Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Mr.Blonde · 17 Μαΐου 2012 στις 22:18

Ας βαλω ενα τελευταιο παλουκι πριν τις πανελληνιες.Η συγκεκριμενη ασκηση ξεφευγει λιγο αλλα αξιζει να δουμε την λυση.
Εστω συναρτηση παραγωγισιμη $f: (0,\frac{1}{{e}^{2}})\bigcup (\frac{1}{{e}^{2} },+\propto )\rightarrow R$
Αν $2xf'(x)+{f}^{2}(x)=0$ και $f(\frac{1}{{e}^{3}})=-1$ $f(1)=1$
Να βρειτε την f.

drosos · 17 Μαΐου 2012 στις 22:28

Αρχική Δημοσίευση από stelios1994-4:
ΑΣΚΗΣΗ Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ${e}^{\left|z+3i \right|x}\geq 2\left|z \right|x+1+\int_{0}^{{x}^{2}}f(t)dt$ για κάθε $x\in R$ $z\in C$ και $g:R\rightarrow R$ για την οποία $g(x)=x-ln({e}^{x}+\left|w \right|)$ με $Im(w)=1$ $w \in C$

Να βρείτε το $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)$

Να αποδείξετε ότι: $\frac{\left|w \right|}{{e}^{x+1}+\left|w \right|}<g\left(x+1 \right)-g\left(x \right)<\frac{\left|w \right|}{{e}^{x}+\left|w \right|}$ για κάθε $x\in R$

Να δείξετε ότι: $\left|z+3i \right|=2\left|z \right|$ (1)

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν την (1)

Να αποδείξετε ότι: $f(0)\leq 18$

Αρκετά καλή.

1,2,3.. ΠΑΜΕ!
$\lim_{x\rightarrow \ +\infty}x-ln({e}^{x}+\left|w \right|)=\lim_{x\rightarrow \ +\infty}ln(e^x)-ln({e}^{x}+\left|w \right|)=\lim_{x\rightarrow \ +\infty}ln\frac {e^x}{({e}^{x}+\left|w \right|)}=0$
Αφου η παρενθεση κανει 1 στο απειρο.
Κλασσικα ΘΜΤ στο [x,x+1] η g'' αρνητικη οποτε g' φθινουσα, χ<ξ<χ+1 περναμε g' και κανοντας πραξεις βγαινει.
Εφαρμοζοντας θεωρημα φερματ βγαινει ευκολα το τριτο
Κανοντας πραξεις στην απο πανω σχεση βγαινει κυκλος με κ(0,1) κ ρ=2
Το τελευταιο το επεξεργαζομαι..

Χαρουλιτα · 17 Μαΐου 2012 στις 22:28

Mr.Blonde

Mπορεις να μου δωσεις αποτελεσμα να δω αν ειναι σωστη???

drosos · 17 Μαΐου 2012 στις 22:52

Βαζω σε spoiler την συναρτηση που βρηκα

$f(x)=\frac{1}{ln\sqrt{x}+\frac{1}{2}}$ , $x<\frac{1}{e^2}$
$f(x)=\frac{1}{ln\sqrt{x}+1}$ , $x>\frac{1}{e^2}$

Χαρουλιτα · 17 Μαΐου 2012 στις 22:59

Εγω βρηκα αλλη, αλλα ειναι περιπλοκη και δεν ξερω να γραφω σε latex
Αν μου πει οτι ειναι αυτη, θα την ανεβασω οπως μπορω!

Καλα, εγω παω για υπνο και αν ειναι την ανεβαζω αυριο! Εγω εχω βγαλει με e μεσα και αλλα μαζι..

Guest 278211 · 17 Μαΐου 2012 στις 23:09

$f(x)=\frac{2}{lnx+1} , x\epsilon (0,\frac{1}{{e}^{2}})$
$f(x)=\frac{2}{lnx+2} , x\epsilon (\frac{1}{{e}^{2}},+\propto )$

αυτή τη συνάρτηση βρήκα! :hmm:

edit: πρόσεξα πως η συνάρτηση αυτή είναι ίδια με του drosos

StratosRIP · 17 Μαΐου 2012 στις 23:52

Αρχική Δημοσίευση από Mr.Blonde:
Ας βαλω ενα τελευταιο παλουκι πριν τις πανελληνιες.Η συγκεκριμενη ασκηση ξεφευγει λιγο αλλα αξιζει να δουμε την λυση.
Εστω συναρτηση παραγωγισιμη $f: (0,\frac{1}{{e}^{2}})\bigcup (\frac{1}{{e}^{2} },+\propto )\rightarrow R$
Αν $2xf'(x)+{f}^{2}(x)=0$ και $f(\frac{1}{{e}^{3}})=-1$ $f(1)=1$
Να βρειτε την f.

Aρχικα διαιρουμε με το f^2(x) και στην συνεχεια πολλαπλασιαζουμε με e^-2/f^2(x) ετσι προκυπτει 2xf'(x).e^-2/f^2(x) + e^-2/f^2(x)=0 με λιγη παρατηρηση εχουμε (e^-2/f^2(x).x)'=0 και επειδη το Π.Ο ειναι συνολο χωριζουμε σε δυο διαστηματα με c1 και c2... Μου προεκυψε η ιδια συναρτηση που εγραψε παραπανω ο spy...(σορρυ που τα γραφω ετσι αλλα δεν ξερω απο λατεξ)

Mr.Blonde · 18 Μαΐου 2012 στις 01:01

Oλη η ασκηση ειναι η δικαιολογηση της διαιρεσης με το f^2(x).
Aν θελετε γραψτε,πως το δικαιολογησατε λιγο αναλυτικα.

drosos · 28 Μαΐου 2012 στις 23:02

Αντε απο του χρονου που θα ειμαστε φοιτητες θα δινουμε ασκησεις στα παιδια που θα γραφουν τα 2013

Guest 018946 · 28 Μαΐου 2012 στις 23:18

Και το 2014 ...

drosos · 28 Μαΐου 2012 στις 23:29

Για σενα doctora Tase τις καλυτερες

Guest 018946 · 28 Μαΐου 2012 στις 23:31

Εγω εδωκα τοσες σωστες προβλεψεις αδικο θα ηταν να μην μου δινατε καλες ασκησεις ,

Demlogic · 29 Ιουνίου 2012 στις 23:16

Ελα να ξεκινησουμε πουλακια μου.

κατι ευκολο για αρχη

δεδομενα:
$z,w\epsilon C , |z|<1 , |w|<1$
ζητουμενα:

δειξτε οτι
|z-w|<|1-zw|

οπου z ο συζηγης του z (δε ξερω πως συμβολιζεται)

Guest 018946 · 29 Ιουνίου 2012 στις 23:25

Να τος \bar{z}

ξαροπ · 2 Ιουλίου 2012 στις 15:41

Δείξτε ότι:

α) $(2+\sqrt{5}i)^7 + (2-\sqrt{5}i)^7 \in \mathbb{R}$

β) $(\frac{19+7i}{9-i})^n + (\frac{20+5i}{7+6i})^n \in \mathbb{R}$ (ν φυσικός)

dimitris001 · 6 Ιουλίου 2012 στις 21:06

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Δείξτε ότι:

α) $(2+\sqrt{5}i)^7 + (2-\sqrt{5}i)^7 \in \mathbb{R}$

β) $(\frac{19+7i}{9-i})^n + (\frac{20+5i}{7+6i})^n \in \mathbb{R}$ (ν φυσικός)

α) Έστω $z={(2+\sqrt{5}i)}^{7}$ και $\bar{z}={(2-\sqrt{5}i)}^{7}$
άρα η σχέση γράφετε... $z+\bar{z}=2Re(z)\in R$

β) πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας τη σχέση $(\frac{19+7i}{9-i})^n$ με το (9+i).......έχουμε: ${ (2+i)}^{n}$
ομοίως πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας τη σχέση $(\frac{20+5i}{7+6i})^n$ με το (7-6i).....έχουμε: ${(2-i)}^{n}$
άρα αν $w={(2+i)}^{n}$ τότε $\bar{w}={(2-i)}^{n}$ ....οπότε... $w+\bar{w}=2Re(w)\in R$

nick18 · 6 Ιουλίου 2012 στις 21:52

Αρχική Δημοσίευση από dimitris001:
α) Έστω $z={(2+\sqrt{5}i)}^{7}$ και $\bar{z}={(2-\sqrt{5}i)}^{7}$
άρα η σχέση γράφετε... $z+\bar{z}=2Re(z)\in R$

β) πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας τη σχέση $(\frac{19+7i}{9-i})^n$ με το (9+i).......έχουμε: ${ (2+i)}^{n}$
ομοίως πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας τη σχέση $(\frac{20+5i}{7+6i})^n$ με το (7-6i).....έχουμε: ${(2-i)}^{n}$
άρα αν $w={(2+i)}^{n}$ τότε $\bar{w}={(2-i)}^{n}$ ....οπότε... $w+\bar{w}=2Re(w)\in R$

πολυ σωστα. μπραβο!! που τα θυμασε ακομη

ξαροπ · 15 Ιουλίου 2012 στις 17:20

Αν $z \in \mathbb{C*}$ ώστε $|z^3 + \frac{1}{z^3}| \leq 2$ , δείξτε ότι $|z + \frac{1}{z}| \leq 2$ .

ΥΓ. Η προηγούμενη άσκηση βασίζεται ουσιαστικά στην ισοδυναμία $z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \bar{z}$ , που εμμέσως έδειξε ο δημήτρης.

rebel · 15 Ιουλίου 2012 στις 18:06

Την έχουμε συζητήσει λίγο παλιότερα https://ischool.e-steki.gr/showthread.php?p=2480331#post2480331
Παρ' όλα αυτά αξίζει την προσπάθεια.
https://ischool.e-steki.gr/showthread.php?p=2480331#post2480331

Keratz · 15 Ιουλίου 2012 στις 22:19

Αρκετες ασκησεις τις βλεπω λιγο ανεβασμενες.Μην τρελαινεστε!Δε ζητανε και ΤΡΕΛΑ πραγματα στις εξετασεις τουλαχιστον μιγαδικους...να χρησιμοποιειτε ομως ΠΟΛΥ την γεωμετρια οπου μπορειτε!!Το φετινο θεμα το εβγαλα σε 10 λεπτα λογω της γεωμετριας..

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος