Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Papachrist · 03-05-20

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:
Εσεις τις προσπαθειτε καθολου τις ασκησεις ή απλα περιμενετε τις λυσεις να τις αντιγραψετε??Γτ σε 2 μηνες τι θα κανετε?Ελπιζω να τις προσπαθειτε

Φυσικά και τα προσπαθώ....απλά δεν μπορώ να το λύσω ....και δεν κάνω διαδικτυακά γιατί δεν έχει ο καθηγητής τα μέσα και απλά μου δίνει ασκήσεις

eukleidhs1821 · 3 Μαΐου 2020

Συγγνωμη το οριο χlnx γτ το δινει??Δεν μπορειτε να το βρειτε μονοι σας?Παλια σε βαζανε να το βρεις

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 3 Μαΐου 2020

Δ1.Mισο να βαλω σε προγραμμα να υπολογισω την παραγωγο γτ σκυλοβαριεμαι να την κανω με το χερι

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 3 Μαΐου 2020

Θεωρω τη συναρτηση h(x)=x+lnx-1 h'(x)=1+1/x>0 αρα γνησιως αυξουσα h(1)=0 κανε τη μονοτονια της h γυρω απο το 1 αρα καταληγεις οτι η f ειναι γν.αυξουσα στο [1,00),γν.φθινουσα (0,1] ελαχιστο στο 1 το h(1)=-1
limf(x) otan χ τεινει στο μηδεν=0 ευκολα στο 00 σπας το κλασμα και βγαινει ευκολα +00.Αρα το συνολο τιμων ειναι [-1,0)ενωση [-1,+00)=[-1,+00)

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 3 Μαΐου 2020

Δ2.Στο α ερωτημα αποδειξαμε οτι η f εχει ελαχιστη τιμη το -1 που την παιρνει μονο για χ=1.αρα e^3-f(x)=1 synepagetai 3-f(x)=0 f(x)=3 οποτε εχοντας βρει τα επιμερους συνολα τιμων βλεπουμε οτι υπαρχει χ0 στο (1,+00) τετοιο ωστε φ(χ0)=3 λογω μονοτονιας ειναι μοναδικη

Athens2002 · 3 Μαΐου 2020

Σχετικά με τον ισχυρισμό θα συμφωνήσω οτι είναι αληθής. Η πρόταση δεν μας εξασφαλίζει πουθενά οτι το όριο υπαρχει. Ουσιαστικά νομίζω Samael απαντας σε κάτι τέτοιο:
Αν ισχύει η υπόθεση και το όριο υπάρχει ισούται με...
Ενώ ρωτάει κάτι που παραπέμπει σε αυτό: Αν ισχύει η υπόθεση Τότε το όριο υπάρχει και ισούται με...
Το όριο αυτό μπορεί και να μην υπάρχει.

Αν ισχυριστούμε οτ ι ο ισχυρισμός είναι ψευδής δεχόμαστε το ένα συνεπάγεται το άλλο.
Άρα αν το lim|f (x)|=l τότε το όριο είναι l ή -l( Πρόταση 1).
Αν ίσχυε η πρόταση αυτή θα ίσχυε και η αντιθετοαντιστροφη της. Άρα
Αν το όριο δεν είναι l ή μείον l Τότε το όριο της απολύτου δεν είναι l.
Που προφανώς δεν ισχύει
Διότι το όριο της f Μπορεί να μην ορίζεται καν αλ λα το όριο της απολύτου να είναι l
Άρα δεν ισχύει η πρόταση 1

eukleidhs1821 · 03-05-20

Πονηροτατη ασκηση Δ3.Παιρνουμε την παραγωγο της g και βγαζουμε τη μορφη g'(x)=f'(x)(2f(x)+3+2f(x)/f^2(x)+1)
Oλη η φουστια ειναι πως θα βγαλουμε το προσημο της παρενθεσης.Το κανω ενα κλασμα και ειναι μεσα στην παρενθεση 2φ^3(χ)+3φ^2(χ)+4φ(χ)+3/φ^2(χ)+1. Παιρνω τον αριθμητη ως συναρτηση αλλα αντι για f(x) με χ δηλαδη κ(χ)=2χ^3+3χ^2+4χ+3 αυτη η συναρτηση βγαζει θετικη παραγωγο αρα αυξουσα.Επομενως το χ που εκφραζει το f(x) ξερουμε οτι χ>=-1 k(x)>=0 αρα απεδειξα οτι το μεσα στην παρενθεση ειναι μεγαλυτερο ή ισο του μηδενος.Οπότε κανω παιχνιδι με την παραγωγο της f.Στο 1 η παραγωγος της g μηδενιζει για τα χ>1 ξερουμε οτι φ'(χ)>0 και για τα χ<1 ξερουμε οτι φ'(χ)<0.Αρα η συναρτηση εχει στο 1 ολικο ελαχιστο.

Samael · 03-05-20

Αρχική Δημοσίευση από Athena apo:
Σχετικά με τον ισχυρισμό θα συμφωνήσω οτι είναι αληθής. Η πρόταση δεν μας εξασφαλίζει πουθενά οτι το όριο υπαρχει. Ουσιαστικά νομίζω Samael απαντας σε κάτι τέτοιο:
Αν ισχύει η υπόθεση και το όριο υπάρχει ισούται με...
Ενώ ρωτάει κάτι που παραπέμπει σε αυτό: Αν ισχύει η υπόθεση Τότε το όριο υπάρχει και ισούται με...
Το όριο αυτό μπορεί και να μην υπάρχει.

Αν ισχυριστούμε οτ ι ο ισχυρισμός είναι ψευδής δεχόμαστε το ένα συνεπάγεται το άλλο.
Άρα αν το lim|f (x)|=l τότε το όριο είναι l ή -l( Πρόταση 1).
Αν ίσχυε η πρόταση αυτή θα ίσχυε και η αντιθετοαντιστροφη της. Άρα
Αν το όριο δεν είναι l ή μείον l Τότε το όριο της απολύτου δεν είναι l.
Που προφανώς δεν ισχύει
Διότι το όριο της f Μπορεί να μην ορίζεται καν αλ λα το όριο της απολύτου να είναι l
Άρα δεν ισχύει η πρόταση 1

Η άσκηση ρωτάει , είναι αληθές οτι το q(πρόταση δεξιά) δεν προκύπτει απο το p(πρόταση αριστερά) ;
Και εγώ λέω εαν η f έχει όριο στο xo τότε μπορώ να δείξω οτι το q προκύπτει απο το p . Ακόμα και εαν αγνοήσεις τα προηγούμενα που είπα , ουσιαστικά σου έδειξα οτι υπάρχουν περιπτώσεις που ο ισχρυσιμός δεν ισχύει . Άρα πως μπορεί να είναι αληθής

;

Απο την άλλη εαν το όριο δεν υπάρχει, δεν ξέρω πως μπορείς να χαρακτηρίσεις αληθής ή ψευδής την δεξιά πρόταση και επομένως τον ισχυρισμό . Είναι σαν να έχεις μια πρόταση που λέει εαν p τότε ln(x) > 2
και να μου λες,ένα λεπτό το δέχτηκες για x>0 τι γίνεται για x<0 . Μα αφού δεν ορίζεται το ln(x) για x<0 στην δεξιά πρόταση , πως θα πεις εαν ο ισχυρισμός είναι σωστός ή λάθος εαν δεν δεχτείς οτι x>0 .

ή να με ρωτήσεις την αλήθεια του ισχυρισμού οτι τα φαντάσματα είναι άσπρα . Δεν μπορώ γιατί δεν υπάρχουν . Δεν γίνεται να αποδώσω τιμή αλήθειας σε μια πρόταση που μιλάει για πράγματα που δεν υπάρχουν(ή δεν ορίζονται) .

eukleidhs1821 · 03-05-20

Δ4.Παιζουμε με το ελαχιστο της f.f(a)+1>=0 αρα e^(f(a)+1)>=1(1) f(b)>=-1 ara f(b)+2>=1 οποτε eln(f(b)+2)>=0 (2)
Προσθετουμε κατα μελη τις (1) και (2) και εχουμε e^(f(a)+1)+eln(f(b)+2)>=1.Για να ισχυει λοιπον αυτο ως ισοτητα πρεπει προφανως να ισχυουν ως ισοτητα οι σχεσεις (1) και (2) οποτε βρισκουμε f(a)=-1 και f(b)=-1.Ομως τιμη -1 η συναρτηση παιρνει μονο για χ=1.Αρα α=β=1
Bλεπουμε λοιπον οτι ολη η μαγκια της ασκησης ηταν να αξιοποιεις το ελαχιστο που βρηκες στο α ερωτημα

Athens2002 · 03-05-20

Αρχική Δημοσίευση από Samael:
Η άσκηση ρωτάει , είναι αληθές οτι το q(πρόταση δεξιά) δεν προκύπτει απο το p(πρόταση αριστερά) ;
Και εγώ λέω εαν η f έχει όριο στο xo τότε μπορώ να δείξω οτι το q προκύπτει απο το p . Ακόμα και εαν αγνοήσεις τα προηγούμενα που είπα , ουσιαστικά σου έδειξα οτι υπάρχουν περιπτώσεις που ο ισχρυσιμός δεν ισχύει . Άρα πως μπορεί να είναι αληθής ;

Απο την άλλη εαν το όριο δεν υπάρχει, δεν ξέρω πως μπορείς να χαρακτηρίσεις αληθής ή ψευδής την δεξιά πρόταση και επομένως τον ισχυρισμό . Είναι σαν να έχεις μια πρόταση που λέει εαν p τότε ln(x) > 2
και να μου λες,ένα λεπτό το δέχτηκες για x>0 τι γίνεται για x<0 . Μα αφού δεν ορίζεται το ln(x) για x<0 στην δεξιά πρόταση , πως θα πεις εαν ο ισχυρισμός είναι σωστός ή λάθος εαν δεν δεχτείς οτι x>0 .

ή να με ρωτήσεις την αλήθεια του ισχυρισμού οτι τα φαντάσματα είναι άσπρα . Δεν μπορώ γιατί δεν υπάρχουν . Δεν γίνεται να αποδώσω τιμή αλήθειας σε μια πρόταση που μιλάει για πράγματα που δεν υπάρχουν(ή δεν ορίζονται) .

Ακούω αυτό που λες αλλα π ιστευω είναι σαν να ρωτάει: Αν υπάρχουν μάσκες φαντασμάτων και είναι άσπρες Τότε δεν συνεπάγεται ότι τα φαντάσματα υπάρχουν και είναι άσπρα.
Που είναι αληθείς Αφού δεν υπάρχουν.
Τώρα όσον αφορά αυτό που είπες με το lnx :
Ο ισχυρισμός που δίνεται δεν εξασφαλίζει την υπαρξη του ορίου. Η υπόθεση το μόνο που μας εξασφαλίζει είναι η ύπαρξη του απόλυτου του ορίου.
**Φυσικά διατηρώ επιφυλάξεις για αυτ α που λεω και ακούω και περιμένω τις σκέψεις των πιο ειδικών. Εκφράζω απλα τους προβληματισμούς μου.

eukleidhs1821 · 03-05-20

Φανταστειτε να πεσει αυτο τι μακελειο εχει να γινει.Για να ειναι safe 100% επρεπε να λεει υπαρχει το οριο και ειναι +-l αν και μαλλον αυτη ειναι η ουσια της ερωτησης να καταλαβεις οτι δεν υπαρχει 100% το οριο.Εγω παντως αν εδινα εξετασεις θα απανταγα σωστο με το αντιπαραδειγμα που εβαλα εξαρχης.Το αστειο της υποθεσης ειναι οτι απο οτι θυμαμαι βαζουνε να ειναι λαθος και να αιτιολογεις.Φετος μπορει να το αλλαξουνε και να ειναι σωστο και να αιτιολογεις οπως στην ασκηση αυτη.

Athens2002 · 03-05-20

Samael σχετικά με το ότι έδωσες παράδειγμα που αντικρούει τον ισχυρισμό.
Αν σου πω να μου χαρακτήρισεις τον ισχυρισμό:
Αν ισχυει α^2 + β^2 Τότε δεν συνεπάγεται ότι (α+β)^2.
Τι θα πεις ;
Δεν θα πεις αληθής;
Θα πεις Δηλαδή οτι υπάρχει η περίπτωση α=0 και β=2

Samael · 3 Μαΐου 2020

Αρχική Δημοσίευση από Athena apo:
Ακούω αυτό που λες αλλα π ιστευω είναι σαν να ρωτάει: Αν υπάρχουν μάσκες φαντασμάτων και είναι άσπρες Τότε δεν συνεπάγεται ότι τα φαντάσματα υπάρχουν και είναι άσπρα.
Που είναι αληθείς Αφού δεν υπάρχουν.
Τώρα όσον αφορά αυτό που είπες με το lnx :
Ο ισχυρισμός που δίνεται δεν εξασφαλίζει την υπαρξη του ορίου. Η υπόθεση το μόνο που μας εξασφαλίζει είναι η ύπαρξη του απόλυτου του ορίου.
**Φυσικά διατηρώ επιφυλάξεις για αυτ α που λεω και ακούω και περιμένω τις σκέψεις των πιο ειδικών. Εκφράζω απλα τους προβληματισμούς μου.

Δεν είπα πουθενά οτι ο ισχυρισμός στα αριστερά αποτελεί ικανή συνθήκη για ύπαρξη του ορίου της f στο xo , άλλο είπα . Όπως επίσης ο ισχυρισμός δεν εξασφαλίζει την ύπαρξη του απολύτου του ορίου αλλά του ορίου του απολύτου.

Anyhow ας μην κουράζουμε άλλο το κεφάλι μας .
Ας περιμένουμε και την γνώμη του μαθηματικού .

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 3 Μαΐου 2020

Αρχική Δημοσίευση από Athena apo:
Samael σχετικά με το ότι έδωσες παράδειγμα που αντικρούει τον ισχυρισμό.
Αν σου πω να μου χαρακτήρισεις τον ισχυρισμό:
Αν ισχυει α^2 + β^2 Τότε δεν συνεπάγεται ότι (α+β)^2.
Τι θα πεις ;
Δεν θα πεις αληθής;
Θα πεις Δηλαδή οτι υπάρχει η περίπτωση α=0 και β=2

Δεν θα σου πω τίποτα γιατί δεν είναι πρόταση . Στο αριστερό μέλος δεν υφίσταται υπόθεση καθώς δεν υπάρχουν λογικοί τελεστές (= , ^, v, ') . Άρα πως θα σου δώσω τιμή αλήθειας σε κάτι που δεν αποτελεί λογική πρόταση ;

Athens2002 · 3 Μαΐου 2020

Αρχική Δημοσίευση από Samael:
Δεν είπα πουθενά οτι ο ισχυρισμός στα αριστερά αποτελεί ικανή συνθήκη για ύπαρξη του ορίου της f στο xo , άλλο είπα . Όπως επίσης ο ισχυρισμός δεν εξασφαλίζει την ύπαρξη του απολύτου του ορίου αλλά του ορίου του απολύτου.

Anyhow ας μην κουράζουμε άλλο το κεφάλι μας .
Ας περιμένουμε και την γνώμη του μαθηματικού .

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 3 Μαΐου 2020

Δεν θα σου πω τίποτα γιατί δεν είναι πρόταση . Στο αριστερό μέλος δεν υφίσταται υπόθεση καθώς δεν υπάρχουν λογικοί τελεστές (= , ^, v, ') . Άρα πως θα σου δώσω τιμή αλήθειας σε κάτι που δεν αποτελεί λογική πρόταση ;

Στο παραπανω με το απόλυτο και το όριο καταλάβατε τι πήγα να πω. Οσο για την δεύτερη σου σημείωση σημείωση έχεις απόλυτο δικαιο το εννοούσα πιο πολύ σαν ισότητα αλλα προφανώς το έθεσα λαθος

Samael · 03-05-20

Αρχική Δημοσίευση από Athena apo:
Συγγνώμη έχεις απόλυτο δίκαιο στο τελευταίο το εννοούσα πιο πολύ σαν ισότητα αλλα προφανώς το έθεσα λαθος

No worries .
Θα περιμένουμε και θα μάθουμε .
Εσείς οι δυο συμφωνείτε αλλά μπορεί κάλλιστα ο καθένας για δικούς του λόγους,σωστούς ή λάθος .
Απο την άλλη εγώ μπορεί να έχω δίκιο(ως προς την απάντηση) αλλά για λάθος λόγο . Παίζουν πολλά, προσπαθούμε απλώς να βοηθήσουμε τον φίλο με τις ερωτήσεις . Και έχει σημασία να δει και την σωστή απάντηση αλλά και τον σωστό λόγο .

eukleidhs1821 · 3 Μαΐου 2020

Oποιος εχει αλλη γνωμη για τη λυση των ασκησεων που ανεβασα ας την πει.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 3 Μαΐου 2020

Eπειδη ειναι πολυ σος προσεχτε και το β4.μην ψαρωσετε και πηγαινετε να βγαλετε προσημο ετσι αυθαιρετα.Πρεπει να παρετε το οριο και μετα να κανετε χρηση της ιδιοτητας.αλλιωστε σε υποψιαζει που λεει προσημο κοντα.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 3 Μαΐου 2020

Δειτε το Γ2 ερωτημα των μαθηματικων γενικης παιδειας του 2008.Πολλοι τοτε δεν ξερανε να το λυσουνε.Δεν αφορα το μαθημα σας απλα για να δειτε το απλο ειναι το δυσκολο.

Μάρκος Βασίλης · 05-05-20

Λοιπόν, σε σχέση με το πολύπαθο Σ-Λ, ας το δούμε λίγο αναλυτικά.

Έχουμε τον ισχυρισμό:

«Αν

τότε δεν συνεπάγεται ότι

ή

»

Αρχικά, ας κάνουμε μία κουβέντα περί συνεπαγωγών. Ας πούμε ότι έχουμε μία συνεπαγωγή της μορφής

. Τι πάει να πει αυτό; Πάει να πει ότι αν ισχύει το Α τότε πρέπει να ισχύει και το Β έτσι ώστε το σύμβολο

να είναι αληθές.

Κι αν δεν ισχύει το Α; Τότε τι γίνεται; Τότε, πολύ απλά, δε μας νοιάζει. Αν το Α είναι ψευδές - αν δηλαδή δεν ισχύει η υπόθεσή μας - τότε λέμε ότι το σύμβολο

είναι αληθές. Με άλλα λόγια, αντί να γράφουμε

θα μπορούσαμε να γράφουμε/λέμε «Β ή όχι Α». Με άλλα λόγια, μία συνεπαγωγή είναι αληθής αν ισχύει τουλάχιστον ένα από τα παρακάτω:

ισχύει το συμπέρασμα,
δεν ισχύει η υπόθεση.

Και, για να το δούμε και από την άλλη μεριά, μία συνεπαγωγή δεν είναι αληθής ακριβώς όταν ισχύει η υπόθεσή της και δεν ισχύει το συμπέρασμά της.

Ή, με (πιο) άλλα λόγια: από αλήθεια συμπεραίνεις μόνο αλήθεια ενώ από το ψέμα συμπεραίνεις ότι θες.

Επομένως, πηγαίνοντας τώρα πίσω στην αρχική πρόταση, όπου είχαμε μία συνεπαγωγή της μορφής

με:

A:

ή

Επομένως, για να μην ισχύει η συνεπαγωγή πρέπει να ισχύει η υπόθεση και να μην ισχύει το συμπέρασμα, δηλαδή πρέπει να ισχύει ότι

αλλά να μην ισχύει ότι:

ή

για κάποια συνάρτηση f. Μία τέτοια συνάρτηση είναι η

$f(x)=\frac{|x|}{x}$

Της οποία το όριο δεν υπάρχει στο 0, ωστόσο η |f| έχει όριο 1. Άρα δεν ισχύει η συνεπαγωγή, άρα η πρόταση είναι σωστή.

Να πούμε εδώ ότι ως θέμα είναι κακό, ειδικά για λύκειο. Όπως έλεγε κι ένας καθηγητής μας στη σχολή - με άλλη αφορμή, συνήθως, αλλά κολλάει: «εδώ καλά-καλά παιδιά που σπουδάζουν ή, ακόμα χειρότερα, έχουν αποφοιτήσει από το μαθηματικό, δεν μπορούν να χειριστούν τους ποσοδείκτες και τις αρνήσεις των ισχυρισμών και θα πάμε να τα ζητήσουμε από τα παιδιά του λυκείου;»

Οπότε, η πρόταση είναι σωστή αφού αυτό που εξετάζεται στην ουσία είναι αν μπορούμε ή όχι από την υπόθεση να συνάγουμε το συμπέρασμα - που δεν μπορούμε εδώ - και όχι αν ισχύει η υπόθεση. Άλλωστε, στα μαθηματικά δε μας νοιάζει αν ισχύουν οι υποθέσεις μας. :Ρ (το τελευταίο μην το πάρετε 100% στα σοβαρά αλλά ούτε και 100% στην πλάκα).

eukleidhs1821 · 05-05-20

Αρχική Δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης:
Λοιπόν, σε σχέση με το πολύπαθο Σ-Λ, ας το δούμε λίγο αναλυτικά.

Έχουμε τον ισχυρισμό:

«Αν
$\lim_{x\to x_0}|f(x)|=|\ell|\neq0$
τότε δεν συνεπάγεται ότι
$\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell$
ή
$\lim_{x\to x_0}f(x)=-\ell$
»

Αρχικά, ας κάνουμε μία κουβέντα περί συνεπαγωγών. Ας πούμε ότι έχουμε μία συνεπαγωγή της μορφής
$A\Rightarrow B$
. Τι πάει να πει αυτό; Πάει να πει ότι αν ισχύει το Α τότε πρέπει να ισχύει και το Β έτσι ώστε το σύμβολο
$A\Rightarrow B$
να είναι αληθές.

Κι αν δεν ισχύει το Α; Τότε τι γίνεται; Τότε, πολύ απλά, δε μας νοιάζει. Αν το Α είναι ψευδές - αν δηλαδή δεν ισχύει η υπόθεσή μας - τότε λέμε ότι το σύμβολο
$A\Rightarrow B$
είναι αληθές. Με άλλα λόγια, αντί να γράφουμε
$A\Rightarrow B$
θα μπορούσαμε να γράφουμε/λέμε «Β ή όχι Α». Με άλλα λόγια, μία συνεπαγωγή είναι αληθής αν ισχύει τουλάχιστον ένα από τα παρακάτω:

ισχύει το συμπέρασμα,

δεν ισχύει η υπόθεση.

Και, για να το δούμε και από την άλλη μεριά, μία συνεπαγωγή δεν είναι αληθής ακριβώς όταν ισχύει η υπόθεσή της και δεν ισχύει το συμπέρασμά της.

Ή, με (πιο) άλλα λόγια: από αλήθεια συμπεραίνεις μόνο αλήθεια ενώ από το ψέμα συμπεραίνεις ότι θες.

Επομένως, πηγαίνοντας τώρα πίσω στην αρχική πρόταση, όπου είχαμε μία συνεπαγωγή της μορφής
$A\Rightarrow B$
με:

A:
$\lim_{x\to x_0}|f(x)|=|\ell|\neq0$

$A:\lim_{x\to x_0}|f(x)|=|\ell|\neq0$

$B:\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\$
ή
$\lim_{x\to x_0}f(x)=-\ell$

Επομένως, για να μην ισχύει η συνεπαγωγή πρέπει να ισχύει η υπόθεση και να μην ισχύει το συμπέρασμα, δηλαδή πρέπει να ισχύει ότι

$\lim_{x\to x_0}|f(x)|=|\ell|\neq0$

αλλά να μην ισχύει ότι:

$\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell$
ή
$\lim_{x\to x_0}f(x)=-\ell$

για κάποια συνάρτηση f. Μία τέτοια συνάρτηση είναι η

$f(x)=\frac{|x|}{x}$

Της οποία το όριο δεν υπάρχει στο 0, ωστόσο η |f| έχει όριο 1. Άρα δεν ισχύει η συνεπαγωγή, άρα η πρόταση είναι σωστή.

Να πούμε εδώ ότι ως θέμα είναι κακό, ειδικά για λύκειο. Όπως έλεγε κι ένας καθηγητής μας στη σχολή - με άλλη αφορμή, συνήθως, αλλά κολλάει: «εδώ καλά-καλά παιδιά που σπουδάζουν ή, ακόμα χειρότερα, έχουν αποφοιτήσει από το μαθηματικό, δεν μπορούν να χειριστούν τους ποσοδείκτες και τις αρνήσεις των ισχυρισμών και θα πάμε να τα ζητήσουμε από τα παιδιά του λυκείου;»

Οπότε, η πρόταση είναι σωστή αφού αυτό που εξετάζεται στην ουσία είναι αν μπορούμε ή όχι από την υπόθεση να συνάγουμε το συμπέρασμα - που δεν μπορούμε εδώ - και όχι αν ισχύει η υπόθεση. Άλλωστε, στα μαθηματικά δε μας νοιάζει αν ισχύουν οι υποθέσεις μας. :Ρ (το τελευταίο μην το πάρετε 100% στα σοβαρά αλλά ούτε και 100% στην πλάκα).

μια τετοια συναρτηση ειναι και διπλου τυπου χ^2+1 χ>=0 χ^2-1,χ<0 το οριο της απολυτου φ στο 0 ειναι 1 ενω στο μηδεν το οριο της φ δεν υπαρχει.αρα δικαιωνομαι σε αυτο που ειπα απο την αρχη οτι η μαγκια ηταν να καταλαβεις οτι μπορει το οριο να μην υπαρχει και να βαλεις ενα αντιπαραδειγμα.αρα αντιπαραδειγμα για αιτιολογηση με σωστη προταση κατι που παει κοντρα στις προηγουμενες εξεταστικες που ηταν ναι μεν αντιπαραδειγμα η αιτιολογηση αλλα λαθεμενη η προταση.για πλακα θα μπορουσε να τεθει σε πανελλαδικες απλα ισως με καλυτερη διατυπωση

Samael · 05-05-20

Αρχική Δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης:
Λοιπόν, σε σχέση με το πολύπαθο Σ-Λ, ας το δούμε λίγο αναλυτικά.

Έχουμε τον ισχυρισμό:

«Αν
$\lim_{x\to x_0}|f(x)|=|\ell|\neq0$
τότε δεν συνεπάγεται ότι
$\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell$
ή
$\lim_{x\to x_0}f(x)=-\ell$
»

Αρχικά, ας κάνουμε μία κουβέντα περί συνεπαγωγών. Ας πούμε ότι έχουμε μία συνεπαγωγή της μορφής
$A\Rightarrow B$
. Τι πάει να πει αυτό; Πάει να πει ότι αν ισχύει το Α τότε πρέπει να ισχύει και το Β έτσι ώστε το σύμβολο
$A\Rightarrow B$
να είναι αληθές.

Κι αν δεν ισχύει το Α; Τότε τι γίνεται; Τότε, πολύ απλά, δε μας νοιάζει. Αν το Α είναι ψευδές - αν δηλαδή δεν ισχύει η υπόθεσή μας - τότε λέμε ότι το σύμβολο
$A\Rightarrow B$
είναι αληθές. Με άλλα λόγια, αντί να γράφουμε
$A\Rightarrow B$
θα μπορούσαμε να γράφουμε/λέμε «Β ή όχι Α». Με άλλα λόγια, μία συνεπαγωγή είναι αληθής αν ισχύει τουλάχιστον ένα από τα παρακάτω:

ισχύει το συμπέρασμα,

δεν ισχύει η υπόθεση.

Και, για να το δούμε και από την άλλη μεριά, μία συνεπαγωγή δεν είναι αληθής ακριβώς όταν ισχύει η υπόθεσή της και δεν ισχύει το συμπέρασμά της.

Ή, με (πιο) άλλα λόγια: από αλήθεια συμπεραίνεις μόνο αλήθεια ενώ από το ψέμα συμπεραίνεις ότι θες.

Επομένως, πηγαίνοντας τώρα πίσω στην αρχική πρόταση, όπου είχαμε μία συνεπαγωγή της μορφής
$A\Rightarrow B$
με:

A:
$\lim_{x\to x_0}|f(x)|=|\ell|\neq0$

$A:\lim_{x\to x_0}|f(x)|=|\ell|\neq0$

$B:\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\$
ή
$\lim_{x\to x_0}f(x)=-\ell$

Επομένως, για να μην ισχύει η συνεπαγωγή πρέπει να ισχύει η υπόθεση και να μην ισχύει το συμπέρασμα, δηλαδή πρέπει να ισχύει ότι

$\lim_{x\to x_0}|f(x)|=|\ell|\neq0$

αλλά να μην ισχύει ότι:

$\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell$
ή
$\lim_{x\to x_0}f(x)=-\ell$

για κάποια συνάρτηση f. Μία τέτοια συνάρτηση είναι η

$f(x)=\frac{|x|}{x}$

Της οποία το όριο δεν υπάρχει στο 0, ωστόσο η |f| έχει όριο 1. Άρα δεν ισχύει η συνεπαγωγή, άρα η πρόταση είναι σωστή.

Να πούμε εδώ ότι ως θέμα είναι κακό, ειδικά για λύκειο. Όπως έλεγε κι ένας καθηγητής μας στη σχολή - με άλλη αφορμή, συνήθως, αλλά κολλάει: «εδώ καλά-καλά παιδιά που σπουδάζουν ή, ακόμα χειρότερα, έχουν αποφοιτήσει από το μαθηματικό, δεν μπορούν να χειριστούν τους ποσοδείκτες και τις αρνήσεις των ισχυρισμών και θα πάμε να τα ζητήσουμε από τα παιδιά του λυκείου;»

Οπότε, η πρόταση είναι σωστή αφού αυτό που εξετάζεται στην ουσία είναι αν μπορούμε ή όχι από την υπόθεση να συνάγουμε το συμπέρασμα - που δεν μπορούμε εδώ - και όχι αν ισχύει η υπόθεση. Άλλωστε, στα μαθηματικά δε μας νοιάζει αν ισχύουν οι υποθέσεις μας. :Ρ (το τελευταίο μην το πάρετε 100% στα σοβαρά αλλά ούτε και 100% στην πλάκα).

I see what you mean there .
Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις που η πρόταση είναι λάθος όπως έδειξα,εαν υπάρχει το όριο . Επομένως το "λάθος" όπως το εννοούν δεν το λαμβάνουν υπόψιν τους ως αντινομία απ'ότι καταλαβαίνω ε ;

eukleidhs1821 · 05-05-20

Αρχική Δημοσίευση από Samael:
I see what you mean there .
Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις που η πρόταση είναι λάθος όπως έδειξα,εαν υπάρχει το όριο . Επομένως το "λάθος" όπως το εννοούν δεν το λαμβάνουν υπόψιν τους ως αντινομία απ'ότι καταλαβαίνω ε ;

εννοουν οτι το οριο υπαρχει σονυ και καλα ενω καλλιστα μπορει να μην υπαρχει.αν σου ελεγε αν το οριο υπαρχει ξαναλεω αν το οριο υπαρχει τοτε ναι θα ειχες δικιο εσυ.

Samael · 05-05-20

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:
εννοουν οτι το οριο υπαρχει σονυ και καλα ενω καλλιστα μπορει να μην υπαρχει.αν σου ελεγε αν το οριο υπαρχει ξαναλεω αν το οριο υπαρχει τοτε ναι θα ειχες δικιο εσυ.

Αυτό το κατάλαβα , αυτό που τον ρωτάω είναι οτι δεν πρόκειται επομένως για καθολικά λάθος πρόταση ή αλλιώς αντινομία . Ξεφεύγω ελάχιστα αλλά ως φοιτητής ηλεκτρονικός μου το συγχωρώ γιατί το ερώτημα έχει ενδιαφέρον,και όταν η λογική αρχίζει να μην είναι άσπρο μαύρο(ναι σπόντα για fuzzy logic , θα καταλάβει σίγουρα ο Μάρκος) καλό είναι να καταλαβαινόμαστε :hehe:

.

eukleidhs1821 · 5 Μαΐου 2020

Αρχική Δημοσίευση από Samael:
Αυτό το κατάλαβα , αυτό που τον ρωτάω είναι οτι δεν πρόκειται επομένως για καθολικά λάθος πρόταση ή αλλιώς αντινομία . Ξεφεύγω ελάχιστα αλλά ως φοιτητής ηλεκτρονικός μου το συγχωρώ γιατί το ερώτημα έχει ενδιαφέρον,και όταν η λογική αρχίζει να μην είναι άσπρο μαύρο(ναι σπόντα για fuzzy logic , θα καταλάβει σίγουρα ο Μάρκος) καλό είναι να καταλαβαινόμαστε .

αρχιζω και σε χανω εγω τωρα.αντινομια τι σημαινει??νομικος ορος ακουγεται.ειναι ασχημα διατυπωμενη η προταση.σιγουρα αν επεφτε πανελληνιες θα γινοταν κακος χαμος

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 5 Μαΐου 2020

Aν η προταση διατυπωνοταν ως εξης:Aν υπαρχουν τα ορια της f kai απολυτο f και ισχυει limαπολυτοf=απολυτο l τοτε δεν συνεπαγεται οτι limf=l ή -l τοτε η προταση θα ηταν λαθος διοτι για να υπαρχει το οριο της f δοθεντος οτι το οριο της απολυτου f ειναι απολυτο l δεν θα επρεπε να αλλαζει προσημο κοντα στο χ0 η f.

Samael · 05-05-20

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:
αρχιζω και σε χανω εγω τωρα.αντινομια τι σημαινει??νομικος ορος ακουγεται.ειναι ασχημα διατυπωμενη η προταση.σιγουρα αν επεφτε πανελληνιες θα γινοταν κακος χαμος

Ναι πράγματι,αλλά και ο νομικός όρος απο το την ίδια έννοια πηγάζει .
Μια πρόταση μπορεί ανάλογα με τις τιμές που παίρνουν οι λογικές μεταβλητές ή άλλες προτάσεις αυτών να είναι αληθής η ψευδής . Όταν για οποιοδήποτε συνδυασμό τιμών αλήθειας αυτών των μεταβλητών ,η πρόταση είναι πάντα λάθος,την λέμε αντίφαση .

Αλλά για άλλες προτάσεις μπορεί για ορισμένους συνδυασμούς να είναι αληθής ή ψευδής . Εαν είναι πάντα αληθής τότε είναι ταυτολογία .

Κυρίως αυτός είναι ο λόγος που είπα οτι πρόκειται για ένα πολύ δύσκολο ερώτημα ,γιατί η λογική δεν είναι καθόλου μα καθόλου εύκολη και πρέπει να είσαι πολύ προσεκτικός στο πως ορίζεις και δέχεσαι τα πράγματα . Παλιά θα ήταν μαθηματική φιλοσοφία όλο αυτό που κάνουμε,σήμερα όμως έχει πολύ σημαντικές εφαρμογές(& επιπτώσεις νομικά για ευφυή συστήματα ) .

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Διάσημο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Διάσημο μέλος

Τιμώμενο Μέλος