Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[asdfqwerty]

Aλλη μια καλη που ξεθαψα απο το χαος που επικρατει στο γραφειο μου απο φωτοτυπιες
Eστω μια συναρτηση 2 φορες παραγωγισιμη με πεδιο ορισμου το Α=[0,+οο)
f(2)=2f(1)=2f(0)=4
f"(x)>0 για καθε χ>=0
α) νδο οτι η f παρουσιαζει ενα τοπικο μεγιστο και ενα ολικο ελαχιστο
β)νδο lim(x-->2){f(2x)-4x}/(x-2)^2 = +oo
εχει και αλλα ερωτηματα ας αρχισουμε με αυτα

 

[eukleidhs1821]

α ερωτημα παρομοιο με το δ1.rolle στο [0,1] ξ (0,1) τετοιο ωστε f'(ξ)=0 επειδη η δευτερη παραγωγος θετικη η πρωτη παραγωγος γνησιως αυξουσα. x<ξ f'(x)<0 χ>ξ f'(x)>0 αρα στο στο ξ παρουσιαζει ολικο ελαχιστο.Τοπικο μεγιστο παρουσιαζει στο x=0

 

[Gadgetakias]

Να κάνουμε ένα Rolle στο [0,1] όπου προκύπτει ρίζα της f' (έστω στο ξ) και μοναδική αφού είναι γν.αύξουσα (f''>0 για κάθε x>=0).
Κάνουμε το γνωστό πινακάκι με f' και f αφού με 0<χ<ξ με f' γν.αύξουσα καταλήγουμε f'<0, ομοίως και στο x>ξ... f'>0
Έτσι βρίσκουμε τα διαστήματα μοινοτονίας της f η οποία παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ξ το f(ξ) και τοπικό μέγιστο στο 0 το f(0)=2.
Για το β ερώτημα αρκεί νδο f(2x)-4x>0, θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)-2x
g'(x)=f'(x)-2
Από ΘΜΤ στην f στο [1,2]... f'(xo)=2 άρα g'(xo)=0 ενώ g''=f''>0 δηλαδή g' γν.αύξουσα!
Πινακάκι... και παρατηρούμε ότι κοντά στο 2 η g είναι γν.αύξουσα
Με 1<χ<2 => 2<2χ<4 και με g γν.αύξουσα προκύπτει g(2x)>g(2)=0 δηλαδή f(2x)-4x>0.

 

[Gadgetakias]

Να κάνουμε ένα Rolle στο [0,1] όπου προκύπτει ρίζα της f' (έστω στο ξ) και μοναδική αφού είναι γν.αύξουσα (f''>0 για κάθε x>=0).
Κάνουμε το γνωστό πινακάκι με f' και f αφού με 0<χ<ξ με f' γν.αύξουσα καταλήγουμε f'<0, ομοίως και στο x>ξ... f'>0
Έτσι βρίσκουμε τα διαστήματα μοινοτονίας της f η οποία παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ξ το f(ξ) και τοπικό μέγιστο στο 0 το f(0)=2.
Για το β ερώτημα αρκεί νδο f(2x)-4x>0, θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)-2x
g'(x)=f'(x)-2
Από ΘΜΤ στην f στο [1,2]... f'(xo)=2 άρα g'(xo)=0 ενώ g''=f''>0 δηλαδή g' γν.αύξουσα!
Πινακάκι... και παρατηρούμε ότι κοντά στο 2 η g είναι γν.αύξουσα
Με 1<χ<2 => 2<2χ<4 και με g γν.αύξουσα προκύπτει g(2x)>g(2)=0 δηλαδή f(2x)-4x>0.

Ομοίως και αν χ>2>1 => 2χ>2....
Υ.Γ Πώς γίνεται να γράφω σε latex;

 

[asdfqwerty]

Ομοίως και αν χ>2>1 => 2χ>2....
Υ.Γ Πώς γίνεται να γράφω σε latex;

για το 2ο μια αλλη λυση
το οριο ισουται με (f(4)-8)/0 με 0 θετικο
αρα αρκει νδο f(4)-8>0
f(4)-4>4
f(4)-f(2)>4
(f(4)-f(2))/2>2
θμτ στο [2,4] υπαρχει θ2 που ανηκει στο (2,4) τετοιο ωστε :f'(θ2)=(f(4)-f(2))/2
θμτ στο [1,2] υπαρχει θ1 που ανηκει στο (1,2)τετοιο ωστε : f'(θ1)=(f(2)-f(1))/2-1= 4-2=2
θ1<θ2 (f' γνησιως αυξουσα και προκυπτει το παραπανω)

 

[asdfqwerty]

γ) να δο υπαρχει μοναδικη εφαπτομενη της CF τετοια ωστε να περναει απο την αρχη 0
δ) εστω Α(β,f(β)) το σημειο στο οποιο η cf δεχεται την παραπανω εφαπτομενη
i) να βρεθει lim (x-->+oo)f(x)

 

[Μάρκος Βασίλης]

Νομίζω η υπόθεση f''(x)>0 δε χρειάζεται. Αρκεί να υποτεθεί ότι η f είναι κυρτή - με το μάτι το λέω αυτό, βέβαια.

 

[Gadgetakias]

Έστω Α(β, f(β)) το σημείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτομένης θα είναι y-f(β)=f'(β)(x-β) και επειδή διέρχεται από το Ο(0,0) προκύπτει η εξίσωση f(β)=βf'(β). Αν β=0.. άτοπο.
Οπότε με β≠0 ισοδύναμα προκύπτει διαιρώντας με β^2 η νέα εξίσωση (f(β):β)'=0
Έστω Ω(x)=f(x):x, x>0
Ω(1)=Ω(2)=2 και από Θ.Rolle υπάρχει β θετικό τέτοιο ώστε Ω'(β)=0 => (f(β):β)'=0...
Παραπάνω έχουμε δείξει ότι για κάθε χ>1 άρα και κοντά στο +οο ισχύει f(x)>2x
Οπότε με το 2χ να τείνει στο +οο όταν το χ τείνει στο +οο από γνωστή θεωρία του σχ.βιβλίου και το όριο της f στο +οο θα είναι +οο.

 

[asdfqwerty]

Έστω Α(β, f(β)) το σημείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτομένης θα είναι y-f(β)=f'(β)(x-β) και επειδή διέρχεται από το Ο(0,0) προκύπτει η εξίσωση f(β)=βf'(β). Αν β=0.. άτοπο.
Οπότε με β≠0 ισοδύναμα προκύπτει διαιρώντας με β^2 η νέα εξίσωση (f(β):β)'=0
Έστω Ω(x)=f(x):x, x>0
Ω(1)=Ω(2)=2 και από Θ.Rolle υπάρχει β θετικό τέτοιο ώστε Ω'(β)=0 => (f(β):β)'=0...
Παραπάνω έχουμε δείξει ότι για κάθε χ>1 άρα και κοντά στο +οο ισχύει f(x)>2x
Οπότε με το 2χ να τείνει στο +οο όταν το χ τείνει στο +οο από γνωστή θεωρία του σχ.βιβλίου και το όριο της f στο +οο θα είναι +οο.

η μοναδικοτητα ?

 

[Gadgetakias]

Η μοναδικότητα τίνος; Του σημείου;

 

[asdfqwerty]

Η μοναδικότητα τίνος; Του σημείου;

οτι δεν υπαρχει αλλη εφαπτομενη που διερχεται απο την αρχη Ο

Η μοναδικότητα τίνος; Του σημείου;

μοναδικη εφαπτομενη που διερχεται απο την αρχη των αξονων δλδ η εξισωση σου να εχει μοναδικη ριζα ; )

 

[Gadgetakias]

Από τη λύση της παραπάνω εξίσωσης νομίζω πως προκύπτει σημείο...
Ωστόσο για να απαντήσω στο ερώτημα, η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf θα είναι της μορφής y=αx (αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων) με f'(β)=α.
Η f' όμως είναι γν.αύξουσα (f">0) και το α μοναδικό! Επομένως μοναδική θα είναι και η εφαπτομένη!!!

 

[asdfqwerty]

Από τη λύση της παραπάνω εξίσωσης νομίζω πως προκύπτει σημείο...
Ωστόσο για να απαντήσω στο ερώτημα, η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf θα είναι της μορφής y=αx (αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων) με f'(β)=α.
Η f' όμως είναι γν.αύξουσα (f">0) και το α μοναδικό! Επομένως μοναδική θα είναι και η εφαπτομένη!!!

το οριο μπορει να βγει και ετσι
f κυρτη αρα f(x)>=f'(b)x
b€(1,2)=> f'(b)>0 αρα το οριο της δεξιας συναρτησης στο +oo ειναι +οο αρα και της f

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 29 Ιουλίου 2020

συνεχεια στην ασκηση :
νδο

οπου b η τετμημενη του σημείου της Cf
που δεχεται εφαπτομενη

 

[Gadgetakias]

Με την f κυρτή από 0 έως β θα ισχύει f(x)>f'(β)χ και με ολοκλήρωση της ανίσωσης ισχύει ολοκλήρωμα της f από 0 έως β μεγαλύτερο από ολοκλήρωμα της f'(β)χ από 0-β που ισούται με f'(β)β^2/2.
Όμως από τη σχέση f(β)=βf'(β) προκύπτει τελικά ότι το ολοκλήρωμα της f από 0-β είναι μεγαλύτερο του f(β)β/2.
Αρκεί νδο f(β)β/2>1.
Πράγματι με 1<β<2 => 1/2<β/2<1 (1)
και 1<β<2 με f γν.αύξουσα προκύπτει 2<f(β)<4 (2)
Επομένως από (1), (2) καταλήγουμε στο 1<βf(β)/2<4.
Υ.Γ Πως γίνεται να βάζω μαθηματικά σύμβολα;

 

[asdfqwerty]

Με την f κυρτή από 0 έως β θα ισχύει f(x)>f'(β)χ και με ολοκλήρωση της ανίσωσης ισχύει ολοκλήρωμα της f από 0 έως β μεγαλύτερο από ολοκλήρωμα της f'(β)χ από 0-β που ισούται με f'(β)β^2/2.
Όμως από τη σχέση f(β)=βf'(β) προκύπτει τελικά ότι το ολοκλήρωμα της f από 0-β είναι μεγαλύτερο του f(β)β/2.
Αρκεί νδο f(β)β/2>1.
Πράγματι με 1<β<2 => 1/2<β/2<1 (1)
και 1<β<2 με f γν.αύξουσα προκύπτει 2<f(β)<4 (2)
Επομένως από (1), (2) καταλήγουμε στο 1<βf(β)/2<4.
Υ.Γ Πως γίνεται να βάζω μαθηματικά σύμβολα;

δεν νομιζω να υπαρχει εδω περα αμεση γραφη λατεξ οπως πχ στο mathematica

ΕΣΤΩ f δυο φορες παραγωγισιμη
f'(x)<>2x για καθε χ ανηκει στο R
f(0)=-2
f'(1)= 1
A) NΔΟ ΥΠΑΡΧΕΙ Χο στο (0,1) τετοιο ωστε f'(xo)=0
β)νδο υπαρχει ξ στο (-οο,0) τετοιο ωστε f(ξ)=0
γ) νδο για καθε α,β ανηκουν στο R με α<β υπαρχει χ1 στο (α,β) τετοιο ωστε f'(x1)<α+β

 

[Μάρκος Βασίλης]

ΕΣΤΩ f δυο φορες παραγωγισιμη
f'(x)<>2x για καθε χ ανηκει στο R
f(0)=-2
f'(1)= 1
A) NΔΟ ΥΠΑΡΧΕΙ Χο στο (0,1) τετοιο ωστε f'(xo)=0
β)νδο υπαρχει ξ στο (-οο,0) τετοιο ωστε f(ξ)=0
γ) νδο για καθε α,β ανηκουν στο R με α<β υπαρχει χ1 στο (α,β) τετοιο ωστε f'(x1)<α+β

Μία γενική παρατήρηση. Η συνάρτηση

δεν έχει ρίζες και είναι συνεχής - αφού η f' είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής - επομένως διατηρεί πρόσημο. Επειδή g'(1)=-1 έπεται ότι g(x)<0, άρα f(x)<2x. Τώρα:

α) Έχουμε f'(0)<0 και f'(1)=1>0 επομένως από το θεώρημα του Bolzano έπεται το ζητούμενο.

β) Για κάθε x έχουμε f'(x)<2x και, ειδικότερα, αν t<0, ολοκληρώνοντας στο [t,0] - αφού και στα δύο μέλη εμφανίζονται ολοκληρώσιμες συναρτήσεις, παίρνουμε:

Ειδικότερα, για t=-2 έχουμε f(-2)>2>0, άρα και πάλι από θεώρημα Bolzano (αφού f(0)=-2<0) έπεται το ζητούμενο - μπορούμε μάλιστα να «στενέψουμε» το διάστημα και τα δείξουμε ότι

).

γ) Σταθεροποιούμε α,β με α<β. Έχουμε f'(α)<2α=α+α<α+β, επομένως, αφού η f' είναι συνεχής, η ανισότητα f'(x)<2α θα ισχύει για x κοντά στο α και εκατέρωθέν του, άρα θα υπάρχει κάποιο ρ στο (α,β) τέτοιο ώστε f'(ρ)<2α.

Παρατηρήσεις:

1. Το τελευταίο είναι επιχείρημα εντός ύλης που προκύπτει από παρατήρηση του σχολικού βιβλίου.
2. Δε χρειάζεται η f να είναι δις παραγωγίσιμη. Αρκεί να είναι μία φορά συνεχώς παραγωγίσιμη.

 

[Μάρκος Βασίλης]

Λίγες λυμένες ασκήσεις και παραδείγματα στα μαθηματικά προσανατολισμού (στα συνημμένα). Περισσότερα σχετικά, εδώ.

Το καλοκαίρι μου μας πέρασε (σχεδόν) είχα έναν οίστρο, οπότε θα δείτε κατά καιρούς διάφορες δημοσιεύσεις μέσα στη σαιζόν. :Ρ

 

[Μάρκος Βασίλης]

Σε συνέχεια του προηγούμενου, λίγα λυμένα παραδείγματα στην ενότητα των ορίων. Για περισσότερα, εδώ.

 

[eukleidhs1821]

Σε συνέχεια του προηγούμενου, λίγα λυμένα παραδείγματα στην ενότητα των ορίων. Για περισσότερα, εδώ.

ωραιες σημειωσεις μαρκο.ποσο καιρο σου πηρε να τις γραψεις?

 

[Μάρκος Βασίλης]

ωραιες σημειωσεις μαρκο.ποσο καιρο σου πηρε να τις γραψεις?

Κοίτα, το περισσότερο κείμενο (για την Γ' λυκείου) είναι γραμμένο - είχα ξεκινήσει δειλά-δειλά από τον Ιούνη του 2017. Τώρα γίνονται διορθώσεις, προσθήκες και, κυρίως, φτιάχνω λίγο το layout κ.λπ., γιατί δε μου άρεσε το default του LaTeX.