Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

dimijim · 9 Μαρτίου 2012 στις 16:50

Ανεβάζω διαγωνισματάκι, μάλλον δυσκολούτσικο.
Η ύλη του είναι από μιγαδικούς εώς και το τέλος του διαφορικού (μόνο ολοκληρώματα δεν έχει μέσα).
Το διαγώνισμα έχει κανονικά θεωρία και είναι 3ωρο.
Το 1ο θέμα είναι θεωρία με ορισμό, απόδειξη και σωστά-λάθος, το 2ο είναι μάλλον κλασικό αλλά έχει δουλεία, δώστε προσοχή στο 3ο γιατί δεν είναι τόσο εύκολο όσο φαίνεται, ενώ το 4ο δε θα είναι πρόβλημα για κάποιον που έχει δουλέψει καλά τα κομμάτια που εξετάζει.
Όποιος χρειαστεί βοήθεια ή τις απαντήσεις μπορεί να το ζητήσει.
Εάν βρείτε κανένα λάθος (που κατά 95% δε θα βρείτε), αναφέρετέ το για να το διορθώσω΄.
Καλή επιτυχία!!!

dimijim · 16 Μαρτίου 2012 στις 20:58

Ακόμη ένα διαγώνισμα, πιο light από το προηγούμενο.
Ισχύουν τα ίδια: έχει και θεωρία, είναι απ τους μιγαδικούς εώς και το τέλος του διαφορικού και η ώρα που δίνεται είναι ένα 3ωρο.
Όποιος έχει απορία ή θέλει να σχολιάσει το οτιδήποτε, εδώ είμαστε.
Καλή επιτυχία σε όσους ασχοληθούν!

dimijim · 17 Μαρτίου 2012 στις 12:23

Μου ζητήθηκε κι άρα δίνω τη λύση για το Θέμα 3C του 1ου διαγωνίσματος.
Επίσης επειδή πολλοί μπορεί να έχουν κάνει λάθος και να μην το έχουν εντοπίσει,

το Θέμα 3B ΔΕ λύνεται γεωμετρικά (είναι λάθος μια καθαρά γεωμετρική λύση).

dimijim · 17 Μαρτίου 2012 στις 13:23

Ορίστε και η λύση του ΘΕΜΑ 3B του 1ου Διαγωνίσματος.

rebel · 17 Μαρτίου 2012 στις 14:30

Άλλη μία λύση για το C3. Εύκολα βλέπουμε ότι για κάθε $w_1,\,w_2 \in \mathbb{C}$ ισχύει $|w_1+w_2|^2+|w_1-w_2|^2=2|w_1|^2+2|w_2|^2 \,\,(1)$ .
Θέτουμε $w_1=z_1-4+3i,\,w_2=z_1-4+3i$ . Τότε $|w_1-w_2|=|z_1-z_2|=2,\,|w_1|=1,\,|w_2|=1$ οπότε αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε
$|w_1+w_2|^2=0 \Rightarrow w_1+w_2=0 \Rightarrow z_1+z_2=8-6i \Rightarrow |z_1+z_2|=10$ . Επίσης δείτε εδώ για ένα όμοιο θέμα και αρκετές ενδιαφέρουσες λύσεις.

Johnnaousa · 18 Μαρτίου 2012 στις 17:05

https://www.scribd.com/doc/85762280/ΛΥΜΕΝΑ-ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ-ΘΕΜΑΤΑ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-ΚΑΤ-Γ-ΛΥΚΕΙΟΥ-2012

christina123 · 20 Μαρτίου 2012 στις 16:50

Διαγωνισμα Μαθηματικα Κατευθυνσης 2 [Μιγαδικοι Αριθ.docx (18,9 KB, 11 αναγνώσεις)

Διαγωνισμα Μαθηματικα Κατευθυνσης [Μιγαδικοι Αριθμ.docx (18,7 KB, 27 αναγνώσεις)
δεν μπορω να τα κατεβασω γιατι λεει οτι εχω πιο παλια εκδοση του word...γινεται με καποιο τροπο να το κατεβασω;;ή καποιος να το αποθηκευσει και αλλιως;

drosos · 20 Μαρτίου 2012 στις 17:17

Παιδια μηπως ηρθε η ωρα τωρα που τελειωσαμε(οι περισσοτεροι) την υλη να αρχισουμε να βαζουμε ασκησεις;;;
https://www.freepdfconvert.com/?gclid=CPTDs-_i9a4CFQhe3wodYxQFUA εδω μπορεις να τα μετατρεψεις σε pdf

jjoohhnn · 21 Μαρτίου 2012 στις 22:36

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Παιδια μηπως ηρθε η ωρα τωρα που τελειωσαμε(οι περισσοτεροι) την υλη να αρχισουμε να βαζουμε ασκησεις;;;

Μία από τα επαναληπτικά θέματα της Ε.Μ.Ε.:

Δίνεται η συνάρτηση f

0,e)→ R με f(1) = 0 η οποία για κάθε x που ανήκει στο (0,e) ικανοποιεί τη σχέση ln(f΄(x))=f(x)−lnx.
Α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f .
Β. Αν f (x) = −ln(1 -lnx), x ανήκει στο (0,e).
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, e) .
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f .
γ) Να βρείτε την τιμή του x για την οποία ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος.
δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 1-lnx=1/e^x, για τις διάφορες τιμές του α που ανήκει στο R .

drosos · 22 Μαρτίου 2012 στις 00:23

α)
$ln(f'(x))=f(x)- lnx\Leftrightarrow ln(f'(x))+lnx=f(x)\Leftrightarrow ln(xf'(x))=f(x)\Leftrightarrow xf'(x)={e}^{f(x)}\Leftrightarrow -f'(x){e}^{-f(x)}=-\frac{1}{x}\Leftrightarrow {e}^{-f(x)}=-lnx+1(c=1)\Leftrightarrow f(x)=-ln(1-lnx)$
β)
$f'(x)=\frac{1}{x-xlnx}$
$x-xlnx>0\Leftrightarrow x>xlnx\Leftrightarrow 1>lnx \Leftrightarrow lnx<1 \Leftrightarrow x<e$
Αρα γνησιως αυξουσα για 0<χ<e
$\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}-ln(1-lnx)=\lim_{u\rightarrow +oo}-lnu=-oo$
$\lim_{x\rightarrow e }-ln(1-lnx)=\lim_{u\rightarrow 0}-lnu=+oo$
γ)
$f''(x)=\frac{lnx}{{(x-xlnx)}^2}$
$lnx=0 \Leftrightarrow x=1$
$lnx>0 \Leftrightarrow x>1$
$lnx<0 \Leftrightarrow x<1$
Αρα για χ=1 ο ρυθμος μεταβολης γινεται ελαχιστος.
δ)
Αντι για χ μαλλον ηθελες να βαλεις α.
$1-lnx=1/e^a\Leftrightarrow ln(1-lnx)=-a \Leftrightarrow f(x)=a$
Μοναδικη ριζα αφου f γνησιως αυξουσα και α ανηκει στο συνολο τιμων.

Πολυ ωραια ασκηση! Αν θες δωσε μου το link που την βρηκες.

jjoohhnn · 23 Μαρτίου 2012 στις 19:31

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Πολυ ωραια ασκηση! Αν θες δωσε μου το link που την βρηκες.

https://www.hms.gr/node/121. Αυτή ήταν από τα θέματα του 2010.

rebel · 24 Μαρτίου 2012 στις 21:07

Αρχική Δημοσίευση από tebelis13:
Έφτιαξα μία άσκηση καλούτσικη,αποκλειστικά για μαθητές.*γέλιο Μότζο-Τζότο/δρακουμέλ/σατανικού χαρακτήρα καρτούν*
Λοιπόν

Nα συγκριθούν οι Κ και Ε !

$E=-\left[\frac{11112+(\int_{0}^{\pi/4}(tanx)^2)+\pi/4}{11117} \right]<br /> K=-\left[\frac{22224+4(\int_{0}^{1/\sqrt{\pi}}\sqrt{\frac{1}{\pi} -x^2})}{22229} \right]$

Υπάρχει τρόπος η σύγκριση να γίνει χωρίς τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων;

Metal-Militiaman · 25 Μαρτίου 2012 στις 02:27

'Εστω $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε

$f(0)=0$ και $f(1)=1$ . Να δείξετε όι υπάρχουν $\nu$ διακεκριμένα σημεία

${x}_{1},{x}_{2},...,{x}_{\nu }$ στο $[0,1]$ έτσι ώστε

$\frac{1}{f'({x}_{1})}+\frac{1}{f'({x}_{2})}+...+\frac{1}{f'({x}_{\nu })}=\nu$

Demlogic · 8 Απριλίου 2012 στις 00:23

χοχοχο, δε μας λες την λύση ρε metal? γιατι μου φαίνεται κουφή

drosos · 8 Απριλίου 2012 στις 18:27

Οποιος εχει ασκησεις με θεωρημα Rolle που πρεπει να βρεις την αρχικη μιας σχεσης που χει μεσα ολοκληρωματα να ανεβασει αν μπορει

stelios1994-4 · 9 Απριλίου 2012 στις 16:13

Rolle δεν βρήκα, για αυτό... πάρτε μιγαδικό

1 Έστω ο μιγαδικός $z={e}^{x}+xi$ με $x\in R$ .

Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z.
Αν Μ, σημείο του παραπάνω γεωμετρικού τόπου, να δείξετε ότι υπάρχει $x\in R$ τέτοιο ώστε η απόσταση του Μ, από το Ο (αρχή των αξόνων) να παρουσιάζει ελάχιστο.
Από σημείο Κ του γεωμετρικού τόπου με $x\in \left(0,1 \right)$ φέρνουμε κάθετες στους άξονες. Να βρείτε το σημείο Κ, ώστε το εμβαδό του παραλληλογράμμου που σχηματίζεται να γίνεται μέγιστο.

2 Έστω οι μιγαδικοί $z,w\in C$ για τους οποίους ισχύει ${\left|z \right|}^{t}+{\left|w \right|}^{t}\geq 2$ για κάθε $t\in R$ .

Να βρείτε την γραμμή στην οποία κινούνται οι μιγαδικοί $u=zw$ .

3 Έστω μια συνάρτηση $f:\left[\alpha ,\beta \right]\rightarrow R$ , παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει $f\left(\alpha \right)=f\left(\beta \right)$ .

Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικά σημεία που ανήκουν στην ${C}_{f}$ στα οποία οι εφαπτομένες σχηματίζουν με τον ${x}^{'}x$ ισοσκελές τρίγωνο.

drosos · 9 Απριλίου 2012 στις 16:35

Θα προσπαθησω να λυσω το 3.
Εφαρμοζοντας διαδοχικα ΘΜΤ στα διαστηματα $[a,c] κ [c,b]$ οπου $c=\frac {a+b}{2}$ , εχουμε οτι υπαρχουν c1,c2 τετοια ωστε:
$f'(c1)=\frac{2(f(c)-f(a))}{b-a}$
$f'(c2)=\frac{2(f(b)-f(c))}{b-a}$
Αλλα f(a)=f(b) οποτε
$f'(c1)+f'(c2)=...=0$ αρα τελικα $|f'(c1)|=|f'(c2)|$

stelios1994-4 · 9 Απριλίου 2012 στις 20:22

Σωστο σε βρισκω!! Εμενα μου πηρε λιγη ωρα παραπανω

drosos · 9 Απριλίου 2012 στις 23:11

Βεβαια εγω εχω παρει οτι ειναι και παραγωγισιμη οποτε ξεχασε το

stelios1994-4 · 10 Απριλίου 2012 στις 00:26

Έλα παραγωγίσιμη είναι, βλακεία μου

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διάσημο μέλος

Συνημμένα

Διάσημο μέλος

Συνημμένα

Διάσημο μέλος

Συνημμένα

Διάσημο μέλος

Συνημμένα

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος