Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

eyb0ss · 2015-01-20T00:21:57+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μήπως δίνει πχ το $f'(-1)$ ή κάποια άλλη τιμή της $f'$ ;

Fixed. Συγνώμη αν ταλαιπώρησα κανέναν.
Για να το ρωτάς αυτό θα το έχεις σχεδόν λύσει. Πόση ώρα σου πήρε;

rebel · 2015-01-20T00:50:06+0200

Δεν ξέρω κανένα τέταρτο ίσως μέχρι να σιγουρευτώ για την παράγουσα στο α. Με το β δεν ασχολήθηκα ακόμα. Ας προσπαθήσουν και οι μικρότεροι. Και μετά άμα είναι θα βάλω μία υπαρξιακή, ζόρικη κατά την γνώμη μου.

Filippos14 · 2015-01-20T03:56:19+0200

Το πρώτο βγαίνει αν πάρεις ολοκλήρωμα 2 φορές(αφού πρώτα /χ.) και έτσι "χάνει" το ενδιαφέρον της.Μήπως θέλει λύση μόνο με συνέπειες ΘΜΤ?
Το βιβλίο(η το σχολικό η το βοήθημα που είχα παλιά) είχε αυτόν τον τύπο

Με διπλή εφαρμογή του έχουμε την f.

eyb0ss · 2015-01-20T15:59:41+0200

Αρχική Δημοσίευση από Filippos14:
Το πρώτο βγαίνει αν πάρεις ολοκλήρωμα 2 φορές(αφού πρώτα /χ.) και έτσι "χάνει" το ενδιαφέρον της.Μήπως θέλει λύση μόνο με συνέπειες ΘΜΤ?
Το βιβλίο(η το σχολικό η το βοήθημα που είχα παλιά) είχε αυτόν τον τύπο

Με διπλή εφαρμογή του έχουμε την f.

Το κακό σε αυτήν την προσέγγιση είναι ότι μπλέκεται η αντιπαράγωγος της $e^{\frac{1}{x}}$ η οποία δεν είναι στοιχειώδης. Η άσκηση δεν χρειάζεται ολοκληρώματα, αόριστα και μη. (Αν και τεχνικά η συνέπεια του ΘΜΤ προκύπτει από ολοκλήρωση). Ή αυτό ή ήταν πολύ γενική η πρότασή σου και δεν την κατάλαβα. Καλό θα ήταν να μην χρησιμοποιηθούν θεωρήματα εκτός ύλης (όχι ότι ο τύπος ήταν εκτός).

Ξαναβάζω την άσκηση επειδή είχα την ατυχία να ξεμείνει στην προηγούμενη σελίδα:
Η $f$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}^*$ με $-f'(1)-1=f(1)=\frac{1}{f(-1)-2}=e$ , $f'(-1)=-e^{-1}-1$ και για κάθε $x\neq 0$ ισχύει $x^4f''(x)=2xe^{\frac{1}{x}}+e^{\frac{1}{x}}$ .

α)Να βρεθεί ο τύπος της $f$
β)Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της $C_f$ και να υπολογιστεί το όριο $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x^2+\eta \mu x}$

Filippos14 · 2015-01-20T18:20:43+0200

Αρχική Δημοσίευση από mathguy1996:
Το κακό σε αυτήν την προσέγγιση είναι ότι μπλέκεται η αντιπαράγωγος της $e^{\frac{1}{x}}$ η οποία δεν είναι στοιχειώδης. Η άσκηση δεν χρειάζεται ολοκληρώματα, αόριστα και μη. (Αν και τεχνικά η συνέπεια του ΘΜΤ προκύπτει από ολοκλήρωση). Ή αυτό ή ήταν πολύ γενική η πρότασή σου και δεν την κατάλαβα. Καλό θα ήταν να μην χρησιμοποιηθούν θεωρήματα εκτός ύλης (όχι ότι ο τύπος ήταν εκτός).

Ξαναβάζω την άσκηση επειδή είχα την ατυχία να ξεμείνει στην προηγούμενη σελίδα:
Η $f$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}^*$ με $-f'(1)-1=f(1)=\frac{1}{f(-1)-2}=e$ , $f'(-1)=-e^{-1}-1$ και για κάθε $x\neq 0$ ισχύει $x^4f''(x)=2xe^{\frac{1}{x}}+e^{\frac{1}{x}}$ .

α)Να βρεθεί ο τύπος της $f$
β)Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της $C_f$ και να υπολογιστεί το όριο $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x^2+\eta \mu x}$

Τα ολοκληρώματα που εμφανίζονται είναι της μορφής e^(1/x)/P(x)(αφού διαιρέσεις πρώτα με χ^4) τα οποία υπολογίζονται με τις γνωστές μεθόδους της γ λυκείου και βρίσκεις την f.

eyb0ss · 2015-01-20T18:22:41+0200

Αρχική Δημοσίευση από Filippos14:
Τα ολοκληρώματα που εμφανίζονται είναι της μορφής e^(1/x)/P(x)(αφού διαιρέσεις πρώτα με χ^4) τα οποία υπολογίζονται με τις γνωστές μεθόδους της γ λυκείου και βρίσκεις την f.

Οκ τότε, απλά είπες ότι διαιρούσες με $x$ πριν, γι'αυτό.
Βέβαια θέλει προσοχή διότι έχουμε δυο διαστήματα οπότε εφαρμόζουμε ελαφρώς διαφορετικά τη συνέπεια ΘΜΤ.

rebel · 2015-01-21T13:08:37+0200

Έστω συνάρτηση $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ συνεχής στο $[a,b]$ και παραγωγίσιμη στο $(a,b)$ με $f(a)=f(b)=0$ .Δείξτε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2 \in (a,b)$ διαφορετικά μεταξύ τους, ώστε $f'(\xi_1)f'(\xi_2)+f(\xi_1)f(\xi_2)=0$ .

Υπόδειξη:

Αρκεί να δείξετε ότι υπάρχει $\xi_1 \in (a,b)$ με $f'(\xi_1)=f(\xi_1)$ και $\xi_2 \in (a,b)$ με $f'(\xi_2)=-f(\xi_2)$ . Βέβαια δεν έχουμε τελειώσει: πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι $\xi_1 \neq \xi_2$ .

xristospr · 5 Ιουνίου 2018 στις 20:53

επεξεργασμένο-δημοσιευμένο στο Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Agnwsth · 2018-10-22T15:56:05+0300

Έστω συνεχής f:R->R με f (R)=R. Η f γνησίως αύξουσα στο R και ισχύει : f(f (x))=x , για κάθε πραγματικό χ.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=x έχει μια τουλάχιστον λύση στο R.

Μια άσκηση που μου άρεσε , και σκέφτηκα να την μοιραστώ.

Jim_Pap · 2018-10-22T23:17:49+0300

Αρχική Δημοσίευση από Agnwsth:
Έστω συνεχής f:R->R με f (R)=R. Η f γνησίως αύξουσα στο R και ισχύει : f(f (x))=x , για κάθε πραγματικό χ.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=x έχει μια τουλάχιστον λύση στο R.

Μια άσκηση που μου άρεσε , και σκέφτηκα να την μοιραστώ.

Μπορεις να γραψεις αν μπορεις την λυση;
Εγω σκεφτηκα να αντικαταστησουμε το x κατω και αφου αυξουσα ειναι και 1-1 και συνεχιζουμε...

Agnwsth · 2018-10-23T15:20:09+0300

Έστω h (x) =f (x)-x, x πραγματικός.
Η h συνεχής ως πράξεις συνεχών.
Έστω ότι h (x)><0 για κάθε πραγματικό χ.
Τότε ,θα διατηρεί πρόσημο στο R.
Έστω ότι h (x) >0 για κάθε πραγματικό χ.
Τότε f(x)>x ή f (x)>f (f (x)) ή x>f (x) ( η f γνησίως αύξουσα.) Άτοπο.
Έστω ότι h (x) <0 για κάθε πραγματικό χ.
Τότε f(x)<x ή f (x)<f (f (x)) ή x <f (x) ( η f γνησίως αύξουσα.) Άτοπο. Άρα η h δεν διατηρεί πρόσημο στο R, και αφού είναι συνεχής,θα έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο R. Άρα και η εξίσωση f (x)=x θα έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R.

Ελπίζω να είναι κατανοητή έτσι όπως την έγραψα.

Samael · 2018-10-23T18:03:23+0300

Αρχική Δημοσίευση από Agnwsth:
Έστω h (x) =f (x)-x, x πραγματικός.
Η h συνεχής ως πράξεις συνεχών.
Έστω ότι h (x)><0 για κάθε πραγματικό χ.
Τότε ,θα διατηρεί πρόσημο στο R.
Έστω ότι h (x) >0 για κάθε πραγματικό χ.
Τότε f(x)>x ή f (x)>f (f (x)) ή x>f (x) ( η f γνησίως αύξουσα.) Άτοπο.
Έστω ότι h (x) <0 για κάθε πραγματικό χ.
Τότε f(x)<x ή f (x)<f (f (x)) ή x <f (x) ( η f γνησίως αύξουσα.) Άτοπο. Άρα η h δεν διατηρεί πρόσημο στο R, και αφού είναι συνεχής,θα έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο R. Άρα και η εξίσωση f (x)=x θα έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R.

Ελπίζω να είναι κατανοητή έτσι όπως την έγραψα.

Αναρωτιεμαι εαν θα ηταν μια επισης αποδεκτη λυση η εξης :

Ισχυει οτι :

f(f(1))=1
f(f(-1))=-1

Εστω :

f(1)=ρ1
f(-1)=ρ2 .

Επειδη : f(R)=R και η f ειναι γνησιως αυξουσα,θα υπαρχουν
x1,x2 E R τετοια ωστε x1=ρ1 και x2=ρ2.

Αρα υπαρχουν x1 και x2 Ε Df=R τετοια ωστε :

f(x1) = 1
f(x2) = -1

Επειδη
1.H f ειναι συνεχης στο πεδιο ορισμου της και
2.f(x1)f(x2)<0

Απο το θεωρημα του Bolzano υπαρχει τουλαχιστον ενα x1<xo<x2 τετοιο ωστε f(xo) = 0 . Αρα η f εχει τουλαχιστον μια ριζα στο πεδιο ορισμου της.

ΥΓ. Οπως ειναι φανερο η συναρτηση της οποιας η αντιστροφη ισουται με την ιδια δεν ειναι αλλη απο την x(με αυτο το πεδιο ορισμου τουλαχιστον).Οποτε μπορουμε να παρουμε οποιες τιμες θελουμε αρκει να ειναι μια θετικη και μια αρνητικη για να μας βγει το Bolzano.

Agnwsth · 2018-10-24T16:29:56+0300

Σάμαελ, εμένα σωστή μου φαίνεται. Λύστε την ίδια άσκηση χωρίς να γνωρίζετε για την μονοτονία :happy:

Agnwsth · 2018-10-25T11:59:36+0300

Και μία λύση χωρίς την μονοτονία.

Έστω ότι f(x)<>x, για κάθε πραγματικό χ.
Έστω h(x) = f (x)-x, χ πραγματικός.
Αφού f(R)=R, ισχύει ότι για κάθε χεR, το f(x)εR.
Έστω χ1εR. Τότε f (x1)εR.
Η h συνεχής ως πράξεις συνεχών.
h (x1)=f(x1)-x1
h (f (x1))=f (f (x1))-f(x1)=x1-f (x1)=-(f(x1)-x1)
Άρα, h (x1)*h (f (x1))<0. Από θεώρημα Bolzano, η h (x)=0 θα έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο R. Άρα και η f (x)=x θα έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R.

Agnwsth · 2018-10-30T16:09:00+0200

Να βρείτε το σύνολο τιμών της f (x)=3x+ημχ

Agnwsth · 2018-10-31T15:15:25+0200

Αν [f(x)]^2 + [g (x)]^2 <=2xf (x)-2g(x)-1 για κάθε πραγματικό χ, να βρείτε τα όρια των f(x) , g(x) καθώς το x τείνει στο 0.

Agnwsth · 2018-11-10T00:43:54+0200

Έστω f:R->R και (x^2-2x+1)f(x)<=e^x-3 για κάθε πραγματικό χ. Να βρείτε το όριο της f(x) καθώς το χ τείνει στο 1.

Agnwsth · 2018-12-01T12:26:59+0200

Καλησπέρα και καλό Σ/Κ. Ανεβάζω μερικές ασκήσεις που μου άρεσαν/δυσκόλεψαν/δεν τις είχα ξαναδεί. (Η άσκηση 6 στο κεφάλαιο των συναρτήσεων) . Have fun. :happy:

Agnwsth · 2019-02-12T21:12:20+0200

Καλησπέρα. Κάποιες ασκήσεις που είδα πρώτη φορά /με δυσκόλεψαν / είχαν κάποιο ενδιαφέρον. Have fun.

Agnwsth · 2019-02-15T22:49:46+0200

Έστω f:R->R , παραγωγίσιμη , γνησίως άυξουσα και κυρτή στο R. Να βρεθεί το όριο το lim f(x)
x->+oo

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος