Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

JaneWin · 20 Μαρτίου 2011 στις 23:33

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
^

a) αχ²+βχ+γ=0

$\Delta ={\beta }^{2}-4\alpha \gamma <{\beta }^{2}-3\alpha \gamma <0$
άρα οι όποιες ρίζες είναι μιγαδικές

b)κ,λ μιγαδικές ρίζες της εξίσωσης, άρα έχω $\kappa =\bar{\lambda }$

$w=\frac{\kappa }{\lambda }+\frac{\lambda }{\kappa }=\frac{\bar{\lambda }}{\lambda }+\frac{\lambda}{\bar{\lambda }}=\frac{{\bar{\lambda }}^{2}+{\lambda }^{2}}{{\left|\lambda \right|}^{2}}=\frac{2Re({\lambda }^{2})}{{\left|\lambda \right|}^{2}}$

$\lambda =\frac{-\beta +\sqrt{4\alpha \gamma -{\beta }^{2}}i}{2\alpha }$

${\lambda }^{2}=\frac{2{\beta }^{2}-4\alpha \gamma }{4{a}^{2}}-\frac{2\beta \sqrt{4\alpha \gamma -{\beta }^{2}}i}{4{\alpha }^{2}}$

$2Re({\lambda }^{2})=\frac{{\beta }^{2}-2\alpha \gamma }{{\alpha }^{2}}$

${\left|\lambda \right|}^{2}=\frac{{\beta }^{2}}{4{\alpha }^{2}}+\frac{4\alpha \gamma -{\beta }^{2}}{4{\alpha }^{2}}=\frac{\alpha \gamma }{{\alpha }^{2}}$

$<3$ \alpha \gamma \Leftrightarrow {\beta }^{2}-2\alpha \gamma <\alpha \gamma \Leftrightarrow \frac{{\beta }^{2}-2\alpha \gamma }{{a}^{2}}<\frac{\alpha \gamma }{{a}^{2}}\Leftrightarrow 2Re({\lambda }^{2})<{\left|\lambda \right|}^{2}\Leftrightarrow w<1" />

το (γ) το παλεύω..

Κάνας υπότιτλος παίζει;

Γιατί,την κοιτάω,την ξανακοιτάω,άκρη δεν βγάζω. :look:

vassilis498 · 20 Μαρτίου 2011 στις 23:56

Αρχική Δημοσίευση από JaneWin:
Κάνας υπότιτλος παίζει;
Γιατί,την κοιτάω,την ξανακοιτάω,άκρη δεν βγάζω.

το πρώτο υποθέτω το καταλαβαίνεις, έχει αρνητική διακρίνουσα άρα οι ρίζες δεν είναι πραγματικές

για το δεύτερο, αν μια δευτεροβάθμια εξίσωση 2 έχει μιγαδικές ρίζες, τότε από θεωρεία ξέρω ότι θα είναι μεταξύ τους συζυγείς.Άρα κάνω την απαραίτητη αντικατάσταση στον w, το μαζεύω λίγο και αυτό που μένει είναι πραγματικό αριθμός. Στη συνέχεια υπολογίζω ξεχωριστά αριθμητή και παρονομαστή. Το λ το έχω βρει συναρτήσει του α, β και γ από τον κλασσικό τύπο μιγαδικής ρίζας του τριωνύμου. Υπολογίζω το λ^2, το φέρνω σε μορφή χ+ψi και κρατάω το 2Re(λ^2) που θέλω. Αντίστοιχα εφόσον ξέρω το λ, υπολογίζω το τετράγωνο του μέτρου του. Χρησιμοποιώ τη σχέση που μου δίνεται για να συγκρίνω αριθμητή και παρονομαστή, και εφόσον έχω αριθμητή μικρότερο, το κλάσμα ( ο w δηλαδή) είναι <1
Ίσως μπερδεύτηκες γιατί έχω φάει μερικές πράξεις για να μη βγει μεγάλο.

edit: υπέθεσα ότι έχεις κάνει μιγαδικούς, αλλιώς λογικό είναι να μην τα καταλαβαίνεις

Dias · 21 Μαρτίου 2011 στις 00:03

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
Αν κανεις μια μερα να συνελθεις απο την ηλεκτρολογια,τοτε
νοιωθω μεγαλη ικανοποιηση απο την επιλογη μου να παω τεχνο2

Nα το χαίρεσαι το ΑΟΔΕ σου :tongue:

Χθες έκανα γενική-γενική επανάληψη στην ηλεκτρολογία γιατί αύριο γράφουμε στο σχολείο διαγώνισμα σε όλη την ύλη. Διάβασα σχεδόν 12 ώρες το Σάββατο και αν δεν γράψω το λιγότερο 100, θα αυτοκτονήσω πηδώντας από το παράθυρο του ισογείου. Έτσι σήμερα Κυριακή, δεν άνοιξα βιβλίο. Ξύπνησα αργά, χαζολόγησα στο πι-σι και από τις 4 ως πριν λίγο ήμουν έξω.

Για την άσκηση σου τώρα. Τα α, β είναι απλά, αλλά το γ κάπου με πικραίνει.

@ vassilis497
Θα μου επιτρέψεις να συμπληρώσω λίγο το (α) και να γράψω άλλο τρόπο (με Vieta) για το (β)?

Αρχική Δημοσίευση από JaneWin:
Κάνας υπότιτλος παίζει; Γιατί,την κοιτάω,την ξανακοιτάω,άκρη δεν βγάζω.

Είσαι μικρή ακόμα για τέτοια. (Με το δικό μου τρόπο θα το καταλάβεις πιο καλά)

Chris1993 · 21 Μαρτίου 2011 στις 00:11

Να δω τι θα κάνεις αν πάρεις 99 !

JaneWin · 21 Μαρτίου 2011 στις 01:19

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
το πρώτο υποθέτω το καταλαβαίνεις, έχει αρνητική διακρίνουσα άρα οι ρίζες δεν είναι πραγματικές

Υπολογίζω το λ^2, το φέρνω σε μορφή χ+ψi και κρατάω το 2Re(λ^2) που θέλω. Αντίστοιχα εφόσον ξέρω το λ, υπολογίζω το τετράγωνο του μέτρου του. Χρησιμοποιώ τη σχέση που μου δίνεται για να συγκρίνω αριθμητή και παρονομαστή, και εφόσον έχω αριθμητή μικρότερο, το κλάσμα ( ο w δηλαδή) είναι <1
Ίσως μπερδεύτηκες γιατί έχω φάει μερικές πράξεις για να μη βγει μεγάλο.

edit: υπέθεσα ότι έχεις κάνει μιγαδικούς, αλλιώς λογικό είναι να μην τα καταλαβαίνεις

Βασικα χάθηκα στο β στο σημείο με το λ².Τι ακριβώς κάνεις εκεί;
Α και στο α. Βγάζεις $\alpha \gamma > \frac {\beta^{2}}{3}$ ,πως το συνδιάζεις με τον αρχικό τύπο;

Σωστά υπέθεσες,κάνω και τέτοιες αηδίες.

Αρχική Δημοσίευση από Dias:
Είσαι μικρή ακόμα για τέτοια. (Με το δικό μου τρόπο θα το καταλάβεις πιο καλά)

α)Γιατί αγ>0;
Και στο β πάλι στις πράξεις χάνομαι. :knife:

$\frac{\beta ^{2}-2\gamma \alpha} {\gamma \alpha}$ Μέχρι εκεί όλα γκουντ,μετά το 3 πως προκύπτει; Και το 1;
Εγώ σε εκείνο το σημείο βρήκα $\frac{\beta ^{2}} {\gamma \alpha}-2$

Από μικρή στα βάσσανα. :lol:

Πφφφ,αν δεν με πεθάνουν αυτά τα μαθηματικά,θα με πεθάνει το latex. :wacko:

vassilis498 · 21 Μαρτίου 2011 στις 02:22

Αρχική Δημοσίευση από JaneWin:
Βασικα χάθηκα στο β στο σημείο με το λ².Τι ακριβώς κάνεις εκεί;
Α και στο α. Βγάζεις $\alpha \gamma > \frac {\beta^{2}}{3}$ ,πως το συνδιάζεις με τον αρχικό τύπο;

Σωστά υπέθεσες,κάνω και τέτοιες αηδίες.

όχι και αηδίες

( αν και η ανάλυση είναι πιο ωραία )

για να βρω το λ^2 απλά παίρνω τη σχέση που έχω με το λ και τετραγωνίζω ( ταυτότητες, κανονικά)

${\lambda }^{2}=\frac{{(-\beta) }^{2}+{(\sqrt{4\alpha \gamma -{\beta }^{2}})}^{2}{i}^{2}+2(-\beta )(\sqrt{4\alpha \gamma -{\beta }^{2}})i}{4{\alpha }^{2}}=\frac{{\beta }^{2}+(4\alpha \gamma -{\beta }^{2})(-1)-2\beta (\sqrt{4\alpha \gamma -{\beta }^{2}})i}{4{\alpha }^{2}}=\frac{{\beta }^{2}-4\alpha \gamma +{\beta }^{2}-2\beta (\sqrt{4\alpha \gamma -{\beta }^{2}})i}{4{\alpha }^{2}}=\frac{2{\beta }^{2}-4\alpha \gamma }{4{\alpha }^{2}}-\frac{2\beta (\sqrt{4\alpha \gamma -{\beta }^{2}})i}{4{\alpha }^{2}}$

$2Re({\lambda }^{2})=2(\frac{2{\beta }^{2}-4\alpha \gamma }{4{\alpha }^{2}})=\frac{4{\beta }^{2}-8\alpha \gamma }{4{\alpha }^{2}}=\frac{{\beta }^{2}-2\alpha \gamma }{{\alpha }^{2}}$

τώρα για το μέτρο

$\left|\lambda \right|=\sqrt{{(\frac{-\beta }{2\alpha })}^{2}+{(\frac{\sqrt{4\alpha \gamma -{b}^{2}}}{2\alpha })}^{2}}\Rightarrow {\left|\lambda \right|}^{2}={(\frac{-\beta }{2\alpha })}^{2}+{(\frac{\sqrt{4\alpha \gamma -{b}^{2}}}{2\alpha })}^{2}=\frac{{\beta }^{2}}{4{\alpha }^{2}}+\frac{4\alpha \gamma-{\beta }^{2} }{4{\alpha }^{2}}=\frac{{\beta }^{2}+4\alpha \gamma -{\beta }^{2}}{4{\alpha }^{2}}=\frac{\alpha \gamma }{{\alpha }^{2}}$

ε, και μετά ακολουθώντας τις ισοδυναμίες, ξεκινώ από τη σχέση που μου δίνεται και καταλήγω στο επιθυμητό συμπέρασμα

για το (α)
ξέρω ότι

$\alpha \gamma >{\beta }^{2}>0$
άρα αγ>0

$4\alpha \gamma >3\alpha \gamma \Leftrightarrow -4\alpha \gamma <-3\alpha \gamma \Leftrightarrow {\beta }^{2}-4\alpha \gamma <{\beta }^{2}-3\alpha \gamma <0$ ( το τελευταίο δίνεται)

ελπίζω τώρα να έγιναν κατανοητά μου βγήκε ο κ#λος να τα γράφω όλα στο latex

JaneWin · 21 Μαρτίου 2011 στις 02:36

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
όχι και αηδίες ( αν και η ανάλυση είναι πιο ωραία )

για να βρω το λ^2 απλά παίρνω τη σχέση που έχω με το λ και τετραγωνίζω ( ταυτότητες, κανονικά)

${\lambda }^{2}=\frac{{(-\beta) }^{2}+{(\sqrt{4\alpha \gamma -{\beta }^{2}})}^{2}{i}^{2}+2(-\beta )(\sqrt{4\alpha \gamma -{\beta }^{2}})i}{4{\alpha }^{2}}=\frac{{\beta }^{2}+(4\alpha \gamma -{\beta }^{2})(-1)-2\beta (\sqrt{4\alpha \gamma -{\beta }^{2}})i}{4{\alpha }^{2}}=\frac{{\beta }^{2}-4\alpha \gamma +{\beta }^{2}-2\beta (\sqrt{4\alpha \gamma -{\beta }^{2}})i}{4{\alpha }^{2}}=\frac{2{\beta }^{2}-4\alpha \gamma }{4{\alpha }^{2}}-\frac{2\beta (\sqrt{4\alpha \gamma -{\beta }^{2}})i}{4{\alpha }^{2}}$

$2Re({\lambda }^{2})=2(\frac{2{\beta }^{2}-4\alpha \gamma }{4{\alpha }^{2}})=\frac{4{\beta }^{2}-8\alpha \gamma }{4{\alpha }^{2}}=\frac{{\beta }^{2}-2\alpha \gamma }{{\alpha }^{2}}$

τώρα για το μέτρο

$\left|\lambda \right|=\sqrt{{(\frac{-\beta }{2\alpha })}^{2}+{(\frac{\sqrt{4\alpha \gamma -{b}^{2}}}{2\alpha })}^{2}}\Rightarrow {\left|\lambda \right|}^{2}={(\frac{-\beta }{2\alpha })}^{2}+{(\frac{\sqrt{4\alpha \gamma -{b}^{2}}}{2\alpha })}^{2}=\frac{{\beta }^{2}}{4{\alpha }^{2}}+\frac{4\alpha \gamma-{\beta }^{2} }{4{\alpha }^{2}}=\frac{{\beta }^{2}+4\alpha \gamma -{\beta }^{2}}{4{\alpha }^{2}}=\frac{\alpha \gamma }{{\alpha }^{2}}$

ε, και μετά ακολουθώντας τις ισοδυναμίες, ξεκινώ από τη σχέση που μου δίνεται και καταλήγω στο επιθυμητό συμπέρασμα

για το (α)
ξέρω ότι

$\alpha \gamma >{\beta }^{2}>0$
άρα αγ>0

$4\alpha \gamma >3\alpha \gamma \Leftrightarrow -4\alpha \gamma <-3\alpha \gamma \Leftrightarrow {\beta }^{2}-4\alpha \gamma <{\beta }^{2}-3\alpha \gamma <0$ ( το τελευταίο δίνεται)

ελπίζω τώρα να έγιναν κατανοητά μου βγήκε ο κ#λος να τα γράφω όλα στο latex

Προτιμώ φυσική. :look:

Οκέ,ευχαριστώ πάρα πολύ.

Καλό ξημέρωμα. :flowers:

13diagoras · 21 Μαρτίου 2011 στις 14:27

Βασιλη μολις ειδα τη λυση σου στο (γ)χαρηκα

,γιατι και εγω ετσι την ελυσα,ενω το βοηθημα ειχε αλλη λυση.
Επισης ,το (β) ,το ελυσα οπως τον Δια

Και για να μην παει χαμενο το μηνυμα,ας βαλω μια αρκετα ευκολη ασκηση:

Εστω η συναρτηση φ:R->R ,ωστε για καθε χ στο R να ειναι φ(χ)>0 και φ(χ)lnφ(χ)=e^x.Δειξτε ρεεεε ,οτι :
1)φ(χ)>1 για καθε χ
2)φ γν.αυξουσα
3) φ(1)=e
4)ισχυει φ²(χ)>e^x για καθε χ στο R

EDIT: Το πολυ μαυρο δεν το εδινε ετσι

:hello:

red span · 21 Μαρτίου 2011 στις 21:40

Δινεται συνεχης συναρτηση f [1,2]-->Q με f(3/2)=5/6 να δειξετε οτι f(x)=5/6
Αφηστε για λιγο τις κουκου του μπαρλα και πιαστε αυτην

13diagoras · 21 Μαρτίου 2011 στις 22:38

Εστω οτι η f επαιρνε και καποια αλλη τιμη εκτος απο τη δοθεισα,τοτε αφου ειναι συνεχης απο το ΘΕΤ θα επαιρνε και καποια τιμη που δεν ανηκει στο Q ,ατοπο.
Εγω θα λεγα πως αυτη ειναι πιο κουκου απο τις αλλες

vassilis498 · 21 Μαρτίου 2011 στις 22:41

όντως,Χάρη κοίτα τη πάλι μήπως έχεις ξεχάσει τίποτα

13diagoras · 21 Μαρτίου 2011 στις 22:42

Οχι ρε,απεδειχθη το ζητουμενο, πιστευω

vassilis498 · 21 Μαρτίου 2011 στις 22:46

α, lol άλλο κατάλαβα εγώ

εξακολουθεί να μου φαίνεται ελειπής πάντως, δεν ξέρουμε ποιο είναι το Q για να δούμε αν είναι άτοπο ή όχι :hmm:

13diagoras · 21 Μαρτίου 2011 στις 22:50

Q συνολο ρητων

red span · 22 Μαρτίου 2011 στις 15:00

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
Εστω οτι η f επαιρνε και καποια αλλη τιμη εκτος απο τη δοθεισα,τοτε αφου ειναι συνεχης απο το ΘΕΤ θα επαιρνε και καποια τιμη που δεν ανηκει στο Q ,ατοπο.
Εγω θα λεγα πως αυτη ειναι πιο κουκου απο τις αλλες

diagora προσοχη Τι εννοεις αν η f παιρνει αλλη τιμη εκτος απο τη δοθεισα ,αυτος ειναι ο τυπος της f αν θες να το πας με ατοπο δεν αρκει να απορριψεις μονο τις σταθερες αλλα και τις μη σταθερες συναρτησεις εκτος του f(x)=5/6 gia kathe x e R
θυμηθειται οτι το Q εινα υποσυνολο του R
Φιλικα Χαρης

13diagoras · 22 Μαρτίου 2011 στις 16:59

Ισως δεν με καταλαβες φιλε Χαρη:
Δεν μιλησα για καμια σταθερη συναρτηση,γνωριζω οτι δεν υπαρχουν μονο σταθερες συναρτησεις

Ειπα οτι,εστω οτι η φ δεν ειναι η σταθερη 5/6,τοτε θα παιρνει σαφως καποια αλλη τιμη-οποια να ναι.
Ομως μεταξυ αυτης της αλλης και της 5/6,υπαρχουν αριθμοι που δεν ειναι ρητοι(και αφου φ συνεχης απο ΘΕΤ,οπως ειπα παραπανω),ατοπο,επειδη το συνολο τιμως την φ ειναι το Q.

Δεν καταλαβαινω που εχει λαθος ο ισχυρισμος αυτος.

Φιλικα 13diagoras

red span · 22 Μαρτίου 2011 στις 21:27

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
Ισως δεν με καταλαβες φιλε Χαρη:
Δεν μιλησα για καμια σταθερη συναρτηση,γνωριζω οτι δεν υπαρχουν μονο σταθερες συναρτησεις
Ειπα οτι,εστω οτι η φ δεν ειναι η σταθερη 5/6,τοτε θα παιρνει σαφως καποια αλλη τιμη-οποια να ναι.
Ομως μεταξυ αυτης της αλλης και της 5/6,υπαρχουν αριθμοι που δεν ειναι ρητοι(και αφου φ συνεχης απο ΘΕΤ,οπως ειπα παραπανω),ατοπο,επειδη το συνολο τιμως την φ ειναι το Q.

Δεν καταλαβαινω που εχει λαθος ο ισχυρισμος αυτος.

Φιλικα 13diagoras

Δεν υπαρχει κανενα λαθος μια χαρα ειναι ,και εγω κατι παρομοιο ειχα στο μυαλο μου διατυπωμενο διαφορετικα
Μια ακομα για να σας κρατησω ζεστους

Εστω f συναρτηση συνεχης στο [α,β] τρεις φορες παραγωγισιμη στο (α,β) τετοια ωστe f(a)<=f(β) και υπαρχει γ (α,β) f(γ)<f(α)
1)να δεξετε τετοια ξ ε (α,β) f'(ξ)=0
2) υπαρχει χο ε (α,β) f''(xo)>0
3)υπαρχουν ρ1,ρ2 ε (α,β) τετοιοι ωτε ρ1<ρ2 f''(ρ1)>0 και f''(ρ2)>0
4)Αν η f'' ειναι γνσηιως φθοινουσα [α,β] υπαρχει ξο (ρ1,ρ2) f''(ξο)<0

vassilis498 · 22 Μαρτίου 2011 στις 21:52

4)Αν η f'' ειναι γνσηιως φθοινουσα [α,β] υπαρχει ξο (ρ1,ρ2) f''(ξο)<0

μήπως εννοείς f'''(ξο);

vassilis498 · 23 Μαρτίου 2011 στις 13:29

Εστω η συναρτηση φ:R->R ,ωστε για καθε χ στο R να ειναι φ(χ)>0 και φ(χ)lnφ(χ)=e^x.Δειξτε ρεεεε ,οτι :
1)φ(χ)>1 για καθε χ
2)φ γν.αυξουσα
3) φ(1)=e
4)ισχυει φ²(χ)>e^x για καθε χ στο R

$f(x)ln(f(x))={e}^{x}$

1)
$ln(f(x))=\frac{{e}^{x}}{f(x)}>0\Leftrightarrow ln(f(x))>0\Leftrightarrow ln(f(x))>ln1\Leftrightarrow f(x)>1$

2) για x1,x2 στο R τέτοια ώστε f(x1)<f(x2)

$f(x1)<f(x2),(1)$
$ln(f(x1))<ln(f(x2)),(2)$

(1)*(2):
$f(x1)ln(f(x1))<f(x2)ln(fx2))\Leftrightarrow {e}^{x1}<{e}^{x2}\Leftrightarrow x1<x2$
άρα f γν.αύξουσα

3) $f(x)ln(f(x))={e}^{x}\Leftrightarrow x=ln[f(x)ln(f(x))]\Leftrightarrow {f}^{-1}(x)=ln(xlnx)$
${f}^{-1}(e)=1\Leftrightarrow f(1)=e$

4) έστω
$g(x)=x-lnx,x\epsilon (0,+oo)$
$g'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$

από πινακάκι στο R βλέπω ότι η g έχει ολικό ελάχιστο στο x=1.

$g(x)\geq g(1)\Leftrightarrow g(x)\geq 1>0\Leftrightarrow g(x)>0\Leftrightarrow x-lnx>0\Leftrightarrow x>lnx\Leftrightarrow f(x)>ln(f(x))\Leftrightarrow {f}^{2}(x)>f(x)ln(f(x))\Leftrightarrow {f}^{2}(x)>{e}^{x},x\epsilon R$

red span · 23 Μαρτίου 2011 στις 17:07

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
μήπως εννοείς f'''(ξο);

yeap

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διάσημο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Δραστήριο μέλος