλλά το γεγονός πως κάτι είναι μεγαλύτερο του 0 κοντά στο 0 δεν σημαίνει ότι και το όριο του θα είναι μεγαλύτερο του 0. Παράδειγμα x^2>0 για χ κοντά στο 0 αλλά limx^2 x->0 = 0

Είναι ιδιότητα στο σχολικό αυτό ναι, εαν μια συνάρτηση f <= g κοντά στο xo τότε :
lim f <= lim g
x->xo x->xo

 

[Cade]

Spoiler

Από την πρώτη ισότητα προκύπτει ότι:

lim f(x) = 0, x -> 0

Έπειτα το ζητούμενο όριο γίνεται με προσθαφαίρεση του f(x) στον αριθμητή

lim(e^f(x) + f(x) - 2x - 1 - f(x))/x²

lim(e^f(x) - f(x) - 1)/x² = L

Είναι f(x) ≠ 0 κοντά στο 0 και υπάρχει η γνωστή ανισότητα e^u - u - 1 >= 0 με την ισότητα στο u = 0. Το όριο γράφεται ως:

lim(e^f(x) - f(x) - 1)* 1/x² = άπειρο,

Το όριο της e^f(x) - f(x) - 1 υπάρχει επειδή υπάρχει της f(x)

lim [e^f(x) - 2x - 1]/x² =
x->0

lim [e^f(x) - f(x) + f(x) - 2x - 1]/x² =
x->0

lim [e^f(x) - f(x) - 1]/x² + lim[f(x) - 2x]/x² =
x->0

lim [e^f(x) - f(x) - 1]/x² + 4
x->0

Ισχύει πως για κάθε x E R :
e^x >= x+1
e^x - x - 1 >= 0

Η ισότητα ισχύει μόνο όταν x = 0.
Με αντικατάσταση του x με f(x) παραπάνω έχουμε :
e^f(x) - f(x) - 1 >= 0

Κοντά στο 0 η f != 0, οπότε :
lim e^f(x) - f(x) - 1 > 0
x->0

Επομένως :

lim [e^f(x) - f(x) - 1]/x² = κ/0+ = +οο , όπου κ κάποιος πεπερασμένος θετικός αριθμός.
x->0

Έτσι και το τελικό όριο ισούται με +οο.

Δε βγαίνει άπειρο το όριο, το limf(x) x->0 κάνει 0. Που σημαίνει πως η f μπορεί πχ να είναι η x^2. Τοτε το όριο L υπάρχει και μάλιστα κάνει 0

 

[Alexandros28]

Είναι ιδιότητα στο σχολικό αυτό ναι, εαν μια συνάρτηση f <= g κοντά στο xo τότε :
lim f <= lim g
x->xo x->xo

δεν χρησιμοποίησες αυτή την ιδιότητα

 

[Samael]

δεν χρησιμοποίησες αυτή την ιδιότητα

Ναι το ξέρω, απλά το αναφέρω.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 30 Αυγούστου 2022

Δεν ξέρω αν δε καταλαβαίνω κάτι εγώ, αλλά το γεγονός πως κάτι είναι μεγαλύτερο του 0 κοντά στο 0 δεν σημαίνει ότι και το όριο του θα είναι μεγαλύτερο του 0. Παράδειγμα x^2>0 για χ κοντά στο 0 αλλά limx^2 x->0 = 0

Νομίζω οτι εδώ η διαφορά είναι οτι όταν δεν έχουμε απλά μια ιδιότητα που ισχύει κοντά στο 0.
Η εκφώνηση μιλάει για μια περιοχή του 0 σε αφτάκια(" "), το οποίο αντιλαμβάνομαι ως γειτονιά του 0. Η οποία έννοια περιλαμβάνει και το 0. Οπότε η πρόταση του Cade δεν βγάζει και πολύ νόημα. Εφόσον ορίζεται διάστημα
(-ε,ε) με ε>0 στο οποίο η f != 0, αυτόματα δεν θα μπορούσε το όριο της f να είναι 0 κοντά στο 0.

Η x² είναι μεγαλύτερη του 0 κοντά στο χ = 0, αλλά δεν είναι μεγαλύτερη του μηδενός στη γειτονιά του x = 0, καθώς στο x = 0 είναι 0.

Εαν αντιλαμβάνομαι κάτι λάθος στην εκφώνηση διορθώστε με.

 

[Cade]

Ναι το ξέρω, απλά το αναφέρω.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 30 Αυγούστου 2022

Νομίζω οτι εδώ η διαφορά είναι οτι όταν δεν έχουμε απλά μια ιδιότητα που ισχύει κοντά στο 0.
Η εκφώνηση μιλάει για μια περιοχή του 0 σε αφτάκια(" "), το οποίο αντιλαμβάνομαι ως γειτονιά του 0. Η οποία έννοια περιλαμβάνει και το 0. Οπότε η πρόταση του Cade δεν βγάζει και πολύ νόημα. Εφόσον ορίζεται διάστημα
(-ε,ε) με ε>0 στο οποίο η f != 0, αυτόματα δεν θα μπορούσε το όριο της f να είναι 0 κοντά στο 0.

Η x² είναι μεγαλύτερη του 0 κοντά στο χ = 0, αλλά δεν είναι μεγαλύτερη του μηδενός στη γειτονιά του x = 0, καθώς στο x = 0 είναι 0.

Εαν αντιλαμβάνομαι κάτι λάθος στην εκφώνηση διορθώστε με.

Προφανώς δεν περιλαμβάνεται το μηδέν μέσα. Εγώ αντιλαμβάνομαι το "περιοχή", "γειτονιά" κλπ ως κοντά. Εκεί είναι ο προβληματισμός σου ;

 

[Alexandros28]

Ναι το ξέρω, απλά το αναφέρω.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 30 Αυγούστου 2022

Νομίζω οτι εδώ η διαφορά είναι οτι όταν δεν έχουμε απλά μια ιδιότητα που ισχύει κοντά στο 0.
Η εκφώνηση μιλάει για μια περιοχή του 0 σε αφτάκια(" "), το οποίο αντιλαμβάνομαι ως γειτονιά του 0. Η οποία έννοια περιλαμβάνει και το 0. Οπότε η πρόταση του Cade δεν βγάζει και πολύ νόημα. Εφόσον ορίζεται διάστημα
(-ε,ε) με ε>0 στο οποίο η f != 0, αυτόματα δεν θα μπορούσε το όριο της f να είναι 0 κοντά στο 0.

Η x² είναι μεγαλύτερη του 0 κοντά στο χ = 0, αλλά δεν είναι μεγαλύτερη του μηδενός στη γειτονιά του x = 0, καθώς στο x = 0 είναι 0.

Εαν αντιλαμβάνομαι κάτι λάθος στην εκφώνηση διορθώστε με.

Μην έχεις δεδομενη την συνέχεια της συνάρτησης. Παράδειγμα:
f(x)=x^2, x=/=0
1,x=0
Η f είναι διάφορη του 0 για xe(-δ,δ), δ>0 και το όριο της στο 0 είναι 0.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 30 Αυγούστου 2022

Εξ άλλου στην συγκεκριμένη άσκηση αποδεικνύεται ότι το όριο της f στο 0 είναι 0 από το δοθεν όριο

 

[Samael]

Προφανώς δεν περιλαμβάνεται το μηδέν μέσα. Εγώ αντιλαμβάνομαι το "περιοχή", "γειτονιά" κλπ ως κοντά. Εκεί είναι ο προβληματισμός σου ;

Είναι λίγο διαφορετικά αυτά μεταξύ τους. Η γειτονιά είναι κάτι συγκεκριμένο :

Στην προκειμένη εαν με το "περιοχή" εννοείς απλά κοντά στο 0, το οποίο δεν περιλαμβάνεται και το 0 φυσικά, τότε έχεις δίκιο και θα μπορούσαν να συμβαίνουν διάφορα "τρελά" κοντά στο 0 οπότε η προσέγγιση μου δεν θα ίσχυε.

Μην έχεις δεδομενη την συνέχεια της συνάρτησης. Παράδειγμα:
f(x)=x^2, x=/=0
1,x=0
Η f είναι διάφορη του 0 για xe(-δ,δ), δ>0 και το όριο της στο 0 είναι 0.

Δεν την έχω δεδομένη.
Απο την στιγμή που μου δίνει μια συνθήκη για την f, χρησιμοποιώ αυτή και δεν το ψειρίζω παραπάνω. Όσο και να πηδάει πάνω κάτω η συνάρτηση, να κάνει σπασίματα, άλματα κτλπ. δεν έχει σημασία εφόσον θα πρέπει να υπακούει αυτή την συνθήκη.

ΥΓ. Εσύ τώρα έπαιξες π&*βασικά διότι αυτός ο ορισμός ορίζει συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένωση διαστημάτων αλλά και συνόλου με ένα στοιχείο, ενώ το σχολικό βιβλίο λέει οτι μελετώνται μόνο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού κάποιο διάστημα ή ένωση διαστημάτων. Οπότε λογικό είναι να μην ισχύει το προαναφερόμενο θεώρημα. Στην γενική περίπτωση και εσύ έχεις δίκιο λοιπόν, απλά όχι στα πλαίσια του λυκείου.

 

[Alexandros28]

Δεν την έχω δεδομένη.
Απο την στιγμή που μου δίνει μια συνθήκη για την f, χρησιμοποιώ αυτή και δεν το ψειρίζω παραπάνω. Όσο και να πηδάει πάνω κάτω η συνάρτηση, να κάνει σπασίματα, άλματα κτλπ. δεν έχει σημασία εφόσον θα πρέπει να υπακούει αυτή την συνθήκη.

Πως επηρεάζει τοτε το ότι συμπεριλαμβάνεται το 0 στην ιδιότητα αυτή (f=/=0); Έδωσα μια συνάρτηση που υπακούει όλες τις συνθήκες και έχει όριο το 0 στο 0, το οποιο δεν συμφωνείς ότι μπορεί να ισχύει

 

[Samael]

Πως επηρεάζει τοτε το ότι συμπεριλαμβάνεται το 0 στην ιδιότητα αυτή (f=/=0); Έδωσα μια συνάρτηση που υπακούει όλες τις συνθήκες και έχει όριο το 0 στο 0, το οποιο δεν συμφωνείς ότι μπορεί να ισχύει

Απάντησα παραπάνω, έχεις δίκιο γενικά, απλά αυτή η συνάρτηση δεν επιτρέπεται στα πλαίσια του λυκείου γιατί το (-οο,0) U {0} U (0,+οο) δεν είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων. Επομένως τα θεωρήματα του σχολικού είναι λάθος για τέτοιες συναρτήσεις.

Y.Γ. όχι λεω μπούρδες, διότι όλο αυτό θεωρείται διάστημα. Απλά είχα υπόψιν οτι παραβιάζει το θεώρημα και λεω α μάλλον θα υπάρχει πρόβλημα με τα διαστήματα.

Αλλά για x < 1 => χ² < 1.
Οπότε βάσει του θεωρήματος του σχολικού :
lim x² = 0 το οποίο είναι πράγματι μικρότερο του 1.
χ->0

Άρα όντως δεν υπάρχει κάποιο πρόβλημα. Ο Άλεξ έχει δίκιο.

 

[Guest 749981]

g(x) = (f(x) - 2x)/x²

Γράφουμε την f(x) = g(x)*x² + 2x.
Τότε για g(x) != 0 είναι x² = (f(x) - 2x)/g(x)
Οπότε με αντικαταστάσεις βγαίνει 0;

Αν ήταν g(x) = 0 σε μια περιοχή γύρω από το 0 το όριο limg(x) x -> 0 θα ήταν 0 αντί για 4.

 

[Cade]

g(x) = (f(x) - 2x)/x²

Γράφουμε την f(x) = g(x)*x² + 2x.
Τότε για g(x) != 0 είναι x² = (f(x) - 2)/g(x)
Οπότε με αντικαταστάσεις βγαίνει 0;

Έκανες ένα ορθογραφικό, είναι 2x. Όμως πάλι είσαι σε 0/0, δε βλέπω πως μπορεί να συνεχιστεί.

 

[Guest 749981]

Έκανες ένα ορθογραφικό, είναι 2x. Όμως πάλι είσαι σε 0/0, δε βλέπω πως μπορεί να συνεχιστεί.

Αντικαθιστάς όπου f την παράσταση συναρτήσει της g πρώτα και μετά όπου x² την άλλη παράσταση. Έπειτα πολ/ζεις με g(x) αριθμητή και παρονομαστή

 

[asdfqwerty]

Έκανες ένα ορθογραφικό, είναι 2x. Όμως πάλι είσαι σε 0/0, δε βλέπω πως μπορεί να συνεχιστεί.

6 βγαινει το αρχικο? θα ανεβασω λυση σε λιγακι

 

[Cade]

6 βγαινει το αρχικο? θα ανεβασω λυση σε λιγακι

6 βγαίνει ναι.

 

[asdfqwerty]

μια αντιμετωπιση..

 

[Samael]

μια αντιμετωπιση..

Για να βρεις το όριο του f(x)/x τι σε ενέπνευσε ; Επίσης το όριο της f στο 0 που σου φάνηκε χρήσιμο ;

 

[asdfqwerty]

Για να βρεις το όριο του f(x)/x τι σε ενέπνευσε ; Επίσης το όριο της f στο 0 που σου φάνηκε χρήσιμο ;

το οριο της f χρειαζεται για εδω περα αρχικα

το οριο της f(x) / x , μου ηρθε σαν εμπνευση οταν εσπασα το αρχικο οριο σε 2 για το οριο εδω περα

το τελειο θα ηταν να ειχα και την f στον παρονομαστη για να παω σε ενα ευκολο οριο θετωντας οποτε αρχικα το εγραψα σαν [e^f(x) - f(x) - 1 / f(x) ] * f(x) / x^2 μονο που το 2ο οριο δεν οδηγησε καπου οποτε ειπα να δοκιμασω να εχω (f(x) / x)^2 οποτε εψαξα για το f(x) / x και ..

 

[BaSO4]

Το ότι η f είναι διάφορη του 0 σε μια "περιοχή" του 0 πού βοηθάει;

 

[Alexandros28]

Το ότι η f είναι διάφορη του 0 σε μια "περιοχή" του 0 πού βοηθάει;

Επειδή διαιρεις με το f^2 αριθμητή και παρονομαστή