Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

drosos · 11 Απριλίου 2012 στις 23:41

200 ασκησακια απο το mathematica! Πραγματικα φοβερη δουλεια! https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=56&t=24774

Mr.Blonde · 11 Απριλίου 2012 στις 23:53

200 ασκησαρες θα ελεγα

Οντως παντως καταπληκτικη δουλεια.

stelios1994-4 · 17 Απριλίου 2012 στις 16:54

Άσκηση
Δίνεται μιγαδικός $z\in C$ για τον οποίο ισχύει:
${\left|z+8 \right|}^{3}+\frac{2}{{4}^{\left|z+2 \right|}}=8{\left|z+2 \right|}^{3}+\frac{2}{{2}^{\left|z+8 \right|}}$

Να βρεθεί το $\left|z \right|$

antwwwnis · 17 Απριλίου 2012 στις 18:27

Έξυπνη.
Η συνάρτηση φ(χ)=χ³-2/(2^x) αν την παραγωγίσουμε βρίσκουμε ότι είναι γνησίως μονότονη για κάθε χ>=0
Άρα ίσες εικόνες μας δίνουν ίσα πρότυπα. Παρατήρησε ότι η σχέση γράφεται: φ(|z+8|³)=φ(2|z+2|). Kαι μετά είναι εύκολο.

stelios1994-4 · 18 Απριλίου 2012 στις 14:50

Το ξέρω ότι ήταν εύκολη!

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Έξυπνη.

Για αυτό την έβαλα

Αν και η σχέση είναι $f\left(\left|z+8 \right| \right)=f\left(\left2|z+2 \right| \right)$

antwwwnis · 18 Απριλίου 2012 στις 19:20

Αρχική Δημοσίευση από stelios1994-4:
Το ξέρω ότι ήταν εύκολη!

Για αυτό την έβαλα
Αν και η σχέση είναι $f\left(\left|z+8 \right| \right)=f\left(\left2|z+2 \right| \right)$

Τυπογραφικό

Δεν έπιασα μολύβι, την ιδέα έριξα!

stelios1994-4 · 19 Απριλίου 2012 στις 02:14

ΑΣΚΗΣΗ 1
Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=\frac{2x}{{e}^{x}}$ και $g(x)={e}^{x}-\frac{{x}^{3}}{3}-x-1$

Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα
Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και να αποδέιξετε ότι ${e}^{x}>2x$ για κάθε $x\in R$
Να βρείτε το σύνολο τιμών της g
Να λύσετε την ανίσωση $g({e}^{2x})<g((4{x}^{3}+1)$

ΑΣΚΗΣΗ 2

Να δειχτεί ότι $a{x}^{\frac{1}{a}}\leq x+a-1$ για οποιαδήποτε $x>0, a>1$
Να δειχτεί ότι $\lim_{x\rightarrow +\propto }{\left(\sqrt{x-2} \right)}^{\frac{1}{x-5}}=1$
Να δειχτεί ότι $2005{x}^{\frac{1}{2005}}-x-2004<{e}^{x}$ για κάθε $x>0$

ΑΣΚΗΣΗ 3
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού (1, +∞) για την οποία ισχύει:
$f\left(x \right)=-\frac{x{f}^{'}\left(x \right)}{2}lnx$ για κάθε $x>1$ και η γραφική της παράσταση τέμνει την ευθεία $x=e$ στο σημείο της με τεταγμένη 4. Αν $f\left(x \right)\neq 0$ για κάθε
$x>1$

Να βρεθεί η συνάρτηση f
Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $f\left(x \right)=a$ έχει μοναδική ρίζα στο (1, +∞) για οποιοδήποτε $a>1$

Υ.Γ Δεν θα τις έβαζα τέτοια ώρα, αλλά αφού είμαι ακόμα ξύπνιος klein mein...
Υ.Γ2 Μπορεί κάποιος να μου πει πως μπαίνει το ∞ στο latex?

rebel · 19 Απριλίου 2012 στις 02:31

To σύμβολο του απείρου είναι: \infty

drosos · 19 Απριλίου 2012 στις 11:40

3)
$2f(x)+xf'(x)lnx=0\Leftrightarrow 2lnxf(x)+(lnx)^2xf'(x)=0\Leftrightarrow 2\frac{lnx}{x}f(x)+(lnx)^2f(x)'=0\Leftrightarrow (lnx)^2f(x)=c\Leftrightarrow f(x)=\frac{4}{(lnx)^2}$
Βρισκοντας f' αποδεικνυουμε οτι ειναι φθινουσα αρα εχει το πολυ μια ριζα και συνολο τιμων ειναι (0,+oo) αρα για α>1 εχει μοναδικη ριζα.

stelios1994-4 · 22 Απριλίου 2012 στις 19:21

1 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f\left(x \right)={\left(x+a \right)e}^{\beta x+\gamma }$ διέρχεται από την αρχή των αξόνων, και η εφαπτομένη της στο σημείο $A\left(2,f\left(2 \right) \right)$ είναι η ευθεία: $y=-x+4$

Να βρείτε τις τιμές των α, β και γ.
Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
Έστω $E(\lambda )$ το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη ${C}_{f}$ , τον άξονα χ'χ και την ευθεία $x=\lambda$ με $\lambda >0$ . Να βρείτε το $\lim_{x\rightarrow +\infty}E(\lambda )$

2 Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει:
$\int_{0}^{x}\left({t}^{2}+1 \right)f\left(t \right)dt=\int_{0}^{1}6{x}^{2}{t}^{2}dt$ για κάθε $x\in R$

Να βρείτε τον τύπο της f
Έστω $\left(\epsilon \right)$ η εφαπτομένη της ${C}_{f}$ στο σημείο της $M\left({x}_{0},f\left({x}_{0} \right) \right)$ και $A$ το σημείο τομής της $\left(\epsilon \right)$ με τον άξονα ${y}^{'}y$ . Να βρείτε για ποιό ${x}_{0}$ η τεταγμένη του σημείου $A$ γίνεται μέγιστη.

drosos · 22 Απριλίου 2012 στις 23:21

Εφτιαξα ενα διαγωνισματακι σε ολη την υλη μαθηματικων κατευθυνσης. Οποιος θελει το λυνει και μου στελνει τις λυσεις του με σαρωση φωτογραφια λαστεχ ή οποιο αλλο μεσο βρει

.(Καλυτερα θα ηταν να λυνατε ολο το διαγωνισμα σε χρονικο περιθωριο 3ωρων, αν βεβαια εχετε χρονο).
Καλυτερα να ανοιξετε το word γιατι με το pdf θα σας βγουν τα ματια

stelios1994-4 · 23 Απριλίου 2012 στις 18:41

Έστω η συνάρτηση $f\left(x \right)={e}^{x}+{x}^{2}$

Να δείξετε ότι $f\left(0 \right)={f}^{'}\left(0 \right)$
Να δείξετε ότι η ${f}^{'}$ αντιστρέφεται
Να δείξετε ότι ${e}^{{e}^{x}+{x}^{2}}+2{e}^{x}+2{x}^{2}>{e}^{x+1}+2x+2$ για κάθε $x\in {R}^{\star }$

κωσ · 24 Απριλίου 2012 στις 13:30

μΠΟΡΕΙ κανεις να με βοηθησει στο παρακατω όριοοο

lim(χ->+00) [(χ²-lnx-1)/x²-χ] (+απειρο τεινει)

Guest 278211 · 24 Απριλίου 2012 στις 13:46

βγάλε κοινό παράγοντα το χ²
(x²/x²-x)*[1-(lnx-1)/x²]
το όριο (x²/x²-x) βγαίνει 1
το όριο (lnx-1)/x² βγαίνει 0 με DLH
άρα lim(χ->+00) [(χ²-lnx-1)/x²-χ]=1

κωσ · 24 Απριλίου 2012 στις 14:07

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
βγάλε κοινό παράγοντα το χ²
(x²/x²-x)*[1-(lnx-1)/x²]
το όριο (x²/x²-x) βγαίνει 1
το όριο (lnx-1)/x² βγαίνει 0 με DLH
άρα lim(χ->+00) [(χ²-lnx-1)/x²-χ]=1

Κατι νομιζω δεν παει καλα .Ισως να μην αγρεψα πολυ καλα το οριο Ειναι lim { [(χ²-lnx-1)/x] - x } (χ->+απειρο)

αρα αυτο που εγραψες παραπανω δεν ισχυει ετσι?? Πως θα βγει;

mpko · 24 Απριλίου 2012 στις 14:18

Αρχική Δημοσίευση από κωσ:
Κατι νομιζω δεν παει καλα .Ισως να μην αγρεψα πολυ καλα το οριο Ειναι lim { [(χ²-lnx-1)/x] - x } (χ->+απειρο)

'Σπάσε' το κλάσμα και μέσα στο όριο θα έχεις: x^2/x - lnx/x - 1/x - x = x - x -(lnx+1)/x = -(lnx + 1)/x
Με κανόνες De l'Hospital προκύπτει ότι το lim[-(lnx + 1)/x]=0

drosos · 24 Απριλίου 2012 στις 14:18

Αυτο εννοεις; $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2-lnx-1}{x}-x$

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2-lnx-1}{x}-x=\lim_{x\rightarrow \infty}x-\frac{lnx}{x}-\frac{1}{x}-x=0$
Αφου χ-χ=0 1/+οο=0 και lnx/x ευκολα με del hospital 0

Guest 278211 · 24 Απριλίου 2012 στις 14:31

Αρχική Δημοσίευση από κωσ:
Κατι νομιζω δεν παει καλα .Ισως να μην αγρεψα πολυ καλα το οριο Ειναι lim { [(χ²-lnx-1)/x] - x } (χ->+απειρο)

ααα οκ λάθος κατάλαβα

Demlogic · 5 Μαΐου 2012 στις 21:34

Αρχική Δημοσίευση από stelios1994-4:
Έστω η συνάρτηση $f\left(x \right)={e}^{x}+{x}^{2}$

Να δείξετε ότι $f\left(0 \right)={f}^{'}\left(0 \right)$

Να δείξετε ότι η ${f}^{'}$ αντιστρέφεται

Να δείξετε ότι ${e}^{{e}^{x}+{x}^{2}}+2{e}^{x}+2{x}^{2}>{e}^{x+1}+2x+2$ για κάθε $x\in {R}^{\star }$

Για το τελευταίο:
f'(e^x+x^2)>f'(x+1)
Επίσης f"(x)>0 άρα f κυρτη και f' γν αυξ
e^x+x^2>x+1 =>
f(x)>x+1
Που ισχύει για κάθε xER*
Αφού f κυρτη η εφαπτομενη της στο 0
Η οποία είναι η y=x+1 θα βρίσκεται κάτω απο
Την f παντού εκτός απο το σημείο επαφής

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Εφτιαξα ενα διαγωνισματακι σε ολη την υλη μαθηματικων κατευθυνσης. Οποιος θελει το λυνει και μου στελνει τις λυσεις του με σαρωση φωτογραφια λαστεχ ή οποιο αλλο μεσο βρει .(Καλυτερα θα ηταν να λυνατε ολο το διαγωνισμα σε χρονικο περιθωριο 3ωρων, αν βεβαια εχετε χρονο).
Καλυτερα να ανοιξετε το word γιατι με το pdf θα σας βγουν τα ματια

Κοίταξα το τέταρτο. Καλουτσικο αν και λίγο ευκολακι ^_^
Πάρτε μια κορυφαία άσκηση

F(F'(x))+F(x)=0
DF=(0,+oo)

Δείξε ότι η παραγουσα της F είναι κυρτη

antwwwnis · 5 Μαΐου 2012 στις 22:29

Αρχική Δημοσίευση από Demlogic:
Κοίταξα το τέταρτο. Καλουτσικο αν και λίγο ευκολακι ^_^
Πάρτε μια κορυφαία άσκηση

F(F'(x))+F(x)=0
DF=(0,+oo)

Δείξε ότι η παραγουσα της F είναι κυρτη

Δεν έχει άλλα δεδομένα;

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Συνημμένα

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος