Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[13diagoras]

Σε αυτήν την περίπτωση έχει δωθεί ότι φ(0)=φ(1)=1, άρα είτε μιλάμε για άκρο του διαστήματος, είτε για εσωτερικό σημείο, το ακρότατο πάντα 1 θα κάνει, για αυτό έγραψα σε κάθε περίπτωση, παράλειψή μου

Πολυ ωραια!
Εγω ειχα σκεφτει Θ.Ρολε στο [0,1] οποτε υπαρχει ενα ξ ωστε η παραγωγος να μηδενιζεται ,ή ισοδυναμα να ειναι φ(ξ)=1.
Εφαρμοζοντας διαδοχικα αυτη τη διαδικασια σε καθε διαστημα που δημιουργειται,ολα τα χ στο [0,1] εχουν τιμη 1,και αποδεικνυεται το ζητουμενο.
Αλλα η δικη σου λυση ειναι πιο απλη και ωραια.

tebelis13:με μια πολυ γρηγορη ματια ,γιατι βιαζομαι,το λ'(ξ) το βαλες ισο με φ'(ξ) ? Γιατι ισχυει?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tebelis13]

Πολυ ωραια!
Εγω ειχα σκεφτει Θ.Ρολε στο [0,1] οποτε υπαρχει ενα ξ ωστε η παραγωγος να μηδενιζεται ,ή ισοδυναμα να ειναι φ(ξ)=1.
Εφαρμοζοντας διαδοχικα αυτη τη διαδικασια σε καθε διαστημα που δημιουργειται,ολα τα χ στο [0,1] εχουν τιμη 1,και αποδεικνυεται το ζητουμενο.
Αλλα η δικη σου λυση ειναι πιο απλη και ωραια.

tebelis13:με μια πολυ γρηγορη ματια ,γιατι βιαζομαι,το λ'(ξ) το βαλες ισο με φ'(ξ) ? Γιατι ισχυει?

φ(χ)=e^φ΄(χ) , έστω κ(χ)=φ(χ)=ε^φ΄(χ) .Ε αν κάνεις θ.μ.τ. στο [0,1] εδώ θα βγαλεις αυτό που έχω βγάλει για το λ΄(ξ)....

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[vassilis498]

<=>φ΄(ξ)=0
<=>φ(χ)=c

αυτό είναι σημείο, δεν μπορείς να αντιπαραγωγήσεις σημείο, πρέπει να ξέρεις ότι η παράγωγος είναι 0 για κάθε χ στο διάστημα, εκτός κι αν το κατάλαβα λάθος.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[red span]

Μια ομορφη ασκηση οχι τοσο για τις πανελληνιες αλλα για να δουμε πως συνδυαζονται τα μαθηματικα με την φυσικη
Εστω υ1 η ταχυτητα του φωτος στον αερα και υ2 στο νερο.Συμφωνα με την αρχη Fermat μια ακτινα φωτος απο ενα σημειο Α του αερα φτανει σε ενα σημειο Β του νερου ακολουθωντας μια Πορεια ΑΓΒ η οποια ελαχιστοποιει τον απαιτουμενο χρονο (οπου Γ το σημειο πανω στην καθετο που χωριζει τις επιφανειες)
Να βρειτε τον χρονο απο το Α στο Β (να θεωρησετε συναρτηση t(x) )
b)αποδειξτε οτι ημα/ημβ=υ1/υ2

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dias]

Μια ομορφη ασκηση οχι τοσο για τις πανελληνιες αλλα για να δουμε πως συνδυαζονται τα μαθηματικα με την φυσικη
Εστω υ1 η ταχυτητα του φωτος στον αερα και υ2 στο νερο.Συμφωνα με την αρχη Fermat μια ακτινα φωτος απο ενα σημειο Α του αερα φτανει σε ενα σημειο Β του νερου ακολουθωντας μια Πορεια ΑΓΒ η οποια ελαχιστοποιει τον απαιτουμενο χρονο (οπου Γ το σημειο πανω στην καθετο που χωριζει τις επιφανειες)
Να βρειτε τον χρονο απο το Α στο Β (να θεωρησετε συναρτηση t(x) )
b)αποδειξτε οτι ημα/ημβ=υ1/υ2

α) Δεν εξαρτάται από τις θέσεις των Α και Β? Μήπως λείπει κάποιο δεδομένο?
β) Μα, αυτός είναι ουσιαστικά ο νόμος του Snell !!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[lowbaper92]

@ redspan

Για να καταλάβεις πως λειτουργεί η άρνηση μιας πρότασης όταν πας με άτοπο, δες αυτήν:

Έστω συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει
Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R, να αποδειχθεί ότι

Ριξτε και σ'αυτή μια ματιά, την ξεχάσατε

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[red span]

α) Δεν εξαρτάται από τις θέσεις των Α και Β? Μήπως λείπει κάποιο δεδομένο?
β) Μα, αυτός είναι ουσιαστικά ο νόμος του Snell !!!

Ναι εξαρταται θεωρησε μια αποσταση χ ξερω εγω ,σε προιδιαζω θελει γεωμετρια και να βγαλεις μια συναρτηση του χρονου ως προς χ γιατι οσο πιο μακρια ειναι ενα υποθετικο σημειο Α τοσο πιο πολυ χρονο χρειαζεται για να κανει την διαδρομη ΑΓΒ
β)Μην κολας ο νομος Σνελλ βγαινει ουσιαστικα απο την Αρχη Φερμα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[red span]

@ redspan

Για να καταλάβεις πως λειτουργεί η άρνηση μιας πρότασης όταν πας με άτοπο, δες αυτήν:

Έστω συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει
Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R, να αποδειχθεί ότι

Εστω φ(χ)<>χ οποτε προκυπτει οτι χ1<>χ2 που ειναι ατοπο διοτι η φ ειναι 1-1
Αν δεν ελεγες οτι βγαινει με ατοπο δυσκολα θα πηγαινε το μυαλο μου εκει,Γενικα σε ποιες περιπτωσεις χρησιμοποιουμε ατοπο ειδικα στις συναρτισιακες σχεσεις?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[lowbaper92]

Εστω φ(χ)<>χ οποτε προκυπτει οτι χ1<>χ2 που ειναι ατοπο διοτι η φ ειναι 1-1

Αυτό το λάθος σου επισήμαναν και τα παιδιά πιο πάνω.. Ότι η άρνηση του "f(x)=x για κάθε χ" είναι "έστω ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον χ0 τέτοιο ώστε f(x0)<>x0"
Γενικά όταν δεν μπορείς να αποδείξεις το ζητούμενο κατευθείαν, το μυαλό σου πρέπει να πηγαίνει στο άτοπο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[lowbaper92]

Δίνεται συνάρτηση f στο R. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής με xεR, για τους οποίους γνωρίζουμε ότι .
α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει
β) Αν γνωρίζουμε ότι η f είναι κυρτή και να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[vassilis498]

^

Spoiler

Zx=x+i f'(x)

Zo=i f'(0)
Z1= 1+ i f'(1)


α) Z0 * Z1 = i f'(0) - f'(0)*f'(1)

Re(Zo*Z1)=-f'(0)*f'(1)>0 <--> f'(0)*f'(1)<0

f(x) συνεχής (ως παραγωγήσιμη) στο R
από Bolzano στο (0,1) προκύπτει το ζητούμενο

β)f(x) κυρτή άρα f'(x) γν. αύξουσα στο R
f'(1/2)=0

για χ<1/2 <--> f'(x)<f'(1/2) <--> f'(x)<0
για χ>1/2 <--> f'(x)>f'(1/2) <--> f'(x)>0

άρα f(x) γν αύξουσα για χ>1/2 και γν φθήνουσα για χ<1/2
στο σημείο χ=1/2 το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει και η δέυτερη παράγωγος είναι θετική άρα έχω ολικό ελάχιστο
edit: άκυρο το (α), δεν ξέρω αν η f'(x) είναι συνεχής

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dias]

ο νομος Σνελλ βγαινει ουσιαστικα απο την Αρχη Φερμα

Μήπως ισχύει το ανάποδο? Ο νόμος του Snell βγήκε πειραματικά και από αυτόν και άλλα πειραματικά δεδομένα προέκυψε η αρχή του Fermat? Οι φυσικοί νόμοι δεν προέκυψαν από τα μαθηματικά. Τα μαθηματικά δημιουργήθηκαν για να περιγράψουν τους φυσικούς νόμους.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[koum]

Μήπως ισχύει το ανάποδο? Ο νόμος του Snell βγήκε πειραματικά και από αυτόν και άλλα πειραματικά δεδομένα προέκυψε η αρχή του Fermat? Οι φυσικοί νόμοι δεν προέκυψαν από τα μαθηματικά. Τα μαθηματικά δημιουργήθηκαν για να περιγράψουν τους φυσικούς νόμους.

Νομίζω παρανόησες:

Η αρχή Fermat ΔΕΝ είναι μαθηματικά. Είναι καθαρή φυσική. Ο Fermat ήταν πολυάσχολος βλέπεις, δεν του έφταναν τα μαθηματικά και επεκτάθηκε και στη φυσική.


Σχετικό link.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dias]

Η αρχή Fermat ΔΕΝ είναι μαθηματικά. Είναι καθαρή φυσική. Ο Fermat ήταν πολυάσχολος βλέπεις, δεν του έφταναν τα μαθηματικά και επεκτάθηκε και στη φυσική.

Το ξέρω. Εσύ παρανόησες. Αυτό που είπα ήταν ότι η αρχή του Fermat είναι συμπέρασμα πειραματικών νόμων και όχι το αντίθετο που με είπε ο φίλος μου ο Spin-Span.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[red span]

Μια ομορφη ασκηση οχι τοσο για τις πανελληνιες αλλα για να δουμε πως συνδυαζονται τα μαθηματικα με την φυσικη
Εστω υ1 η ταχυτητα του φωτος στον αερα και υ2 στο νερο.Συμφωνα με την αρχη Fermat μια ακτινα φωτος απο ενα σημειο Α του αερα φτανει σε ενα σημειο Β του νερου ακολουθωντας μια Πορεια ΑΓΒ η οποια ελαχιστοποιει τον απαιτουμενο χρονο (οπου Γ το σημειο πανω στην καθετο που χωριζει τις επιφανειες)
Να βρειτε τον χρονο απο το Α στο Β (να θεωρησετε συναρτηση t(x) )
b)αποδειξτε οτι ημα/ημβ=υ1/υ2

O Φερμα απεδειξε πειραματικα οτι το φως κανει τον ελαχιστο χρονο για να κανει μια διαδρομη
Αρα για να ειναι ο χρονος ελαχιστος πρεπει t' (x)=0 ετσι βγαινει ημα/ημβ=υ1/υ2
Αρκη να βρεις την συναρτηση του χρονου να παραγωγισεις να δεις που μηδεινιζετε η παραγωγος κτλπ
Αυτη η ασκηση περιεχεται στο βιβλιο της γενικης παιδιας

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dias]

Ο Fermat ήταν πολυάσχολος βλέπεις, δεν του έφταναν τα μαθηματικά και επεκτάθηκε και στη φυσική.

Μιλάμε για τον 17ο αιώνα. Τότε δεν υπήρχαν ξεχωριστά μαθηματικοί και φυσικοί. Η φυσική και τα μαθηματικά ήταν μία ενιαία επιστήμη εκείνη την εποχή.

O Φερμα απεδειξε πειραματικα οτι το φως κανει τον ελαχιστο χρονο για να κανει μια διαδρομη. Αρα για να ειναι ο χρονος ελαχιστος πρεπει t' (x)=0 ετσι βγαινει ημα/ημβ=υ1/υ2

Πάλι ανάποδα τα βλέπεις. Πώς μπόρεσε το 1600-τόσο ο Fermat να κάνει τέτοιο πείραμα? Επίσης, αν δεις τα βιογραφικά Snell ( https://users.sch.gr/kassetas/zzzzzzzphSNELL.htm ) και Fermat ( https://danaos.cslab.ntua.gr/~ekall/Science/Other_docs/fermat_last_theorem.htm ) φαίνεται καθαρά ότι πρώτα ο Snell διατύπωσε το νόμο του από πειραματικά δεδομένα και μερικές δεκαετίες αργότερα ο Fermat την αρχή του ελάχιστου χρόνου, στηριζόμενος στα πειραματικά δεδομένα των προηγούμενων. Σαφώς και αυτό που έκανε ο Fermat ήταν σπουδαίο (κανένας δεν λέει όχι). Διατύπωσε μια θεωρία που επαλήθευε τα ως τότε πειραματικά δεδομένα και μάλιστα μπορούσε να προβλέψει και άλλα φαινόμενα. Έτσι δουλεύουν οι θετικές επιστήμες. Ενώνουν πειραματικά δεδομένα σε ενιαία θεωρία και τα αναλύουν με τη βοήθεια των μαθηματικών.

Υ.Γ. Σίγουρα βγήκαμε OFF, όμως η συζήτηση είναι ενδιαφέρουσα και δεν ξέρω αν θα μπορούσε να μεταφερθεί σε άλλο θέμα. Ίσως ένα split "Μέθοδος των θετικών επιστημών"? (Δεν ξέρω...)​

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[despoina_92]

Αν θέλετε καλές ασκήσεις,δείτε τις ασκήσεις που προτείνει η Μαθηματική Εταιρεία , εφόσον έχετε βγάλει όλη την ύλη όμως.. Κι εγώ ασχολήθηκα πέρσι μαζί τους κανά μήνα πριν τις εξετάσεις και με βοήθησαν αρκετά.. Κι όπου έχετε πρόβλημα,κοιτάτε την λύση και προσπαθήστε να τη λύσετε μόνοι σας άλλη μέρα..

https://www.hms.gr/?q=taxonomy/term/7,79


Αν μπορείτε να λύσετε αυτές,πάτε για πολύ καλό βαθμό στις πανελλήνιες
Και σαφώς,να ασχοληθείτε με παλιά θέματα Πανελληνίων.. Θα βοηθήσουν κι αυτά..
Α!! Και μην ασχολείστε με τρελά πράγματα! Γ' Λυκείου είστε..! Θα βάλουν κάτι που περιλαμβάνετε στην ύλη σας,και μόνο..

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[koum]

Μιλάμε για τον 17ο αιώνα. Τότε δεν υπήρχαν ξεχωριστά μαθηματικοί και φυσικοί. Η φυσική και τα μαθηματικά ήταν μία ενιαία επιστήμη εκείνη την εποχή.

Εντάξει, ενιαία δεν το λες. Απλά και οι δύο επιστήμες (ιδίως η φυσική) δεν είχαν εξελιχθεί αρκετά, με αποτέλεσμα τα τότε λαμπρά μυαλά της εποχής να διεισδύσουν και στις δύο. Το γεγονός ωστόσο είναι πως μιλάμε για αλληλένδετες επιστήμες. Ο ίδιος ο Einstein είχε χαρακτηρίσει τον εαυτό του ως κακό μαθηματικό, και έδωσε credits για πολλές από τις θεωρίες του στον Καραθεοδωρή, χωρίς τον οποίο δεν θα μπορούσε να τις "μαθηματικοποιήσει". Οπότε ναι, είναι προφανές ότι συνυπάρχουν.

Πάλι ανάποδα τα βλέπεις. Πώς μπόρεσε το 1600-τόσο ο Fermat να κάνει τέτοιο πείραμα?

Μισό να τον πάρω τηλέφωνο.

Επίσης, αν δεις τα βιογραφικά Snell ( https://users.sch.gr/kassetas/zzzzzzzphSNELL.htm ) και Fermat ( https://danaos.cslab.ntua.gr/~ekall/Science/Other_docs/fermat_last_theorem.htm ) φαίνεται καθαρά ότι πρώτα ο Snell διατύπωσε το νόμο του από πειραματικά δεδομένα και μερικές δεκαετίες αργότερα ο Fermat την αρχή του ελάχιστου χρόνου, στηριζόμενος στα πειραματικά δεδομένα των προηγούμενων.

Μην τα βλέπεις χρονολογικά τα γεγονότα. Δες την ουσία. Αυτό που ο Fermat έδειξε ήταν κάτι πιο ευρύ από αυτό που ήδη είχε αποδείξει ο Snell. Από αυτήν την έννοια, ο νόμος του Snell απορρέει από την αρχή του Fermat, και όχι το αντίστροφο.

Θα μπορούσες δηλαδή να χαρακτηρίσεις το νόμο του Snell ως υποσύνολο της αρχής του Fermat . Αυτό δε σημαίνει ότι το υποσύνολο είναι απαραίτητα υποδεέστερο του συνόλου. Ίσως είναι και μεγαλύτερης σημασίας από το ίδιο το σύνολο.

Σίγουρα βγήκαμε OFF, όμως η συζήτηση είναι ενδιαφέρουσα και δεν ξέρω αν θα μπορούσε να μεταφερθεί σε άλλο θέμα. Ίσως ένα split "Μέθοδος των θετικών επιστημών"?

+

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dias]

Εντάξει, ενιαία δεν το λες. Απλά και οι δύο επιστήμες (ιδίως η φυσική) δεν είχαν εξελιχθεί αρκετά, με αποτέλεσμα τα τότε λαμπρά μυαλά της εποχής να διεισδύσουν και στις δύο. Το γεγονός ωστόσο είναι πως μιλάμε για αλληλένδετες επιστήμες. Ο ίδιος ο Einstein είχε χαρακτηρίσει τον εαυτό του ως κακό μαθηματικό, και έδωσε credits για πολλές από τις θεωρίες του στον Καραθεοδωρή, χωρίς τον οποίο δεν θα μπορούσε να τις "μαθηματικοποιήσει". Οπότε ναι, είναι προφανές ότι συνυπάρχουν.

Για μέχρι τον 19ο αιώνα δεν ήταν ξεχωριστές επιστήμες ακόμα. Τον 19ο αιώνα άρχισε ο διαχωρισμός, ακριβώς γιατί το απαιτούσε η εξέλιξη. Ο Einstein έζησε στον 20ο αιώνα.

Μισό να τον πάρω τηλέφωνο.

Να τον κάνεις ένα τηλέφωνο να βρεθείτε, να σε ψήσει καφέ και να με πεις μετά τι σε είπε.

Μην τα βλέπεις χρονολογικά τα γεγονότα. Δες την ουσία. Αυτό που ο Fermat έδειξε ήταν κάτι πιο ευρύ από αυτό που ήδη είχε αποδείξει ο Snell. Από αυτήν την έννοια, ο νόμος του Snell απορρέει από την αρχή του Fermat, και όχι το αντίστροφο. Θα μπορούσες δηλαδή να χαρακτηρίσεις το νόμο του Snell ως υποσύνολο της αρχής του Fermat . Αυτό δε σημαίνει ότι το υποσύνολο είναι απαραίτητα υποδεέστερο του συνόλου. Ίσως είναι και μεγαλύτερης σημασίας από το ίδιο το σύνολο.

Δεν νομίζω να είπα κάτι διαφορετικό:

... πρώτα ο Snell διατύπωσε το νόμο του από πειραματικά δεδομένα και μερικές δεκαετίες αργότερα ο Fermat την αρχή του ελάχιστου χρόνου, στηριζόμενος στα πειραματικά δεδομένα των προηγούμενων. Σαφώς και αυτό που έκανε ο Fermat ήταν σπουδαίο (κανένας δεν λέει όχι). Διατύπωσε μια θεωρία που επαλήθευε τα ως τότε πειραματικά δεδομένα και μάλιστα μπορούσε να προβλέψει και άλλα φαινόμενα. Έτσι δουλεύουν οι θετικές επιστήμες. Ενώνουν πειραματικά δεδομένα σε ενιαία θεωρία και τα αναλύουν με τη βοήθεια των μαθηματικών.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[lowbaper92]

^

Spoiler

Zx=x+i f'(x)

Zo=i f'(0)
Z1= 1+ i f'(1)


α) Z0 * Z1 = i f'(0) - f'(0)*f'(1)

Re(Zo*Z1)=-f'(0)*f'(1)>0 <--> f'(0)*f'(1)<0

f(x) συνεχής (ως παραγωγήσιμη) στο R
από Bolzano στο (0,1) προκύπτει το ζητούμενο

β)f(x) κυρτή άρα f'(x) γν. αύξουσα στο R
f'(1/2)=0

για χ<1/2 <--> f'(x)<f'(1/2) <--> f'(x)<0
για χ>1/2 <--> f'(x)>f'(1/2) <--> f'(x)>0

άρα f(x) γν αύξουσα για χ>1/2 και γν φθήνουσα για χ<1/2
στο σημείο χ=1/2 το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει και η δέυτερη παράγωγος είναι θετική άρα έχω ολικό ελάχιστο
edit: άκυρο το (α), δεν ξέρω αν η f'(x) είναι συνεχής

Σορρυ λάθος μου, η f' είναι συνεχής.. Το πρόβλημα είναι στο β.. έχεις δύο σημεία μηδενισμού της παραγώγου, οπότε δεν φτάνουν αυτά που γράφεις

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.