Δεν ξέρω γιατί το μπλέξατε τόσο το πρόβλημα με υπερβολικά ημίτονα και άλλα
.
Αλέξανδρε, πολύ καλή η λύση σου. Μάλιστα στα ανώτερα μαθηματικά οι βασικές συναρτήσεις συχνά ορίζονται ως λύσεις διαφορικών εξισώσεων. Παραθέτω παρακάτω μια μεθοδολογία χωρίς ανάγκη αναφοράς του βιβλίου, την οποία θεωρώ στάνταρ και την πιο φιλική σε αυτό το επίπεδο.
f''(x) = f(x) =>
f''(x)+f'(x) = f(x) +f'(x) =>
f''(x)(e^x) + f'(x)(e^x) = f(x)(e^x) +f'(x)(e^x) =>
[f'(x)(e^x)]' = [f(x)(e^x)]' =>
f'(x)(e^x) = f(x)(e^x) + c =>
Για x = 0 στην παραπάνω και δεδομένου οτι f'(0)=1 & f(0) = 0 =>
f'(0) = c => c = 1
Τελικά :
f'(x)(e^x) = f(x)(e^x) + 1
[f'(x)e^(x) - f(x)e^(x)]/(e^2x) = [e^(-2x)] =>
(f(x)/[e^(x)])' = [-0.5e^(-2x)]' =>
f(x)/[e^(x)] = -0.5e^(-2x) + c =>
f(x) = -0.5e^(-x) + ce^(x)
Και εφόσον :
f(0) = 0 => c= +0.5
Θα έχουμε :
f(x) = 0.5e^(x)- 0.5e^(-x)
Υ.Γ. Ο τρόπος του Ευκλείδη είναι valid,αλλά προσωπικά θα τον απέφευγα γιατί φαίνεται σαν να βγάζεις λαγούς απο το καπέλο εαν δεν αναφερθείς σε πιο προχωρημένες έννοιες. Ακόμα και εαν μαντέψετε δηλαδή την συνάρτηση, οφείλετε να αποδείξετε την αρχή της επαλληλίας, αλλιώς θα οδηγηθείτε σε λάθος λύση. Δηλαδή οτι εαν μια γραμμική διαφορική εξίσωση έχει λύσεις y1(x) και y2(x) ,τότε και ο γραμμικός συνδυασμός τους είναι λύση. Άρα ως γενική λύση δεχόμαστε την συνάρτηση y(x) = c1*y1(x)+ c2*y2(x) ,οπου c1,c2 σταθερές στο R. Δεν είναι κάτι δύσκολο, αλλά χωρίς το σωστό context δεν είναι τόσο εύκολο. Μάλιστα μπορεί να φαίνεται τελείως intuitive αλλά δεν είναι τόσο όσο φαίνεται.
