Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

dimijim · 2012-01-15T00:33:33+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
To 4β είναι σωστό; Με ένα πρόχειρο σχήμα φαίνεται ότι το σημείο για το οποίο η εφαπτομένη της $C_f$ κόβει τον y'y στο (0,-16) έχει τετμημένη μεγαλύτερη του 1.

Εχεις δίκαιο.
Δικο μου το λαθος.
Το διαστημα ειναι (1,2) κι οχι (0,1)

megazz · 2012-01-16T17:17:47+0200

Καλησπέρα μιας και είμαι καινούριος εδω μέσα.

Έχετε καθόλου έξυπνες ασκήσεις στους γεωμετρικούς τόπους - κύκλο ;
Θα περιμένω..

tebelis13 · 2012-02-09T18:29:03+0200

Επειδή έχει ψοφήσει λίγο το thread,ποστάρω μια άσκηση αρκετά καλή η οποία δεν ξέρω αν ξεφεύγει απο την ύλη της γ'.
Να μελετηθεί ως προς την συνέχεια η συνάρτηση $f(x)=x-[x]$ όπου $[x]$ το ακέραιο μέρος του x

vavlas · 2012-02-16T14:31:17+0200

Αρχική Δημοσίευση από tebelis13:
Επειδή έχει ψοφήσει λίγο το thread,ποστάρω μια άσκηση αρκετά καλή η οποία δεν ξέρω αν ξεφεύγει απο την ύλη της γ'.
Να μελετηθεί ως προς την συνέχεια η συνάρτηση $f(x)=x-[x]$ όπου $[x]$ το ακέραιο μέρος του x

Νομίζω είναι τελείως εκτός λυκείου.

antwwwnis · 2012-02-18T13:14:29+0200

Αρχική Δημοσίευση από tebelis13:
Επειδή έχει ψοφήσει λίγο το thread,ποστάρω μια άσκηση αρκετά καλή η οποία δεν ξέρω αν ξεφεύγει απο την ύλη της γ'.
Να μελετηθεί ως προς την συνέχεια η συνάρτηση $f(x)=x-[x]$ όπου $[x]$ το ακέραιο μέρος του x

Έτσι για την ιστορία, πόσταρε τη λύση...

Imadlak · 2012-02-18T14:50:50+0200

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Νομίζω είναι τελείως εκτός λυκείου.

Πρεπει να ειναι...ακεραιο μερος στο λυκειο εγω παντως δεν ειχα ακουσει!

rebel · 2012-02-18T16:17:53+0200

Αν $x_0 \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ τότε έστω $r$ ο μοναδικός ακέραιος που είναι τέτοιος ώστε $r<x_0<r+1$ . Τότε για κάθε $x \in (r,r+1)$ είναι $f(x)=x-r$ με $\lim_{x \to x_0} f(x)=\lim_{x \to x_0} (x-r)= x_0-r=f(x_0)$ . Άρα η f είναι συνεχής για κάθε $x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ .
Έστω τώρα $x_0 \in \mathbb{Z}$ . Είναι
$f(x)= \begin{cases} x-x_0+1, & x \in (x_0-1,x_0) \\ x-x_0, & x \in [x_0,x_0+1) \end{cases}$
επομένως
$\lim_{x \to x_0^-}f(x)=1$
$\lim_{x \to x_0^+}f(x)=0$
Άρα η f δεν είναι συνεχής στους ακέραιους. Συμπερασματικά η f είναι συνεχής στο $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ και ασυνεχής στο $\mathbb{Z}$ .

drosos · 2012-02-18T16:39:46+0200

Σαφως και ειναι στο πνευμα της γ λυκειου (Δεν καταλαβα τιποτα

)

tebelis13 · 2012-02-18T20:41:49+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αν $x_0 \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ τότε έστω $r$ ο μοναδικός ακέραιος που είναι τέτοιος ώστε $r<x_0<r+1$ . Τότε για κάθε $x \in (r,r+1)$ είναι $f(x)=x-r$ με $\lim_{x \to x_0} f(x)=\lim_{x \to x_0} (x-r)= x_0-r=f(x_0)$ . Άρα η f είναι συνεχής για κάθε $x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ .
Έστω τώρα $x_0 \in \mathbb{Z}$ . Είναι
$f(x)= \begin{cases} x-x_0+1, & x \in (x_0-1,x_0) \\ x-x_0, & x \in [x_0,x_0+1) \end{cases}$
επομένως
$\lim_{x \to x_0^-}f(x)=1$
$\lim_{x \to x_0^+}f(x)=0$
Άρα η f δεν είναι συνεχής στους ακέραιους. Συμπερασματικά η f είναι συνεχής στο $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ και ασυνεχής στο $\mathbb{Z}$ .

Ωραίος.Αυτήν την "λυκειακή" λύση είχα και εγώ στο μυαλό μου.Εκτός λυκείου λύνεται εξίσου εύκολα με την χρήση ακολουθιών.

drosos · 2012-02-18T21:52:09+0200

Έστω συνάρτηση $f : (0,+\infty)\rightarrow R$ για την οποία ισχύει:
$xf'(x)=x{e}^{x}-x+1$
$f(1)=e$
α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της είναι $f(x)={e}^{x}+lnx-x+1$ (4 μόρια)
β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να αποδείξετε ότι έχει ένα σημείο καμπής. (6 μόρια)
γ) Να αποδείξετε οτι η f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. (5 μόρια)
δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $e^x+lnx-x=5$ (3 μόρια)
ε) Να βρείτε το εμβαδόν που περικλίεται από την f και της ευθείες x=1,x=e. (7 μόρια)

Μιας και μπαινουμε στην τελικη ευθεια ας αρχιζουμε να βαζουμε τετοιες ασκησεις που ζητανε συνηθως πανελληνιες!

vavlas · 2012-02-22T15:58:41+0200

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Έστω συνάρτηση $f : (0,+\infty)\rightarrow R$ για την οποία ισχύει:
$xf'(x)=x{e}^{x}-x+1$
$f(1)=e$
α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της είναι $f(x)={e}^{x}+lnx-x+1$ (4 μόρια)
β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να αποδείξετε ότι έχει ένα σημείο καμπής. (6 μόρια)
γ) Να αποδείξετε οτι η f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. (5 μόρια)
δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $e^x+lnx-x=5$ (3 μόρια)
ε) Να βρείτε το εμβαδόν που περικλίεται από την f και της ευθείες x=1,x=e. (7 μόρια)

Μιας και μπαινουμε στην τελικη ευθεια ας αρχιζουμε να βαζουμε τετοιες ασκησεις που ζητανε συνηθως πανελληνιες!

Βαριέμαι απίστευτα να γράφω την λύση

Δεν έχει νόημα κιόλας ας προσπαθήσει κάποιος που δίνει πανελλήνιες.

stelios1994-4 · 2012-02-23T16:07:48+0200

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
$\int_{1/2}^{2}\left|lnx \right|dx$
Βρίσκω f, αλλάζω τα όρια ολοκλήρωσης από $\int_{1/2}^{2}$ σε $\int_{1/2}^{1}$ και $\int_{1}^{2}$ , βρίσκω αρχικές βγάζω αποτέλεσμα. Κάνω κάτι λάθος????

soras7 · 2012-02-23T17:34:53+0200

Σωστα τα λες.Η αρχικη της lnx ειναι xlnx - x.

ArminVanBuuren · 2012-02-26T02:08:29+0200

[f'(x)-f(x)](x^2+1)=2xf(x)

βρειτε τον τυπο της f αν στο (0,f(0)) εχει εφαπτομενη καθετη στην ευθεια ε: y= -x+1

Civilara · 2012-02-26T02:35:27+0200

Αρχική Δημοσίευση από ArminVanBuuren:
[f'(x)-f(x)](x^2+1)=2xf(x)

βρειτε τον τυπο της f αν στο (0,f(0)) εχει εφαπτομενη καθετη στην ευθεια ε: y= -x+1

Η αρχική διαφορική εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

f΄(x)-f(x)=(2x/(x^2+1))f(x) => f΄(x)=((2x/(x^2+1))+1)f(x) => f΄(x)=((x+1)^2/(x^2+1))f(x)

Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=(f(x)e^(-x))/(x^2+1). Εφόσον η f είναι παραγωγίσιμη (στο R) τότε και η g είναι παραγωγίσιμη και αν υπολογίζουμε την παράγωγο προκύπτει αφού αντικαταστήσουμε την παραπάνω εξίσωση τότε προκύπτει g΄(x)=0. Άρα η g είναι σταθερή. Επομένως g(x)=c, όπου c ανήκει R.

g(x)=c => f(x)=c(x^2+1)e^x
Άρα η f έχει παράγωγο f΄(x)=c((x+1)^2)e^x

Από εκφώνηση γνωρίζουμε ότι f΄(0)*(-1)=-1 => f΄(0)=1
Άρα f΄(0)=c => c=1.

Επομένως f(x)=((x+1)^2)e^x

ArminVanBuuren · 1 Μαρτίου 2012 στις 18:24

f:[α,β]->R παραγωγισιμη α,β ανηκουν στο (0,π/2) f(α)=β f(β)=α και ισχυει ημα/α=ημβ/β

νδο:

α) υπαρχει τουλ ενα ξ (α,β) τ.ωστε

f'(ξ)εφξ + f(ξ)=0

β) υπαρχει τουλ ενα ξ (α,β) τ.ωστε f'(ξ)f'(f(ξ))=1

jjoohhnn · 1 Μαρτίου 2012 στις 20:57

Αρχική Δημοσίευση από ArminVanBuuren:
f:[α,β]->R παραγωγισιμη α,β ανηκουν στο (0,π/2) f(α)=β f(β)=α και ισχυει ημα/α=ημβ/β

νδο:

α) υπαρχει τουλ ενα ξ (α,β) τ.ωστε

f'(ξ)εφξ + f(ξ)=0

β) υπαρχει τουλ ενα ξ (α,β) τ.ωστε f'(ξ)f'(f(ξ))=1

α. Αντιπαραγώγιση στη δοσμένη εξίσωση και τελικά Rolle για τη g(x)=f(x)ημχ στο [α,β].
β. Τα ίδια και τελικά Rolle για τη φ(χ)= f(f(x))-x στο [α,β].

lostie · 3 Μαρτίου 2012 στις 11:13

να βρειτε το εμβαδον χωριου των f(x)= (x^2 + 1) /x , της εφαπτομενης στο (1,f(1) ) και της χ=2

tebelis13 · 3 Μαρτίου 2012 στις 17:17

Έφτιαξα μία άσκηση καλούτσικη,αποκλειστικά για μαθητές.*γέλιο Μότζο-Τζότο/δρακουμέλ/σατανικού χαρακτήρα καρτούν*
Λοιπόν

Nα συγκριθούν οι Κ και Ε !

$E=-\left[\frac{11112+(\int_{0}^{\pi/4}(tanx)^2)+\pi/4}{11117} \right]<br /> K=-\left[\frac{22224+4(\int_{0}^{1/\sqrt{\pi}}\sqrt{\frac{1}{\pi} -x^2})}{22229} \right]$

ArminVanBuuren · 4 Μαρτίου 2012 στις 17:04

f παραγωγισημη στο [0,1] με $f(x)>0$ και $f'(x)<-1$ για καθε $x \in [0,1]$

Ισχυει: $F(x)= \int_{a}^{b}f(x)dx * \int_{g}^{x} f(t)dt + \int_{a}^{g}f(x)dx * \int_{x}^{b} f(t)dt$

$0<a<b<g<1$

Ισχυει : $\int_{b}^{g}f(x)dx = 1$

α) νδο $F(x)= - \int_{a}^{x}f(t)dt$

β) νδο ισχυει $F(x)< \frac{{(f(x))}^{2}}{2}$ για καθε $x \in [0,1]$

και αλλη μια..

g(x) = f(x) - 1/x νδο 1/x+1 < g(x+1) - g(x) < 1/x για καθε x>0

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος