Καλησπερα σας. Θελω τα φωτα σας σε μια ασκηση. Η ασκηση ειναι ως εξης: Πηγη αρμονικων κυματων βρισκεται στην αρχη Ο του ημιαξονα Οχ, εκτελει απλη αρμονικη ταλαντωση με εξισωση y=0,2ημ(10πτ)(SI) και δημιουργει εγκαρσια κυματα σε γραμμικο ελαστικο μεσο που εχει τη διευθυνση του ημιαξονα.
Να βρειτε την δυναμη επαναφορας που δεχεται ενα υλικο σημειο Μ του ελαστικου μεσου μαζας 0,01g μετα απο χρονο Δt=(14/30)s απο τη στιγμη που ξεκινησε να ταλαντωνεται. Δινεται π²=10.
Σπαω το κεφαλι μου αλλα δεν ξερω τι να κανω!(Η ασκηση εχει και αλλα ερωτηματα αλλα ειναι ανεξαρτητα απο αυτο)
Η πηγή O ξεκινά να ταλαντώνεται την χρονική στιγμή t=0 και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=Aημ(ωt) όπου A=0,2 m και ω=2π rad/s. Αν είναι L η απόσταση του σημείου Μ από την πηγή Ο και c η ταχύτητα διάδοσης του κύματος τότε η χρονική στιγμή t0 που θα ξεκινήσει το Μ να ταλαντώνεται προσδιορίζεται από την σχέση:
c=L/t0 => t0=L/c
Η μετακίνηση του σημείου Μ δίνεται από τις σχέσεις:
y=0, 0<=t<t0
y=Αημ[ω(t-t0)], t>=t0
Συνεπώς η ταχύτητα και επιτάχυνσή του δίνονται από τις σχέσεις:
υ=0, 0<=t<t0
υ=υ0*συν[ω(t-t0)]=ωΑσυν[ω(t-t0)]
α=0, 0<=t<t0
α=-α0*ημ[ω(t-t0)]=-(ω^2)Αημ[ω(t-t0)], t>=0
όπου
υ0=ωΑ
α0=(ω^2)Α
Ως επαναφορά ορίζεται η ιδιότητα ενός μηχανικού συστήματος, που βρίσκεται σε ισορροπία, να αντιστέκεται σε κάθε αίτιο το οποίο τείνει να το εκτρέψει ή το εκτρέπει από την ισορροπία. Η αντίσταση του συστήματος εκφράζεται με την ανάπτυξη δυνάμεων που έχουν αντίθετη κατεύθυνση από την μετακίνηση που επιβάλλει το εξωτερικό αίτιο (εξωτερική δύναμη). Οι δυνάμεις αυτές ονομάζονται δυνάμεις επαναφοράς, έχουν αντίθετη φορά από την επιβαλλόμενη μετακίνηση u και είναι συνάρτηση της u.
Επειδή το κύμα είναι αρμονικό, τότε κάθε υλικό σημείο του μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Απλή αρμονική ταλάντωση σημαίνει ότι πρόκειται για ταλάντωση ενός βαθμού ελευθερίας (απλή) , δηλαδή η άγνωστη μετακίνηση είναι μία και μεταβάλλεται ημιτονοειδώς με τον χρόνο (αρμονική).
Θα εξεταστεί στη συνέχεια αν στο σημείο Μ αναπτύσσονται δυνάμεις επαναφοράς και πώς προσδιορίζονται εφόσον υπάρχουν.
Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σημείο Μ προσδιορίζεται από την σχέση F=mα. Έχουμε:
F=0, 0<=t<t0
F=-m(ω^2)Αημ[ω(t-t0)], t>=t0
Για t>=t0 έχουμε:
F=-m(ω^2)Αημ[ω(t-t0)]=-m(ω^2)*{Αημ[ω(t-t0)]}=-m(ω^2)*y
Παρατηρούμε ότι η συνισταμένη δύναμη για t>=to γράφεται στη μορφή F=-Dy όπου D=m(ω^2). Η συνισταμένη δύναμη είναι γραμμικά ανάλογη της μετατόπισης y. Συνεπώς αναπτύσσεται δύναμη επαναφοράς η οποία δίνεται από την σχέση FD=-Dy όπου D=m(ω^2) η σταθερά επαναφοράς του συστήματος και δεν αναπτύσσονται άλλες δυνάμεις. Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η δύναμη επαναφοράς έχει αντίθετη κατεύθυνση από την y. Συνεπώς η συνισταμένη δύναμη ισούται με την δύναμη επαναφοράς.
Για t=t0+Δt προκύπτει
F
Δt=-m(ω^2)Αημ(ω*Δt)
