Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

akis95 · 2012-08-24T13:50:06+0300

δεν ειναι δυσκολη αλλα μιας και ειμαι γ λυκειου θα περιμενω τους μικροτερους να απαντησουν ας βαλω και αυτη

Σε αριθμητική πρόοδο

και

1) Να βρεθεί ο πρώτος όρος

και η διαφορά

της αριθμητικής προόδου.
2) Να βρεθεί το πλήθος των

πρώτων όρων της προόδου αυτής αν

πηγη mathematica.gr

gregory nub · 2012-08-24T13:50:57+0300

Αρχική Δημοσίευση από aggresive:
Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος $\left( {\alpha }_{\nu }\right)$ της οποίας ο 7ος όρος είναι 9, ενώ το άθροισμα του 4ου και του 9ου είναι 16. Να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της.

Επειδή έχω σκουριάσει στις προόδους, γράφω την λύση που βρήκα κι αν τελικά είναι σωστή θα προσθέσω και τον τρόπο επίλυσης

α1= -3 και ω=2

aggressive · 2012-08-24T13:55:47+0300

Αρχική Δημοσίευση από akis95:
δεν ειναι δυσκολη αλλα μιας και ειμαι γ λυκειου θα περιμενω τους μικροτερους να απαντησουν ας βαλω και αυτη

Για προθέρμανση.

Αρχική Δημοσίευση από gregory:
Επειδή έχω σκουριάσει στις προόδους, γράφω την λύση που βρήκα κι αν τελικά είναι σωστή θα προσθέσω και τον τρόπο επίλυσης

α1= -3 και ω=2

Ναι, σωστή είναι.

jj! · 2012-08-24T15:07:14+0300

Aggresive, εσύ από πού έμαθες πρόοδους; (Δεν απάντησες πριν

)

aggressive · 2012-08-25T13:58:52+0300

Αρχική Δημοσίευση από jj!:
Aggresive, εσύ από πού έμαθες πρόοδους; (Δεν απάντησες πριν)

Από ένα βοήθημα των Στεργίου-Νάκη.

Αρχική Δημοσίευση από aggresive:
Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος $\left( {\alpha }_{\nu }\right)$ της οποίας ο 7ος όρος είναι 9, ενώ το άθροισμα του 4ου και του 9ου είναι 16. Να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της.

Λοιπόν, βάζω την λύση.

Δεδομένα και ζητούμενα: ${\alpha }_{7}=9, {\alpha }_{4}+{\alpha }_{9}=16, {\alpha }_{1}=?, \omega =?$

${\alpha }_{\nu }={\alpha }_{1}+\left(\nu -1 \right)\omega \Rightarrow {\alpha }_{7}={\alpha }_{1}+\left(7 -1 \right)\omega \Rightarrow 9={\alpha }_{1}+6\omega \left(1 \right)$

${\alpha }_{\nu }={\alpha }_{1}+\left(\nu -1 \right)\omega \Rightarrow {\alpha }_{4}={\alpha }_{1}+\left(4-1 \right)\omega \Rightarrow {\alpha }_{4}={\alpha }_{1}+3\omega$
${\alpha }_{\nu }={\alpha }_{1}+\left(\nu -1 \right)\omega \Rightarrow {\alpha }_{9}={\alpha }_{1}+\left(9-1 \right)\omega \Rightarrow {\alpha }_{9}={\alpha }_{1}+8\omega$

${\alpha }_{4}+{\alpha }_{9}=16\Rightarrow \left( {\alpha }_{1}+3\omega \right)+\left( {\alpha }_{1}+8\omega\right) =16\Rightarrow 2{\alpha }_{1}+11\omega =16 \left(2 \right)$

$\left\{\begin{matrix}\left(1 \right) & \\ \left(2 \right) & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}{\alpha }_{1}+6\omega =9 & \\ 2{\alpha }_{1}+11\omega =16 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}-2{\alpha }_{1}-12\omega =-18 & \\ 2{\alpha }_{1}+11\omega =16 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}-\omega =-2 & \\ 2{\alpha }_{1}+11\omega =16 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\omega =2 & \\ 2{\alpha }_{1}+22=16 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\omega =2 & \\ 2{\alpha }_{1}=16-22\Rightarrow & \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix}\omega =2 & \\ {\alpha }_{1}=-3 & \end{matrix}\right.$

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
ε οι προοδοι ειναι γτπ βαλε κτ αλλο

Μια εύκολη αποδεικτική:

Αν $\alpha \beta \gamma \neq 0$ και $\alpha +\beta +\gamma =\alpha \beta \gamma$ , ναο:

$\frac{\alpha +\beta }{\gamma }+\frac{\beta +\gamma }{\alpha }+\frac{\gamma +\alpha }{\beta }+3=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$

Δεν έχω δύσκολες.

Μπορούν να την λύσουν και μαθητές Γ' Γυμνασίου.

Τάσος97 · 2012-08-25T14:23:24+0300

Να προτείνω κάτι γιατί εγώ έχω ενα προβληματάκι δεν τα πάω καλά με τις ασκήσεις τύπου πάρε μεταβλητές και λύσε. Δεν πετάτε και κανένα προβληματάκι; Είναι πιο ωραία

aggressive · 2012-08-25T14:54:25+0300

Αχά. Θες πρόβλημα που να λύνεται σχηματίζοντας εξίσωση, δηλαδή?

jj! · 2012-08-25T16:14:54+0300

Αρχική Δημοσίευση από Τάσος97:
Να προτείνω κάτι γιατί εγώ έχω ενα προβληματάκι δεν τα πάω καλά με τις ασκήσεις τύπου πάρε μεταβλητές και λύσε. Δεν πετάτε και κανένα προβληματάκι; Είναι πιο ωραία

Μια χαρά θα περάσεις φέτος, δηλαδή :hehe:

Τάσος97 · 2012-08-25T16:49:27+0300

Αρχική Δημοσίευση από aggresive:
Αχά. Θες πρόβλημα που να λύνεται σχηματίζοντας εξίσωση, δηλαδή?

εξισωση, συναρτηση ότιδηποτε. ΤΟ θεωρώ πιο σωστό τρόπο να μαθει ενας μαθητης κατι απο το να του λενε βρες ποσο κανει χ+1=2

Αρχική Δημοσίευση από jj!:
Μια χαρά θα περάσεις φέτος, δηλαδή

με κοροιδευεις; :hehe:

Alejandro che 7 · 2012-08-25T17:01:41+0300

Αρχική Δημοσίευση από aggresive:
Από ένα βοήθημα των Στεργίου-Νάκη.

Λοιπόν, βάζω την λύση.

Δεδομένα και ζητούμενα: ${\alpha }_{7}=9, {\alpha }_{4}+{\alpha }_{9}=16, {\alpha }_{1}=?, \omega =?$

${\alpha }_{\nu }={\alpha }_{1}+\left(\nu -1 \right)\omega \Rightarrow {\alpha }_{7}={\alpha }_{1}+\left(7 -1 \right)\omega \Rightarrow 9={\alpha }_{1}+6\omega \left(1 \right)$

${\alpha }_{\nu }={\alpha }_{1}+\left(\nu -1 \right)\omega \Rightarrow {\alpha }_{4}={\alpha }_{1}+\left(4-1 \right)\omega \Rightarrow {\alpha }_{4}={\alpha }_{1}+3\omega$
${\alpha }_{\nu }={\alpha }_{1}+\left(\nu -1 \right)\omega \Rightarrow {\alpha }_{9}={\alpha }_{1}+\left(9-1 \right)\omega \Rightarrow {\alpha }_{9}={\alpha }_{1}+8\omega$

${\alpha }_{4}+{\alpha }_{9}=16\Rightarrow \left( {\alpha }_{1}+3\omega \right)+\left( {\alpha }_{1}+8\omega\right) =16\Rightarrow 2{\alpha }_{1}+11\omega =16 \left(2 \right)$

$\left\{\begin{matrix}\left(1 \right) & \\ \left(2 \right) & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}{\alpha }_{1}+6\omega =9 & \\ 2{\alpha }_{1}+11\omega =16 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}-2{\alpha }_{1}-12\omega =-18 & \\ 2{\alpha }_{1}+11\omega =16 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}-\omega =-2 & \\ 2{\alpha }_{1}+11\omega =16 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\omega =2 & \\ 2{\alpha }_{1}+22=16 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\omega =2 & \\ 2{\alpha }_{1}=16-22\Rightarrow & \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix}\omega =2 & \\ {\alpha }_{1}=-3 & \end{matrix}\right.$

Μια εύκολη αποδεικτική:

Αν $\alpha \beta \gamma \neq 0$ και $\alpha +\beta +\gamma =\alpha \beta \gamma$ , ναο:

$\frac{\alpha +\beta }{\gamma }+\frac{\beta +\gamma }{\alpha }+\frac{\gamma +\alpha }{\beta }+3=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$

Δεν έχω δύσκολες. Μπορούν να την λύσουν και μαθητές Γ' Γυμνασίου.

λοιπόν απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας και τα δυο μέλη με αβγ, μετά την απαλοιφή αντικαθιστούμε στο δεύτερο μέλος το αβγ με α+β+γ κάνουμε τις επιμεριστικές και στα δύο μέλη και βγήκε

aggressive · 2012-08-25T17:33:12+0300

Αρχική Δημοσίευση από Alejandro che 7:
λοιπόν απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας και τα δυο μέλη με αβγ, μετά την απαλοιφή αντικαθιστούμε στο δεύτερο μέλος το αβγ με α+β+γ κάνουμε τις επιμεριστικές και στα δύο μέλη και βγήκε

Βγαίνει και έτσι, αλλά υπάρχει και άλλος τρόπος, πιο γρήγορος και πιο έξυπνος

:

Είναι: $\alpha +\beta +\gamma =\alpha \beta \gamma \Leftrightarrow \alpha +\beta =\alpha \beta \gamma -\gamma, \beta +\gamma =\alpha \beta \gamma -\alpha$ και $\gamma +\alpha =\alpha \beta \gamma -\beta$

Έτσι:

$\frac{\alpha +\beta }{\gamma }+\frac{\beta +\gamma }{\alpha }+\frac{\gamma +\alpha }{\beta }+3= \frac{\alpha \beta \gamma -\gamma }{\gamma }+\frac{\alpha \beta \gamma -\alpha }{\alpha }+\frac{\alpha \beta\gamma -\beta }{\beta }+3= \left(\alpha \beta -1 \right)+\left(\beta \gamma -1 \right)+\left(\alpha \gamma -1 \right)+3= \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$

Επομένως, καταλήξαμε στο 2ο μέλος.

ξαροπ · 2012-08-25T17:50:34+0300

1) Να δείξετε ότι ο αριθμός $a = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} + \sqrt[3]{-\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}$ είναι ρίζα της εξίσωσης $x^3 + \sqrt[3]{6}x^2 = 1$

2) Να δείξετε ότι αν οι πραγματικοί a,b,c ικανοποιούν τη σχέση $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$ , τότε για κάθε περιττό φυσικό n ισχύει $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} )^n = \frac{1}{a^n+b^n + c^n} = \frac{1}{(a+b+c)^n}$ .

(γνωστή άσκηση η 2)

Όσον αφορά τον ορισμό του δεύτερου ριζικού, κανονικά μια χαρά είναι, εφόσον μιλάμε για περιττής τάξεως ρίζα (άρα είναι ο πραγματικός αριθμός που υψωμένος στην τρίτη θα μας δώσει μείον δύο ένατα). Για κάποιο λόγο στην ελληνική βιβλιογραφία επιμένουν να διώχνουν τα αρνητικά πρόσημα από τα ριζικά. Θεωρήστε ότι $\sqrt[3]{-\frac{2}{9}} = - \sqrt[3]{|\frac{2}{9}|}$

aggressive · 2012-08-25T17:50:43+0300

Βάλτε και εσείς καμιά αποδεικτική.

Edit: Aαα οκ. Ρίζες δεν τις είδα ακόμη...

Θα τις ρίξω μια ματιά σήμερα, μάλλον...

Guest 018946 · 2012-08-25T17:52:17+0300

bro για την πρωτη , εχεις προβλημα στον ορισμο του δευτερου ριζικου

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Όσον αφορά τον ορισμό του δεύτερου ριζικού, κανονικά μια χαρά είναι, εφόσον μιλάμε για περιττής τάξεως ρίζα (άρα είναι ο πραγματικός αριθμός που υψωμένος στην τρίτη θα μας δώσει μείον δύο ένατα). Για κάποιο λόγο στην ελληνική βιβλιογραφία επιμένουν να διώχνουν τα αρνητικά πρόσημα από τα ριζικά. Θεωρήστε ότι $\sqrt[3]{-\frac{2}{9}} = - \sqrt[3]{|\frac{2}{9}|}$

Και μία εξισωση οπου αναδυκνυεται το προβλημα που αναφερεις ,

Να λύσετε στους πραγματικούς την εξίσωση:
$\displaystyle{\sqrt[3]{{7x + 1}} + \sqrt[3]{{ - x^2 + x + 8}} + \sqrt[3]{{x^2 - 8x - 1}} = 2}$

aggressive · 2012-08-25T21:12:51+0300

Από ποιο βιβλίο/site βρίσκετε τις ασκήσεις?

Alejandro che 7 · 2012-08-26T01:42:42+0300

Αρχική Δημοσίευση από aggresive:
Βγαίνει και έτσι, αλλά υπάρχει και άλλος τρόπος, πιο γρήγορος και πιο έξυπνος :

Είναι: $\alpha +\beta +\gamma =\alpha \beta \gamma \Leftrightarrow \alpha +\beta =\alpha \beta \gamma -\gamma, \beta +\gamma =\alpha \beta \gamma -\alpha$ και $\gamma +\alpha =\alpha \beta \gamma -\beta$

Έτσι:

$\frac{\alpha +\beta }{\gamma }+\frac{\beta +\gamma }{\alpha }+\frac{\gamma +\alpha }{\beta }+3= \frac{\alpha \beta \gamma -\gamma }{\gamma }+\frac{\alpha \beta \gamma -\alpha }{\alpha }+\frac{\alpha \beta\gamma -\beta }{\beta }+3= \left(\alpha \beta -1 \right)+\left(\beta \gamma -1 \right)+\left(\alpha \gamma -1 \right)+3= \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$

Επομένως, καταλήξαμε στο 2ο μέλος.

εντάξει πιο έξυπνο αλλά καθυστερείς γιατί δεν σου κάνει κατευθείαν το κλικ να εφαρμόσεις αυτό το τρικ και οι πράξεις με τον τρόπο μου δεν είναι τίποτα 3 γραμμες. Δηλαδή σε διαγώνισμα με την καμία δε θα σου ερχότανε

jj! · 2012-08-26T01:47:03+0300

Αρχική Δημοσίευση από Τάσος97:
με κοροιδευεις;

Nαι

aggressive · 2012-08-26T01:57:56+0300

Αρχική Δημοσίευση από Alejandro che 7:
εντάξει πιο έξυπνο αλλά καθυστερείς γιατί δεν σου κάνει κατευθείαν το κλικ να εφαρμόσεις αυτό το τρικ και οι πράξεις με τον τρόπο μου δεν είναι τίποτα 3 γραμμες. Δηλαδή σε διαγώνισμα με την καμία δε θα σου ερχότανε

Μπα μην το λες, αν έχεις κάνει πολύ εξάσκηση σε αποδεικτικές, μπορείς εύκολα να το σκεφτείς. Τώρα σε ένα διαγώνισμα, κάτω από την ψυχολογική πίεση της στιγμής δεν ψάχνεις για έξυπνους και γρήγορους τρόπους, άλλα προσπαθείς να λύσεις την άσκηση για να πάρεις βαθμό.

Εντάξει, τώρα έτσι για να λέμε, καλό είναι να ξέρεις 2-3 διαφορετικούς τρόπους για να λύσεις μια άσκηση.

Alejandro che 7 · 2012-08-26T02:04:56+0300

Αρχική Δημοσίευση από aggresive:
Μπα μην το λες, αν έχεις κάνει πολύ εξάσκηση σε αποδεικτικές, μπορείς εύκολα να το σκεφτείς. Τώρα σε ένα διαγώνισμα, κάτω από την ψυχολογική πίεση της στιγμής δεν ψάχνεις για έξυπνους και γρήγορους τρόπους, άλλα προσπαθείς να λύσεις την άσκηση για να πάρεις βαθμό.

Εντάξει, τώρα έτσι για να λέμε, καλό είναι να ξέρεις 2-3 διαφορετικούς τρόπους για να λύσεις μια άσκηση.

ναι είναι πολύ καλό και πρέπει να το κάνουμε. Και όντως είναι πολύ έξυπνος τρόπος αλλά το παράδειγμα της άσκησης δεν είναι πολύ καλό γιατί η άσκηση είναι πολύ απλή. Σε μια πιο σύνθετη άσκηση όπου αναγκαστικά θα έπρεπε να σκεφτείς πριν γράψεις θα έσωζε από πολύ κόπο και χρόνο.

aggressive · 2012-08-26T02:07:34+0300

Ναι, ακριβώς.

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος