Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Mr.Blonde · 16 Μαΐου 2012 στις 20:06

Συν απειρο βγαινει η χανω κατι;

antwwwnis · 16 Μαΐου 2012 στις 20:11

Η άσκηση παίζει να είναι η πιο έξυπνη που έχω συναντήσει, ελπίζω η ίδια να μη χάνει κάπου γιατί μου την έδωσε φίλος.
+οο βγαίνει πάντως, όπως είναι και το λογικό αν κάνουμε σχηματάκι.

StratosRIP · 16 Μαΐου 2012 στις 20:14

Βασικα η ιδεα ειναι οτι χτιζεις διαταξη απο 0<t<x => R(0)<R(t)<R(x) (oλοκληρωνεις ως προς τ)...=>R(0)x<φ(χ)<R(x)x τωρα τα προσημα για την R δεν μ βγηκαν με μια πρωτη ματια... Θα το δω μετα το μαθημα κ θα βαλω το βραδυ..

Στην ασκηση τ blonde η συναρτηση βσκ αν η f δεν ειναι παραγωγισιμη δεν θα εχει νοημα... Αnyway η απαντηση του qwerty ειναι καλιστη... Την f την εβγαλα 1/2e^x-1/2e^-x αλλα ελυσα με διαφορετικο τροπο απο αυτο π πηρατε εσεις.. Ισως να εχω λαθος.. Τλμ μετα..

Mr.Blonde · 16 Μαΐου 2012 στις 20:14

Μπορει να μην ειναι σωστο.
$0\leq t\leq x\Leftrightarrow R(0)\leq R(t)\leq R(x) \Rightarrow R(0)x\leq \int_{0}^{x}R(t)dt\leq xR(x) $
Επειδη η R ειναι κυρτη για ενα τυχαιο ξ θα ισχυει $R(x)\geq R'(\xi )(x-\xi )+R(\xi )$
Με γνωστη εφαρμογη(με κουραζει ο λατεχ) προκυπτει οτι $\lim_{x\rightarrow +\propto }R(x)=+\propto$
Μετα κριτηριο παρεμβολης.

qwerty111 · 16 Μαΐου 2012 στις 20:19

Αρχική Δημοσίευση από Mr.Blonde:
Μπορει να μην ειναι σωστο.
$0\leq t\leq x\Leftrightarrow R(0)\leq R(t)\leq R(x) \Rightarrow R(0)x\leq \int_{0}^{x}R(t)dt\leq xR(x) $
Επειδη η R ειναι κυρτη για ενα τυχαιο ξ θα ισχυει $R(x)\geq R'(\xi )(x-\xi )+R(\xi )$
Με γνωστη εφαρμογη(με κουραζει ο λατεχ) προκυπτει οτι $\lim_{x\rightarrow +\propto }R(x)=+\propto$
Μετα κριτηριο παρεμβολης.

Αν όμως R(0)<0 δεν εφαρμόζεται το κριτήριο παρεμβολής. Εδώ έχω κολλήσει.

drosos · 16 Μαΐου 2012 στις 20:42

$I=\int_{\pi }^{3\pi }\frac{2}{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x+2}dx+\int_{0}^{2\pi }\frac{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x}{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x+2}dx=\int_{\pi }^{3\pi }\frac{2}{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x+2}dx+\int_{0}^{2\pi }\frac{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x+2-2}{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x+2}dx =\int_{\pi }^{3\pi }\frac{2}{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x+2}dx+2\pi -\int_{0}^{2\pi }\frac{2}{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x+2}dx$
Μεχρι εδω το χω φθασει θα το προσπαθησω σε λιγο! Ειμαι σε καλο δρομο;

antwwwnis · 16 Μαΐου 2012 στις 20:48

Παραθέτω τη λύση, σε βασικές γραμμές, γιατί δεν ξέρω πότε θα μπορέσω να διαθέσω πάλι χρόνο:

Έστω ξ ένα σημείο της R στο οποίο δεν ισχυει R(ξ)=0(επιτρέπεται, αλλιώς δε θα ήταν γνησίως αυξουσα) , η εφαπτομένη της σε αυτό το σημείο θα είναι η y=R'(ξ)(χ-ξ)+R(ξ)
και αφού είναι κυρτή προκύπτει άμεσα ότι R(x)>=R'(ξ)(χ-ξ)+R(ξ).
Oλοκληρώνοντας και τα δύο μέλη (με απόδειξη), φ(χ)>=(ολοκλήρωμα της από 0 έως χ της (R'(ξ)(τ-ξ)+R(ξ)dt))=(ολοκλήρωμα της από 0 έως χ της (R'(ξ)τ²/2-R'(ξ)ξτ+R(ξ)τ)' dt)
Με απλή εφαρμογή του γνωστού θεμελιώδους θεωρήματος Ο.Λ. προκύπτει μια συνάρτηση της μορφής R'(ξ)χ²/2-R'(ξ)ξχ+R(ξ)χ=π(χ)
η οποία στο +οο έχει όριο το +οο, αφού R'(ξ)>0
Με κριτήριο παρεμβολης στη σχέση φ(x)>=π(χ) προκύπτει το ζητούμενο όριο

qwerty111 · 16 Μαΐου 2012 στις 20:59

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Παραθέτω τη λύση, σε βασικές γραμμές, γιατί δεν ξέρω πότε θα μπορέσω να διαθέσω πάλι χρόνο:

Έστω ξ ένα σημείο της R στο οποίο δεν ισχυει R(ξ)=0(επιτρέπεται, αλλιώς δε θα ήταν γνησίως αυξουσα) , η εφαπτομένη της σε αυτό το σημείο θα είναι η y=R'(ξ)(χ-ξ)+R(ξ)
και αφού είναι κυρτή προκύπτει άμεσα ότι R(x)>=R'(ξ)(χ-ξ)+R(ξ).
Oλοκληρώνοντας και τα δύο μέλη (με απόδειξη), φ(χ)>=(ολοκλήρωμα της από 0 έως χ της (R'(ξ)(τ-ξ)+R(ξ)dt))=(ολοκλήρωμα της από 0 έως χ της (R'(ξ)τ²/2-R'(ξ)ξτ+R(ξ)τ)' dt)
Με απλή εφαρμογή του γνωστού θεμελιώδους θεωρήματος Ο.Λ. προκύπτει μια συνάρτηση της μορφής R'(ξ)χ²/2-R'(ξ)ξχ+R(ξ)χ=π(χ)
η οποία στο +οο έχει όριο το +οο, αφού R'(ξ)>0
Με κριτήριο παρεμβολης στη σχέση φ(x)>=π(χ) προκύπτει το ζητούμενο όριο

Το πρόσημο του R(ξ) δεν το ξέρουμε για να βρούμε το τελευταίο όριο που γράφεις. (στην πρώτη γραμμή υποθέτω ότι εννοείς R'(ξ))

antwwwnis · 16 Μαΐου 2012 στις 21:07

Tο όριο στο άπειρο του αχ²+βχ+γ είναι το όριο του αχ², οπότε δε μας νοιάζει το πρόσημο του R(ξ). Εκτός αν κάπου χάνω.

Mr.Blonde · 16 Μαΐου 2012 στις 21:10

Νομιζω οτι καπου χανει η ασκηση ,στο που οριζεται η συναρτηση R .
EDIT:τωρα ειδα την λυση,αρκετα πονηρη.Σε λιγο θα βαλω και αυτης που ειχα δημοσιευσει,τα υπολοιπα ερωτηματα δηλαδη.

antwwwnis · 16 Μαΐου 2012 στις 21:14

Nαι, δεν έγραψα και ότι είναι δύο φορές παραγωγίσιμη η R. Η R ορίζεται στο IR, συγνώμη αν σας μπέρδεψα, την έγραψα όπως θυμόμουν.

qwerty111 · 16 Μαΐου 2012 στις 21:44

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Tο όριο στο άπειρο του αχ²+βχ+γ είναι το όριο του αχ², οπότε δε μας νοιάζει το πρόσημο του R(ξ). Εκτός αν κάπου χάνω.

Εγώ έχανα πριν

antwwwnis · 16 Μαΐου 2012 στις 21:53

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Εγώ έχανα πριν

Φταίω κι εγώ που βαριέμαι το λατεξ!
Κανονικά, αν έδινε μόνο ότι είναι γνησίως αύξουσα, και πάλι γραφικά δε βγαίνει το όριο της φ +οο :hmm:

;
Μάλλον αγγίζουμε χωράφια έξω από τα δικά μας αν το ψάξουμε.

Mr.Blonde · 16 Μαΐου 2012 στις 22:14

Παρτε μια ασκηση που μου φανηκε αρκετα δυσκολη.
Δινεται συναρτηση
$eq.latex$
συνεχης για την οποια ισχυει

Να δειξετε οτι f'(0)=f(0)+1
Nα μελετηθει η f ως προς τη μονοτονια και να βρεθει το προσημο της.
Αν επιπλεον η f ειναι παραγωγισιμη στο R
Nα αποδειξετε οτι η συναρτηση g(x)=f''(x)-f(x) ειναι σταθερη
Να βρειτε τον τυπο της f.
Nα αποδειξετε οτι για οποιαδηποτε 0<α<β ,υπαρχει ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε

$eq.latex$

Παραγωγιζοντας την αρχικη σχεση και δικαιολογωντας παραγωγισιμοτητα εχουμε
$\frac{f'(x)}{\sqrt{{f}^{2}(x)+1}}=1\Leftrightarrow f'(x)=\sqrt{{f}^{2}(x)+1}$ (1)
Η f' ειναι παρ/μη αφου ειναι η f αρα $f''(x)=\frac{f'(x)f(x)}{\sqrt{{f}^{2}(x)+1}}=f(x)$ λογω της (1)
Αρα g(x)=0
Eπισης $f''(x)=f(x)\Leftrightarrow f''(x)+f'(x)=f'(x)+f(x)$ .Απο γνωστη εφαρμογη εχουμε
$f(x)+f'(x)=c{e}^{x}$ .Επειδη f(0)=0 και f'(0)=1 προκυπτει c=1 αρα
$f(x)+f'(x)={e}^{x}\Leftrightarrow {e}^{x}f(x)+{e}^{x}f'(x)={e}^{2x} \Leftrightarrow ({e}^{x}f(x))'=(\frac{1}{2}{e}^{2x})'$
Αρα ${e}^{x}f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+c$ ομως f(0)=0 αρα $c=-\frac{1}{2}$
Tελικα ${e}^{x}f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{2}\Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{2}{e}^{x}-\frac{1}{2}{e}^{-x}$

Θεωρω συναρτηση g(x)= $\int_{\alpha }^{x}f(u)du$
Με θμτ στο [α,β] προκυπτει οτι υπαρχει ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε $f(\xi )=\frac{\int_{\alpha }^{\beta }f(u)du}{\beta -\alpha }$
Τωρα με δευτερο θμτ στην f στο [0,ξ],προκυπτει οτι υπαρχει χο που ανηκει στο (0,ξ) τετοιο ωστε $f'(xo)=\frac{f(\xi )}{\xi }\Leftrightarrow f(\xi )=\xi f'(xo)$
Η f' ειναι γν αυξουσα αρα εχουμε
$\xi >xo\Leftrightarrow f'(\xi )>f'(xo)\Leftrightarrow \xi f'(\xi )>\xi f'(xo)\Leftrightarrow \xi f'(\xi )+f(\xi )>2f(\xi ) \Leftrightarrow \xi f'(\xi )+f(\xi )>\frac{2}{\beta -\alpha } \int_{a}^{b}f(u)du$

Για τα 3 τελευταια,το τελευταιο βγαινει και με αλλο τροπο.

qwerty111 · 17 Μαΐου 2012 στις 09:44

Αρχική Δημοσίευση από Mr.Blonde:
Παραγωγιζοντας την αρχικη σχεση και δικαιολογωντας παραγωγισιμοτητα εχουμε
$\frac{f'(x)}{\sqrt{{f}^{2}(x)+1}}=1\Leftrightarrow f'(x)=\sqrt{{f}^{2}(x)+1}$ (1)
Η f' ειναι παρ/μη αφου ειναι η f αρα $f''(x)=\frac{f'(x)f(x)}{\sqrt{{f}^{2}(x)+1}}=f(x)$ λογω της (1)
Αρα g(x)=0
Eπισης $f''(x)=f(x)\Leftrightarrow f''(x)+f'(x)=f'(x)+f(x)$ .Απο γνωστη εφαρμογη εχουμε
$f(x)+f'(x)=c{e}^{x}$ .Επειδη f(0)=0 και f'(0)=1 προκυπτει c=1 αρα
$f(x)+f'(x)={e}^{x}\Leftrightarrow {e}^{x}f(x)+{e}^{x}f'(x)={e}^{2x} \Leftrightarrow ({e}^{x}f(x))'=(\frac{1}{2}{e}^{2x})'$
Αρα ${e}^{x}f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+c$ ομως f(0)=0 αρα $c=-\frac{1}{2}$
Tελικα ${e}^{x}f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{2}\Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{2}{e}^{x}-\frac{1}{2}{e}^{-x}$

Θεωρω συναρτηση g(x)= $\int_{\alpha }^{x}f(u)du$
Με θμτ στο [α,β] προκυπτει οτι υπαρχει ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε $f(\xi )=\frac{\int_{\alpha }^{\beta }f(u)du}{\beta -\alpha }$
Τωρα με δευτερο θμτ στην f στο [0,ξ],προκυπτει οτι υπαρχει χο που ανηκει στο (0,ξ) τετοιο ωστε $f'(xo)=\frac{f(\xi )}{\xi }\Leftrightarrow f(\xi )=\xi f'(xo)$
Η f' ειναι γν αυξουσα αρα εχουμε
$\xi >xo\Leftrightarrow f'(\xi )>f'(xo)\Leftrightarrow \xi f'(\xi )>\xi f'(xo)\Leftrightarrow \xi f'(\xi )+f(\xi )>2f(\xi ) \Leftrightarrow \xi f'(\xi )+f(\xi )>\frac{2}{\beta -\alpha } \int_{a}^{b}f(u)du$

Για τα 3 τελευταια,το τελευταιο βγαινει και με αλλο τροπο.

Για το τελευταίο ερώτημα εφάρμοσα και εγώ ΘΜΤ για τη g που θεώρησες και εσύ. Αρκεί τώρα να δείξω ότι ξf'(ξ) - f(ξ)>0. Θέτω h(x)=xf'(x)-f(x). Με την μονοτονία αποδεικνύω ότι h(x)>0 για κάθε χ>0, άρα και για το ξ>α>0.

stelios1994-4 · 17 Μαΐου 2012 στις 20:11

ΑΣΚΗΣΗ Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ${e}^{\left|z+3i \right|x}\geq 2\left|z \right|x+1+\int_{0}^{{x}^{2}}f(t)dt$ για κάθε $x\in R$ $z\in C$ και $g:R\rightarrow R$ για την οποία $g(x)=x-ln({e}^{x}+\left|w \right|)$ με $Im(w)=1$ $w \in C$

Να βρείτε το $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)$
Να αποδείξετε ότι: $\frac{\left|w \right|}{{e}^{x+1}+\left|w \right|}<g\left(x+1 \right)-g\left(x \right)<\frac{\left|w \right|}{{e}^{x}+\left|w \right|}$ για κάθε $x\in R$
Να δείξετε ότι: $\left|z+3i \right|=2\left|z \right|$ (1)
Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν την (1)
Να αποδείξετε ότι: $f(0)\leq 18$

Αρκετά καλή. :whistle:

StratosRIP · 17 Μαΐου 2012 στις 20:12

Αρχική Δημοσίευση από Mr.Blonde:
Παραγωγιζοντας την αρχικη σχεση και δικαιολογωντας παραγωγισιμοτητα εχουμε
$\frac{f'(x)}{\sqrt{{f}^{2}(x)+1}}=1\Leftrightarrow f'(x)=\sqrt{{f}^{2}(x)+1}$ (1)
Η f' ειναι παρ/μη αφου ειναι η f αρα $f''(x)=\frac{f'(x)f(x)}{\sqrt{{f}^{2}(x)+1}}=f(x)$ λογω της (1)
Αρα g(x)=0
Eπισης $f''(x)=f(x)\Leftrightarrow f''(x)+f'(x)=f'(x)+f(x)$ .Απο γνωστη εφαρμογη εχουμε
$f(x)+f'(x)=c{e}^{x}$ .Επειδη f(0)=0 και f'(0)=1 προκυπτει c=1 αρα
$f(x)+f'(x)={e}^{x}\Leftrightarrow {e}^{x}f(x)+{e}^{x}f'(x)={e}^{2x} \Leftrightarrow ({e}^{x}f(x))'=(\frac{1}{2}{e}^{2x})'$
Αρα ${e}^{x}f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+c$ ομως f(0)=0 αρα $c=-\frac{1}{2}$
Tελικα ${e}^{x}f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{2}\Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{2}{e}^{x}-\frac{1}{2}{e}^{-x}$

Θεωρω συναρτηση g(x)= $\int_{\alpha }^{x}f(u)du$
Με θμτ στο [α,β] προκυπτει οτι υπαρχει ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε $f(\xi )=\frac{\int_{\alpha }^{\beta }f(u)du}{\beta -\alpha }$
Τωρα με δευτερο θμτ στην f στο [0,ξ],προκυπτει οτι υπαρχει χο που ανηκει στο (0,ξ) τετοιο ωστε $f'(xo)=\frac{f(\xi )}{\xi }\Leftrightarrow f(\xi )=\xi f'(xo)$
Η f' ειναι γν αυξουσα αρα εχουμε
$\xi >xo\Leftrightarrow f'(\xi )>f'(xo)\Leftrightarrow \xi f'(\xi )>\xi f'(xo)\Leftrightarrow \xi f'(\xi )+f(\xi )>2f(\xi ) \Leftrightarrow \xi f'(\xi )+f(\xi )>\frac{2}{\beta -\alpha } \int_{a}^{b}f(u)du$

Για τα 3 τελευταια,το τελευταιο βγαινει και με αλλο τροπο.

Το τελευταιο εγω τ εβγαλα με ΘΜΤ.. Τελικα καλα την βρηκα την f

Mr.Blonde · 17 Μαΐου 2012 στις 21:27

Αρχική Δημοσίευση από stelios1994-4:
ΑΣΚΗΣΗ Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ${e}^{\left|z+3i \right|x}\geq 2\left|z \right|x+1+\int_{0}^{{x}^{2}}f(t)dt$ για κάθε $x\in R$ $z\in C$ και $g:R\rightarrow R$ για την οποία $g(x)=x-ln({e}^{x}+\left|w \right|)$ με $Im(w)=1$ $w/in C$

Να βρείτε το $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)$

Να αποδείξετε ότι: $\frac{\left|w \right|}{{e}^{x+1}+\left|w \right|}<g\left(x+1 \right)-g\left(x \right)<\frac{\left|w \right|}{{e}^{x}+\left|w \right|}$ για κάθε $x\in R$

Να δείξετε ότι: $\left|z+3i \right|=2\left|z \right|$ (1)

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν την (1)

Να αποδείξετε ότι: $f(0)\leq 18$

Αρκετά καλή.

Δεν καταλαβα το Im(w)=?

Αρχική Δημοσίευση από StratosRIP:
Το τελευταιο εγω τ εβγαλα με ΘΜΤ.. Τελικα καλα την βρηκα την f

Kαι εγω με θμτ το εκανα.Πηρες αλλη συναρτηση;

StratosRIP · 17 Μαΐου 2012 στις 21:35

Fail!! To ιδιο καναμε γραψε λαθος

stelios1994-4 · 17 Μαΐου 2012 στις 21:39

Αρχική Δημοσίευση από Mr.Blonde:
Δεν καταλαβα το Im(w)=?

Το φανταστικό μέρος του w είναι ίσο με 1, είχα βάλει "/ " αντί για " \"

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος