Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[manos66]

(fog)(x1) = (fog)(x2)
f(g(x1)) = f(g(x2)) (η f είναι 1-1)
g(x1) = g(x2) (η g είναι 1-1)
x1 = x2

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[leobakagian]

Ευχαριστώ πολύ...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[manouno]

Ρε παιδιά βοηθήστε με λίγο σε αυτές τις 2 ασκήσεις, ειναι νομίζω στο Θ.Μ.Τ.
1) Η f συνεχής στο [1,7] κ' παρ/μη στο (1,7) η f ' είναι γνησίως αύξουσα στο (1,7)
να δειξετε ότι: f(1)+f(7)>f(3)+f(5)

2) Να δέιξετε οτι:
αν γνωρίζετε ότι 0<α<β<π/2" />" />

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[manouno]

Ωχχχ !!! Γιατι δεν βγαίνει ο κώδικας LATEX ?????

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[exc]

Όσο θα σου απαντώ το 1ο δες αν είναι αυτό που έγραφες στο λατεξ και κάνε το paste στο προηγούμενο μήνυμά σου.
Σου είχε ξεφύγει το / από το τελευταίο λατεξ.
Επίσης να σου τονίσω ότι για τους τριγονομετρικούς αριθμούς καλό θα είναι να τους γράφουμε με τα αγγλικά σύμβολα
ημ -> sin
συν -> cos
εφ -> tan
σφ -> cot
--------------
1)ξ1ε(5,7) και ξ2ε(1,3)
ξ1>ξ2, η f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα, άρα από το ΘΜΤΔΛ: f '(ξ1)>f '(ξ2) <=> [f(7)-f(5)]/2>[f(3)-f(1)]/2 <=> f(7)+f(1)>f(5)+f(3) και τώρα αν ήμουν μαθηματικός, θα σου έλεγα ότι ισχύει η ιδιότητα της αντιμετάθεσης στην πρόσθεση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών οπότε το ζητούμενο απεδείχθει.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[manouno]

2) Να δείξετε οτι:

αν γνωρίζετε ότι 0<α<β<π/2

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[manouno]

Όσο θα σου απαντώ το 1ο δες αν είναι αυτό που έγραφες στο λατεξ και κάνε το paste στο προηγούμενο μήνυμά σου.
Σου είχε ξεφύγει το / από το τελευταίο λατεξ.
Επίσης να σου τονίσω ότι για τους τριγονομετρικούς αριθμούς καλό θα είναι να τους γράφουμε με τα αγγλικά σύμβολα
ημ -> sin
συν -> cos
εφ -> tan
σφ -> cot

Ευχαριστώ για τις συμβουλές σου, σημερα ήταν η πρώτη φορά που έγραφα LATEX και δεν ήξερα μερικα πραγματα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[exc]

2) Να δείξετε οτι:

αν γνωρίζετε ότι 0<α<β<π/2

f(x)=tanx
H εφαπτομένη είναι από τις γνωστές συναρτήσεις που θεωρούνται δεδομένες, έτσι δεν είναι;
Εν πάσει περιπτώσει, εύκολα δείχνεις ότι στο (0,π/2) είναι γνησίως άυξουσα (f ' >0) και έχει τα κοίλα άνω (f ''>0).
f '(x)=1/(cosx)^2

Πολλαπλασιάζεις αριθμητή και παρανομαστή του μεσαίου 'πράγματος' στην παραπάνω ανισοτική σχέση (αυτή που μας δίνεις) με -1 και έχεις:
(tanb-tana)/(b-a) και επειδή ισχύουν οι προυποθέσεις του ΘΜΤΔΛ υπάρχει ένα ξ στο (α,β) για το οποίο ισχύει f '(ξ)=(tanb-tana)/(b-a).

Άρα έχεις α<ξ<β
f '>0 και f '' >0
οπότε f '(a)<f '(ξ)<f '(β). Άρα απεδείχθει το ζητούμενο.

Την πρώτη ερώτηση στην απάντησα στο προηγούμενο μήνυμά μου.

Ευχαριστώ για τις συμβουλές σου, σημερα ήταν η πρώτη φορά που έγραφα LATEX και δεν ήξερα μερικα πραγματα.

Παρακαλώ!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[manouno]

Ευχαριστώ πάρα πολύ για τις ασκήσεις. Να σαι καλα...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[metalmaniac]

Τι κάνω σε αυτήν?Δίνεται f(x)=-(e^x)-lnx Δείξτε ουι υπάρχει μοναδικό σηείο της cf που ορίζεται εφαπτομένη της Cfμε μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης.

Πρέπει να βρώ την μονοτονία ακρότατα,και μετα για τον μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης τί κάνω?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[exc]

Τι κάνω σε αυτήν?Δίνεται f(x)=-(e^x)-lnx Δείξτε ουι υπάρχει μοναδικό σηείο της cf που ορίζεται εφαπτομένη της Cfμε μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης.

Πρέπει να βρώ την μονοτονία ακρότατα,και μετα για τον μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης τί κάνω?

Δε χρειάζεται να μελετήσεις την f καθόλου. Μόνο την παράγωγό της: βρες ακρότατο.

ΥΓ: Διόρθωσε το "γ' γυμνασίου" στο προφίλ σου.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[aggelos_a]

Για δείτε και αυτή παιδιά:
f κοιλη με εφαπτ στο χ=0, y=-x-1
Αν g(x)<f(x),x}r να βρεθεί το lim g(x), x teinei συν άπειρο

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[exc]

Για δείτε και αυτή παιδιά:
f κοιλη με εφαπτ στο χ=0, y=-x-1
Αν g(x)<f(x),x}r να βρεθεί το lim g(x), x teinei συν άπειρο

Λοιπόν.
f κοίλη <=>f τα κοίλα κάτω <=> f ''<0. [edit: ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ!!!: Bλ. Διευκρίνηση στο ακριβώς από κάτω μήνυμα από "coheNakatos"]
Από την εξίσωση της εφαπτομένης έχουμε:
f '(0)=-1 και f(0)=-1 αφού η εφαπτόμενη έχει γενικό τύπο: y-f(x0)=f '(x0)*(x-x0), όπου χ0 το σημείο στο οποίο ψάχνουμε την εφαπτομένη.
Τώρα από εδώ και πέρα...:
Δεν καταλαβαίνω τι εννοείς με αυτό το "x}r". Αν δεν εννοείς τίποτα και είναι απλώς λάθος κατά τη γραφή της άσκησης, τότε η μοναδική πληροφορία που μας δίνεις είναι ότι η τυχαία συνάρτηση g είναι κάτω από την f. Δεν βγαίνει κάτι...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[coheNakatos]

Λοιπόν.
f κοίλη <=>f τα κοίλα κάτω <=> f ''<0.
Από την εξίσωση της εφαπτομένης έχουμε:
f '(0)=-1 και f(0)=-1 αφού η εφαπτόμενη έχει γενικό τύπο: y-f(x0)=f '(x0)*(x-x0), όπου χ0 το σημείο στο οποίο ψάχνουμε την εφαπτομένη.
Τώρα από εδώ και πέρα...:
Δεν καταλαβαίνω τι εννοείς με αυτό το "x}r". Αν δεν εννοείς τίποτα και είναι απλώς λάθος κατά τη γραφή της άσκησης, τότε η μοναδική πληροφορία που μας δίνεις είναι ότι η τυχαία συνάρτηση g είναι κάτω από την f. Δεν βγαίνει κάτι...

Λαθος ! f κοιλη -> f' γν. φθινουσα και μονο αν f 2 φορες παραγωγισιμη f''(x)<0 !

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[aggelos_a]

Φίλε μ ήθελα να γράψω χ ανήκει R. Η άσκηση πάντως αυτή είναι, δν ξέχασα κάτι.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[exc]

Λαθος ! f κοιλη -> f' γν. φθινουσα και μονο αν f 2 φορες παραγωγισιμη f''(x)<0 !

Απαντούσα σε pm και σκέφτηκα "θα το διορθώσω σε λίγο και δε θα το δει κανείς!"... Αμ δε....
Επί της άσκησης καμία ιδέα; Σου φαίνονται επαρκή τα δεδομένα;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[lowbaper92]

Για δείτε και αυτή παιδιά:
f κοιλη με εφαπτ στο χ=0, y=-x-1
Αν g(x)<f(x),x}r να βρεθεί το lim g(x), x teinei συν άπειρο

Μου ήρθε μια ιδεα αλλα δεν ειμαι και τοσο σιγουρος γιατι δεν χρησιμοποίησα και ολα τα δεδομενα. Την βαζω μηπως σας φερει και σας καμια ιδεα και περιμένω διορθώσεις/σχολια:

Εφόσον η f ειναι κοίλη, η εφαπτομένη της σε καθε σημείο θα βρίσκεται πανω απο τη Cf ,με εξαίρεση το 0 (ως σημειο επαφής).Δηλαδή

Εχουμε f(x)>g(x). Άρα
-χ-1>g(x)
Όμως

Κι επειδή g(x)<-x-1, άρα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[aggelos_a]

Μου ήρθε μια ιδεα αλλα δεν ειμαι και τοσο σιγουρος γιατι δεν χρησιμοποίησα και ολα τα δεδομενα. Την βαζω μηπως σας φερει και σας καμια ιδεα και περιμένω διορθώσεις/σχολια:

Εφόσον η f ειναι κοίλη, η εφαπτομένη της σε καθε σημείο θα βρίσκεται πανω απο τη Cf ,με εξαίρεση το 0 (ως σημειο επαφής).Δηλαδή

Εχουμε f(x)>g(x). Άρα
-χ-1>g(x)
Όμως

Κι επειδή g(x)<-x-1, άρα

Φίλε σωστός είσαι. Ουσιαστικά αυτό είναι αλλά θέλει και απόδειξη. Την έλυσα τελικά. Θά κάτσω να τν γράψω και θα την δημοσιεύσω.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[lowbaper92]

Φίλε σωστός είσαι. Ουσιαστικά αυτό είναι αλλά θέλει και απόδειξη. Την έλυσα τελικά. Θά κάτσω να τν γράψω και θα την δημοσιεύσω.

Τι απόδειξη δηλαδή?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[exc]

Φίλε σωστός είσαι. Ουσιαστικά αυτό είναι αλλά θέλει και απόδειξη. Την έλυσα τελικά. Θά κάτσω να τν γράψω και θα την δημοσιεύσω.

Συγγνώμη...
Όταν έγραψες: "lim g(x), x teinei συν άπειρο"εννοούσες να βρεθεί το ;
Δεν ήθελες να βρεθεί το χ0 για το οποίο ; (που ήταν και αδύνατο να γίνει...)
Προς όλους:
Παιδιά, πρέπει να μάθετε . Είναι χρήσιμο και για εδώ-θα συννενοούμαστε χωρίς παρεξηγήσεις- και θα σας χρειαστεί αργότερα και στο πανεπιστήμιο!
-----------

Τι απόδειξη δηλαδή?

Δε χρειάζται καμία παραπάνω απόδειξη. Ήταν πλήρης αυτή που έδωσες. Βέβαια στις πανελλήνιες γράψε και 1-2 λόγια παραπάνω...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.