Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

mic97 · 7 Μαρτίου 2013 στις 19:44

να οριστεί αναδρομικά : α(v)= 3^ν - 2

Τάσος97 · 7 Απριλίου 2013 στις 09:55

Αν έχει κανείς καμμία άσκηση πάνω στις εξίσωσεις ή ανισώσεις ας την πετάξει εδώ. Κάνω επανάληψη και θέλω καμμία άσκηση να λύσω

vimaproto · 7 Απριλίου 2013 στις 15:40

Αρχική Δημοσίευση από Xaris SSSS:
Αν οι αριθμοί a, b, c είναι διαφορετικοί ανά δυο, να δείξετε ότι το τριώνυμο:
$f(x) = (a-b)(x-a)(x-b) + (b-c)(x-b)(x-c) + (a-c)(x-a)(x-c)$

έχει 2 ρίζες

Η διακρίνουσα είναι Δ=4(α-γ)²[(α-β)²+(β-γ)²]>0 αφού α, β, γ άνισα

vimaproto · 7 Απριλίου 2013 στις 15:52

Αρχική Δημοσίευση από mic97:
να οριστεί αναδρομικά : α(v)= 3^ν - 2

Για ν=1 είναι α1=1

${\alpha }_{\nu }={3}^{\nu }-2\Rightarrow {3}^{\nu }={\alpha }_{\nu }+2\\{\alpha }_{\nu +1}={3}^{\nu +1}-2=3.{3}^{\nu}-2=3.({\alpha }_{\nu }+2)-2=3{\alpha }_{\nu }+4$

InequalityIsMe · 11 Απριλίου 2013 στις 16:44

Γεια σε όλους, θα παραθέσω και εγώ μία άσκηση πάνω στις αλγεβρικές ανισότητες.
Έστω οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,c,d\succ 0$ για τους οποίους ισχύει ότι $abcd=ab+bc+cd+ad$ . Για τους αριθμούς αυτούς να αποδείξετε ότι:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq \frac{32}{3}+\frac{32}{3ac}+\frac{32}{3bd}$
Μπορούμε ακόμα να συμπεράνουμε ότι:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq16$ ?
Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

IasonasM · 11 Απριλίου 2013 στις 18:25

Για το 1ο:

αβγδ=αβ+βγ+γδ+δα → αβγδ=(α+γ)(β+δ)
Από ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου : α+γ≥2√αγ και β+δ≥2√βδ
Άρα αβγδ ≥ 4√αβγδ → αβγδ≥16
Ισχύουν :α²+β² ≥ 2αβ, α²+γ² ≥ 2αγ, α²+δ² ≥ 2αδ, β²+γ² ≥ 2βγ, β²+δ² ≥ 2βδ, γ²+δ² ≥ 2γδ
Με πρόσθεση και διαίρεση δια 3: (α²+β²+γ²+δ²) ≥ 2/3*(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ) = 2/3*(αβγδ+αγ+βδ) = 2/3*αβγδ*(1+1/αγ + 1/βδ)
Αφού αβγδ≥16, έχουμε (α²+β²+γ²+δ²) ≥ 32/3+32/3αγ + 32/3βδ

Ασκ/
α = 111...1 (2ν ψηφία) + 111...1 (ν+1 ψηφία) + 666...6 (ν ψηφία) + 8
ΝΔ ότι ο α είναι τέλειο τετράγωνο.

InequalityIsMe · 11 Απριλίου 2013 στις 19:00

Πολύ σωστά, μένει ακόμα και το δεύτερο ερώτημα βέβαια.
Μία ακόμα:
Για τους θετικούς αριθμούς μεγαλύτερους της μονάδας $a,b,c>1$ να αποδείξετε ότι
$\frac{a}{lna+lnb}+\frac{b}{lnb+lnc}+\frac{c}{lnc+lna}\geq \frac{1}{2}+e$
όπου e ο αριθμός euler (2,71).

ξαροπ · 11 Απριλίου 2013 στις 19:20

Ναι ίσως κάτι δεν πάει καλά, πχ. για a=b=c=e (=2.71, το π ειναι το 3.14) το αριστερό μέρος βγάζει 3/2e που είναι μικρότερο από 1/2 + 3e.

InequalityIsMe · 11 Απριλίου 2013 στις 19:40

Τελικά την ετοίμασα... αριθμητικό λάθος είχε γίνει!

aggressive · 6 Ιουλίου 2013 στις 22:56

Παιδιά τι γίνεται? Νέκρωσε πάλι το θέμα...

ξαροπ · 7 Ιουλίου 2013 στις 01:01

Αν $a,b,c > 0$ και $abc = 1, a^3 > 36$

νδο. $\frac{a^2}{3} + b^2 + c^2 > ab +bc+ac$ .

ξαροπ · 30 Ιουλίου 2013 στις 12:52

Δε βλέπω κίνηση, οπότε η λύση στο spoiler:

Είναι $\frac{a^2}{3} + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{a^2}{4} + b^2 + c^2 - ab - ac + 2bc + (\frac{a^2}{12} - 3bc) =$

$= (\frac{a}{2} - b -c)^2 + \frac{a^3 - 36abc}{12a} > 0$ , καθώς $a^3 > 36 = 36abc$ .

Άλλη άσκηση:

Έστω ότι οι τρεις διαφορετικοί πραγματικοί $a,b,c$ ικανοποιούν τη σχέση $a(a^2+p) = b(b^2+p) = c(c^2 + p)$ για κατάλληλο $p \in \mathbb{R}$ . Δείξτε ότι $a+b+c = 0$ .

Zoo-doc · 8 Αυγούστου 2013 στις 14:44

Νομίζω ότι: Άν πάρουμε κάθε μια ισότητα ξεχωριστά,φέρνοντάς τα όλα στο 1ο μέλος και αναπτύσσοντας τις ταυτότητες με τους "κύβους" προκύπτει οτι α=b,b=c,a=c, (άτοπο),ή a(στο τετράγωνο)+b(στο τετράγωνο)+ab=o και ομοίως για τις άλλες ισότητες. Μετά,λύνοντας το σύστημα των 3 σχέσεων, που ισχύουν ,και επειδή οι αριθμοί a,b,c είναι διαφορετικοί,προκύπτει ότι a+b+c=0 είναι η μόνη λύση που μπορεί να ισχύει...

*ξέχασα το ρ,αν και αυτό φεύγει απο το σύστημα 3-3(απλά προστίθεται στο εξής:a(2)+ab+b(2)+ρ)
[Το (2) είναι το τετράγωνο...]

Guest 018946 · 2013-12-31T15:51:41+0200

Αρχική Δημοσίευση από Xaris SSSS:
Αν οι αριθμοί a, b, c είναι διαφορετικοί ανά δυο, να δείξετε ότι το τριώνυμο:
$f(x) = (a-b)(x-a)(x-b) + (b-c)(x-b)(x-c) + (a-c)(x-a)(x-c)$

έχει 2 ρίζες

bolzano [a,b] , [b,c] ειναι τριωνυμο οποτε ....

ω ρε πουστη τι μου θυμισατε τωρα .... σαν εχουν περασει εκατο χρονια που φτυναμε λυσεις σε αυτο το θεματακι...

vimaproto · 2014-01-28T19:25:45+0200

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Δε βλέπω κίνηση, οπότε η λύση στο spoiler:

Είναι $\frac{a^2}{3} + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{a^2}{4} + b^2 + c^2 - ab - ac + 2bc + (\frac{a^2}{12} - 3bc) =$

$= (\frac{a}{2} - b -c)^2 + \frac{a^3 - 36abc}{12a} > 0$ , καθώς $a^3 > 36 = 36abc$ .

Άλλη άσκηση:

Έστω ότι οι τρεις διαφορετικοί πραγματικοί $a,b,c$ ικανοποιούν τη σχέση $a(a^2+p) = b(b^2+p) = c(c^2 + p)$ για κατάλληλο $p \in \mathbb{R}$ . Δείξτε ότι $a+b+c = 0$ .

Από την πρώτη ισότητα α³+αρ=β³+βρ ==> α³-β³+αρ-βρ=0 ==> (α-β)(α²+αβ+β²)+(α-β)ρ=0 ==> (α-β)(α²+αβ+β²+ρ)=0 και επειδή τα α και β είναι άνισα ==> α²+αβ+β²+ρ=0
Ομοίως β²+βγ+γ²+ρ=0
Τις αφαιρώ κατά μέλη και α²-γ²+αβ-βγ=0 ==> (α+γ)(α-γ)+β(α-γ)=0 ==>(α-γ)(α+γ+β)=0 η διαφορά α-γ από την υπόθεση δεν είναι μηδέν, οπότε α+γ+β=0

rebel · 2014-09-02T16:34:53+0300

Αρχική Δημοσίευση από IasonasM:
Ασκ/
α = 111...1 (2ν ψηφία) + 111...1 (ν+1 ψηφία) + 666...6 (ν ψηφία) + 8
ΝΔ ότι ο α είναι τέλειο τετράγωνο.

Με 509 μέρες καθυστέρηση...
για $\lambda \in \mathbb{N}$ έχουμε
$\underbrace{11\ldots 1}_{\lambda\,\,\psi \eta \phi \acute{\iota} \alpha}=10^{\lambda-1}+10^{\lambda-2}+\cdots+1=\frac{10^\lambda-1}{10-1}=\frac{10^\lambda-1}{9}$
οπότε
$a=\underbrace{11\ldots 1}_{2n\,\,\psi \eta \phi \acute{\iota} \alpha}+\underbrace{11\ldots 1}_{n+1 \,\,\psi \eta \phi \acute{\iota} \alpha}+6\cdot \underbrace{11\ldots 1}_{n\,\,\psi \eta \phi \acute{\iota} \alpha}+8=$
$\frac{10^{2n}-1}{9}+\frac{10^{n+1}-1}{9}+6\frac{10^n-1}{9}+8=\frac{10^{2n}+16\cdot 10^n+64}{9}=\left(\frac{10^n+8}{3}\right)^2$

Soleado Febrero ~ · 2014-09-18T19:01:20+0300

Όποιος μπορεί να βοηθήσει

Αν το πλήθος των στοιχείων του συνόλου Ω= {1,2,3,...,ν} είναι 3ν-6, να βρείτε:
α.την τιμή του ν
β.το σύνολο Ω
γ.το σύνολο P που έχει ως στοιχεία τα υποσύνολα του Ω.

DumeNuke · 2014-09-18T19:51:34+0300

Το πρώτο στοιχείο του συνόλου Ω είναι το 1 και το τελευταίο το ν. Επίσης, τα στοιχεία είναι όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά ω=1. Αν τα στοιχεία ήταν 5 τότε: Ω={1,2,3,4,5}. Αν τα στοιχεία ήταν 7 τότε: Ω={1,2,3,4,5,6,7}. Άρα, αφού το τελευταίο στοιχείο του Ω είναι το ν, το πλήθος του είναι επίσης ν.
Όμως, η εκφώνηση μας δίνει ότι το πλήθος είναι 3ν-6.
Άρα: ν=3ν-6 <=> ν=3
Ω={1,2,3}

Το P δεν ξέρω τι στοιχεία περιέχει... :whistle:

rebel · 2014-09-20T09:34:05+0300

rebel · 2014-10-28T06:11:01+0200

Χωρίζουμε την ακολουθία των φυσικών αριθμών σε ομάδες ως εξής:

$(1),(2,3,4,5),(6,7,8,\ldots,12),(13,14,15,\ldots,22),(23,24,25,\ldots,35),\ldots$

Να βρείτε τον πρώτο όρο της νιοστής ομάδας και να αποδείξετε ότι το άθροισμα των αριθμών που περιλαμβάνονται στην νιοστή ομάδα είναι

$(3n-2)\left[(n-1)^2+\frac{n^2+1}{2}\right]$

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Νεοφερμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος