καλησπερα σε ολους! θα ηθελα μια βοηθεια στο Γ3 και Γ4. εκανα τα δυο πρωτα αλλα κολλαω στα υπολοιπα
Γ.1) Θέτουμε z=x+yi όπου x,y ανήκουν R. Έχουμε:
z+5-2(z-5)i=x+yi+5-2(x+yi-5)i=x=yi+5-2xi+2y+10i=(x+2y+5)+(-2x+y+10)i
|z+5-2(z-5)i|=SQRT[((x+2y+5)^2)+((-2x+y+10)^2)] => |z+5-2(z-5)i|^2=((x+2y+5)^2)+((-2x+y+10)^2)
|z+5-2(z-5)i|=6*SQRT(5) => |z+5-2(z-5)i|^2=180 => ((x+2y+5)^2)+((-2x+y+10)^2)=180 =>
=> (x^2)+4(y^2)+25+4xy+10x+20y+4(x^2)+(y^2)+100-4xy-40x+20y=180 => 5(x^2)+5(y^2)-30x+40y-55=0 =>
=> (x^2)+(y^2)-6x+8y-11=0 => [(x^2)-6x+9]+[(y^2)+8y+16]-36=0 => [(x-3)^2]+[(y+4)^2]=36
Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι κύκλος C1 με κέντρο Κ1(3,-4) και ακτίνα ρ1=6
Γ.2) Θέτουμε w=X+Yi όπου X,Y ανήκουν R. Έχουμε:
w_=X-Yi (συζυγής του w)
iw_-2+5i=i(X-Yi)-2+5i=Xi+Y-2+5i=(Y-2)+(X+5)i
|iw_-2+5i|=SQRT[((Y-2)^2)+((X+5)^2)]=SQRT[((X+5)^2)+((Y-2)^2)] => |iw_-2+5i|^2=((X+5)^2)+((Y-2)^2)
|iw_-2+5i|=4 => |iw_-2+5i|^2=16 => ((X+5)^2)+((Y-2)^2)=16
Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι κύκλος C2 με κέντρο Κ2(-5,2) και ακτίνα ρ2=4
Γ.3) Το μήκος της διακέντρου είναι (Κ1Κ2)=SQRT[((-5-3)^2)+((2+4)^2)]=SQRT[((-8 )^2)+(6^2)]=SQRT(64+36)=SQRT(100)=10
Επισης έχουμε ρ1+ρ2=6+4=10
Παρατηρούμε ότι (Κ1Κ2)=ρ1+ρ2, που σημαίνει ότι οι κύκλοι C1 και C2 εφάπτονται εξωτερικά και συνεπώς έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Σε αυτό το σημείο ισχύει z=w.
Αν Α, Β είναι τα ακραία σημεία τομής των κύκλων C1 και C2 αντίστοιχα με την διάκεντρο Κ1Κ2, τότε επειδή οι κύκλοι C1, C2 εφάπτονται εξωτερικά ισχύει (ΑΒ)=2ρ1+2ρ2=2(ρ1+ρ2)=2*(6+4)=2*10=20
Αν Μ(z) και Ν(w) τότε |z-w|=(ΜΝ) και 0<=(ΜΝ)<=(ΑΒ). Άρα 0<=|z-w|<=20
Άρα |z-w|<=20
(Ισχύει |z-w|=0 μόνο όταν z=w που αντιστοιχεί στο σημείο επαφής των δύο κύκλων)
Γ.4) Παρατηρούμε ότι |w1-w2|=2ρ2 που σημαίνει ότι τα σημεία Ν1(w1) και Ν2(w2) είναι αντιδιαμετρικά.
Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου C2 με κέντρο Κ2(-5,2) και ακτίνα ρ2=4 είναι:
X=-5+4συνθ
Y=2+4ημθ
όπου 0<=θ<2π
Άρα w=X+Yi => w=(-5+4συνθ)+(2+4ημθ)i, 0<=θ<2π
Έχουμε
w1=(-5+4συνθ1)+(2+4ημθ1)i
w2=(-5+4συνθ2)+(2+4ημθ2)i, 0<=θ1<=θ2<2π
Επειδή τα Ν1, Ν2 είναι αντιδιαμετρικά τότε θ2=θ1+π όπου 0<=θ1<π<=θ2<2π. Σε αυτήν την περίπτωση προκύπτει:
ημθ2=ημ(θ1+π)=ημ(π+θ1)=ημ(π-(-θ1))=ημ(-θ1)=-ημθ1
συνθ2=συν(θ1+π)=συν(π+θ1)=συν(π-(-θ1))=-συνθ2
Άρα
w1=(-5+4συνθ1)+(2+4ημθ1)i
w2=(-5-4συνθ1)+(2-4ημθ1)i
Αν θέσουμε θ1=θ τότε θ2=θ+π όπου 0<=θ<π. Επομένως:
w1=(-5+4συνθ)+(2+4ημθ)i
w2=(-5-4συνθ)+(2-4ημθ)i
Έχουμε w1+w2=-10+4i για κάθε 0<=θ<π
Συνεπώς |w1+w2|=SQRT[((-10)^2)+(4^2)]=SQRT(100+16)=SQRT(116)=2*SQRT(29)
Άρα |w1+w2|=2*SQRT(29)
