Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

CallOfDuty4 · 3 Μαΐου 2010 στις 15:47

Πηρα αυτο το ολοκληρωμα $\int_{0}^{2}g\left(t \right) + 1/2 dt >0$

και μου βγηκε καπως ετσι

$\int_{0}^{2}g\left(t \right) + 1/2 dt >0 => \int_{0}^{2} g\left(t \right)dt + \int_{0}^{2} 1/2 dt >0 => \int_{0}^{2}g\left(t \right) dt + [ \frac{{x}^{2}}{4} ] >0$ απο 0 εως 2 $\int_{0}^{2}g\left(t \right) dt + 1>0 => \int_{0}^{2}g\left(t \right) dt > -1$

kostaspotter · 3 Μαΐου 2010 στις 16:08

Αρχική Δημοσίευση από CallOfDuty4:
Πηρα αυτο το ολοκληρωμα $\int_{0}^{2}g\left(t \right) + 1/2 dt >0$

$\int_{0}^{2} 1/2 dt = \frac{{x}^{2}}{4}$

Το παραπάνω ολοκλήρωμα το έκανες λάθος!
Αν παραγωγίσεις την $h(x)=\frac{{x}^{2}}{4}$ σου βγαίνει $\frac{x}{2}$ και όχι 1/2 όπως είναι στο ολοκλήρωμα!!!
Επομένως το $\int_{0}^{2} 1/2 dt$ είανι ίσο με $\frac{x}{2}$ από το 0 στο 2

CallOfDuty4 · 3 Μαΐου 2010 στις 16:11

Αρχική Δημοσίευση από kostaspotter:
Το παραπάνω ολοκλήρωμα το έκανες λάθος!
Αν παραγωγίσεις την $h(x)=\frac{{x}^{2}}{4}$ σου βγαίνει $\frac{x}{2}$ και όχι 1/2 όπως είναι στο ολοκλήρωμα!!!
Επομένως το $\int_{0}^{2} 1/2 dt$ είανι ίσο με $\frac{x}{2}$ από το 0 στο 2

Ωπα ναι εχεις δικιο... Τι μ@@κια εκανα...

Mα και παλι απλοποιειται και βγαινει ενα.. Επειδη μπερδευτικα παω να την ξανα λυσω και επανερχομαι το βραδακι

kostaspotter · 3 Μαΐου 2010 στις 16:35

Σήμερα στο σχολείο μας έβαλε η Μαθηματικός μια καλή άσκηση!!!
Ορίστε λοιπόν:

Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις $f(x) \neq 0$ και $\int_{1}^{x}{e}^{t}f(t)dt \geq x-1$
Να δείξετε ότι:
$1) f(1) = \frac{1}{e}$
$2) f(x) \succ 0$ ( f(x) είναι θετική ) για κάθε xεR
$3)$ Η εξίσωση $f(x)=x$ έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο $\left(0,\right1)$
$4)$ Από τους μιγαδικούς z που ικανοποιούν την ισότητα $\left|z-2ef(1)+i \right| = \frac{\sqrt{5}}{2}$ να βρείτε εκείνον που έχει το μεγαλύτεο και εκείνον που έχει το μικρότερο μέτρο.

Καλή διασκέδαση...

coheNakatos · 3 Μαΐου 2010 στις 16:42

1)Fermat
2)f διατηρει το προσημο της και f(1)=1/e
3)bolzano
4)...

kostaspotter · 3 Μαΐου 2010 στις 18:57

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
1)Fermat
2)f διατηρει το προσημο της και f(1)=1/e
3)bolzano
4)...

1)

2)

3)

4)

Το πιο εύκολο είναι...Γτ δεν το βρήκες;

lowbaper92 · 3 Μαΐου 2010 στις 19:05

Αρχική Δημοσίευση από kostaspotter:
$4)$ Από τους μιγαδικούς z που ικανοποιούν την ισότητα $\left|z-2ef(1)+i \right| = \frac{\sqrt{5}}{2}$ να βρείτε εκείνον που έχει το μεγαλύτεο και εκείνον που έχει το μικρότερο μέτρο.

Αυτοί είναι?

Για ελάχιστο ${z}_{1}=1-\frac{1}{2}i$ και για μέγιστο ${z}_{2}=3-\frac{3}{2}i$

kostaspotter · 3 Μαΐου 2010 στις 19:10

Άλλη μια καλή!

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με Df=f(A)=R που ικανοποιεί τη σχέση $\int_{1}^{f(x)}3{t}^{2}+2dt = x$
$1)$ Να δείξετε ότι ${f(x)}^{3}+2f(x)=x+3$ για κάθε xεR
$2)$ Να δείξετε πως η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την ${f}^{-1}$
$3)$ Να υπολογίσετε το εμβαδό της Cf που περικλύεται από τους άξονες x'x και ψ'ψ
$4)$ Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf που διέρχεται από το Α(-1,0)

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Αυτοί είναι?

Για ελάχιστο ${z}_{1}=1-\frac{1}{2}i$ και για μέγιστο ${z}_{2}=3-\frac{3}{2}i$

4)

Να σε ρωτήσω;;Το spoiler πως το βάζεις;

lowbaper92 · 3 Μαΐου 2010 στις 19:23

Αρχική Δημοσίευση από kostaspotter:
Να σε ρωτήσω;;Το spoiler πως το βάζεις;

Όπως το λάτεξ αλλά αντί για τη λεξη "λατεξ" βάζεις "σποιλερ"

kostaspotter · 3 Μαΐου 2010 στις 19:32

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Όπως το λάτεξ αλλά αντί για τι λεξη "λατεξ" βάζεις "σποιλερ"

Thanks a lot!!!!

lowbaper92 · 3 Μαΐου 2010 στις 19:41

Αρχική Δημοσίευση από kostaspotter:
Άλλη μια καλή!

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με Df=f(A)=R που ικανοποιεί τη σχέση $\int_{1}^{f(x)}3{t}^{2}+2dt = x$
$1)$ Να δείξετε ότι ${f(x)}^{3}+2f(x)=x+3$ για κάθε xεR
$2)$ Να δείξετε πως η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την ${f}^{-1}$
$3)$ Να υπολογίσετε το εμβαδό της Cf που περικλύεται από τους άξονες x'x και ψ'ψ
$4)$ Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf που διέρχεται από το Α(-1,0)

Καλή ασκησούλα..
α) Παραγωγίζοντας και ολοκληρώνοντας αόριστα φτανουμε ${f}^{3}\left(x \right)+2f\left(x \right)=x+c$
Για χ=0 στην αρχική
$I= \int_{1}^{f\left(0 \right)}\left(3{t}^{2} +1\right)dt=0$
H συνάρτηση μέσα στο ολοκληρωμα είναι θετική. Αν f(0)>1 και και ολοκληρώσουμε από 1 εως f(0) την $3{t}^{2}+2$ το $I$ βγαίνει θετικό (άτοπο). Ομοίως αν f(0)<1
Άρα f(0)=1
Για χ=0 έχουμε c=3
β)
$f'\left(x \right)=\frac{1}{3{f}^{2}\left(x \right)+2}>0$ άρα είναι γνησίως αύξουσα και 1-1 με
${f}^{-1}\left(x \right)={x}^{3}+2x-3$

Έφυγα για μάθημα, θα την κοιτάξω άλλη ώρα

kostaspotter · 3 Μαΐου 2010 στις 20:01

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Καλή ασκησούλα..
α) Παραγωγίζοντας και ολοκληρώνοντας αόριστα φτανουμε ${f}^{3}\left(x \right)+2f\left(x \right)=x+c$
Για χ=0 στην αρχική
$I= \int_{1}^{f\left(0 \right)}\left(3{t}^{2} +1\right)dt=0$
H συνάρτηση μέσα στο ολοκληρωμα είναι θετική. Αν f(0)>1 και και ολοκληρώσουμε από 1 εως f(0) την $3{t}^{2}+2$ το $I$ βγαίνει θετικό (άτοπο). Ομοίως αν f(0)<1
Άρα f(0)=1
Για χ=0 έχουμε c=3

Εγώ ολοκλήρωσα κατευθείαν δλδ:

$\int_{1}^{f(x)}3{t}^{2}+2dt = x \Leftrightarrow \left[ {t}^{3}\right]$ από $1$ έως $f(x)$ $+$ $\left[ 2x\right]$ από $1$ έως $f(x)=x$ εε και κτλβαινεις από εδώ και πέρα!!!

Πως όμως βρήκες πως το $I = \int_{1}^{f(0)}3{t}^{2}+2dt = 0$ ;;;;

Το β το έκανα όπως εσύ!!!
Όταν γυρήσεις βρες τις απαντήσεις γτ αυτή μας την έβαλε για το σπίτι και την έλυσα τώρα!!!
Οπότε αν είναι να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα!!!Σου παραθέτω μόνο τα αποτελέσματα παρακάτω:

Στο 3) βρήκα αποτέλεσμα $\frac{7}{4}$ τετραγωνικές μοναδες και στο 4) την εξίσωση της εφαπτομένης τη βρήκα $\psi = \frac{\chi }{5} - \frac{1}{5}$

lowbaper92 · 3 Μαΐου 2010 στις 23:21

Αρχική Δημοσίευση από kostaspotter:
Εγώ ολοκλήρωσα κατευθείαν δλδ:

$\int_{1}^{f(x)}3{t}^{2}+2dt = x \Leftrightarrow \left[ {t}^{3}\right]$ από $1$ έως $f(x)$ $+$ $\left[ 2x\right]$ από $1$ έως $f(x)=x$ εε και κτλβαινεις από εδώ και πέρα!!!

Πως όμως βρήκες πως το $I = \int_{1}^{f(0)}3{t}^{2}+2dt = 0$ ;;;;

Το β το έκανα όπως εσύ!!!
Όταν γυρήσεις βρες τις απαντήσεις γτ αυτή μας την έβαλε για το σπίτι και την έλυσα τώρα!!!
Οπότε αν είναι να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα!!!Σου παραθέτω μόνο τα αποτελέσματα παρακάτω:

Στο 3) βρήκα αποτέλεσμα $\frac{7}{4}$ τετραγωνικές μοναδες και στο 4) την εξίσωση της εφαπτομένης τη βρήκα $\psi = \frac{\chi }{5} - \frac{1}{5}$

Όντως τζάμπα κόπος ήταν αυτό που έκανα..μπορούσα να ολοκληρώσω κατευθείαν.

Αν στην αρχική σχέση με το ολοκλήρωμα θέσεις χ=0 σου δίνει αυτό. Μην σε αποσυντονίζει που το ονόμασα $I$ . Για να γλιτώσω χρόνο οταν το αναφέρω το έκανα.
Στο εμβαδόν συμφωνούμε. Με αλλαγή μεταβλητής το έκανες ή χρησημοποίησες τη σχέση από το (α) ερώτημα?
Στην εξίσωση της εφαπτομένης κάτι δεν μου κολλάει. Ή υπάρχει λάθος στην εκφώνηση ή σε κάποια πράξη σου γιατί η εξίσωση που βρήκες δε διέχεται από το Α.

coheNakatos · 3 Μαΐου 2010 στις 23:46

Αρχική Δημοσίευση από kostaspotter:
1)
2)
3)
4) Το πιο εύκολο είναι...Γτ δεν το βρήκες;

Απλα βαριομουν να γραφω την απαντηση στο λατεχ

kostaspotter · 4 Μαΐου 2010 στις 15:19

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Όντως τζάμπα κόπος ήταν αυτό που έκανα..μπορούσα να ολοκληρώσω κατευθείαν.
Αν στην αρχική σχέση με το ολοκλήρωμα θέσεις χ=0 σου δίνει αυτό. Μην σε αποσυντονίζει που το ονόμασα $I$ . Για να γλιτώσω χρόνο οταν το αναφέρω το έκανα.

Α οκ κτλβα!!!

Στο εμβαδόν συμφωνούμε. Με αλλαγή μεταβλητής το έκανες ή χρησημοποίησες τη σχέση από το (α) ερώτημα?

Αλλαγή μεταβλητής μου ήρθε και το έκανα και ευτυχώς μου βγήκε!!!

Στην εξίσωση της εφαπτομένης κάτι δεν μου κολλάει. Ή υπάρχει λάθος στην εκφώνηση ή σε κάποια πράξη σου γιατί η εξίσωση που βρήκες δε διέχεται από το Α.

Ναι όντως!!!Η ευθεία μου δεν διέρχεται από το Α(-1,0) και δεν το έλεγξα να δω στο τέλος αν το βρήκα σωστά!
να σου πω πως το έκανα;Λοιπόν βρήκα το συμετρικό σημείο ως προς την ψ=x του Α και είναι το Β(0,-1)!Μετά βρήκα την εφαπτομένη η οποία διέρχεται από το Β και εφάπτεται στην αντίστροφη της f!Και είπα πως εαν αντιστρέψω την εφαπτομένη που βρήκα τότε η εξίσωση που βγαίνει θα είναι η εφαπτομένη της Cf η οπόια θα διέρχεται από το Α...
Αλλά δεν μου έκοψε να το ελέγξω χρησιμοποιόντας το Α σημείο...Είναι σωστό αυτό που έκανα τλκα ή όχι;
*Σήμερα δεν μας την έλυσε η καθηγήτρια επειδή έλειπε και κάνμε κενή! :s

lowbaper92 · 4 Μαΐου 2010 στις 17:33

Αρχική Δημοσίευση από kostaspotter:
Αλλαγή μεταβλητής μου ήρθε και το έκανα και ευτυχώς μου βγήκε!!!

Ένας άλλος τρόπος είναι να πολλαπλασιάσεις τη σχέση απο το (α) με f'(x) και να ολοκληρώσεις από -3 έως 0. Εκεί μέσα με μια παραγοντική θα σου διμιουργηθεί το εμβαδό.

Για την εφαπτομένη θα σε γελάσω,οταν μαθεις λύση ανέβασε τη

Stavros_ribo · 4 Μαΐου 2010 στις 20:03

Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf που διέρχεται από το Α(-1,0

Την εφαπτομένη τη βρίσκω ψ=(1/5)χ+1/5

kostaspotter · 4 Μαΐου 2010 στις 20:42

Ναι όντως εγώ την μλκια την έκανα σε ένα πρόσημο και μου βγήκε λάθος στο τέλος!
Τώρα την βγάζω και εγώ όπως και ο φίλος stavros_ribo δλδ $\psi = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5}$ που όντως τώρα την ικανοποιεί το σημείο Α(-1,0)...
Πωωωω ρε φίλε... στις πανελλήνιες θα την κάνω την μ@λ@κια, θα ΄χασω το πρόσημο και θα βρω λάθος αποτέλεσμα...σκέτη απελπισία... :worry:

Φίλε stavros_ribo με ποιον τρόπο βρήκες την εφαπτομένη;Εγώ αναφέρω την διαδικασία στην προηγούμενη σελίδα!!
Ρώτησα τον καθηγητή μου στο φροντιστήριο και μου είπε πως δεν υπάρχει κάποιο θεώρημα που να λέει πως οι αντίστροφες συναρτήσεις έχουν αντίστροφες εφαπτομένες σε κάθε σημείο, αλλά με τη λογική φαίνεται πάρα πολύ σωστό!!!

Rempeskes · 4 Μαΐου 2010 στις 23:17

Ρώτησα τον καθηγητή μου στο
φροντιστήριο και μου είπε πως δεν
υπάρχει κάποιο θεώρημα που να λέει πως
οι αντίστροφες συναρτήσεις έχουν
αντίστροφες εφαπτομένες σε κάθε σημείο, αλλά με τη λογική φαίνεται πάρα πολύ σωστό!!

δεν θυμαται ο ανθρωπος.
Ισχυει παντως οτι, για αντιστρεψιμη $f$ και σε σημειο $y$ οπου η αντιστροφη παραγωγιζεται, $(f^{-1})'(y)=1/f'(f^{-1}(y))$ .

Η αποδειξη στην ευκολη περιπτωση ακολουθει το σκεπτικο $\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(z)}{y-z}=\frac{1}{\frac{f(x)-f(t)}{x-t}}$ για
$f^{-1}(y)=x, f^{-1}(z)=t$ .

ps. ρε παιδες λατεξ ειναι το ελαστικο υλικο με το οποιο κατασκευαζονται εξαρτηματα που κολλουν στο σωμα ως προστατευτικο (πχ... χειρουργικα γαντια). Ο κοσμος το αποκαλει το δικο μας "λατεκ"/"λεητεκ".

Stavros_ribo · 5 Μαΐου 2010 στις 00:26

Εξίσωση εφαπτομένης:
ψ-f(Xo)=f'(Xo)(X-Xo) για ψ=0 και χ=-1 θα έχουμε f(Xo)=f'(Xo)(1+Xo)
έστω Χο=f^(-1)(u) άρα u=f'(f^(-1)(u))(1+f^(-1)(u)) και με αντικατάσταση από τον τύπο της αντίστροφης και λέγοντας ότι f(f^(-1)u))=u <=>f'(f^(-1)(u))*(f^(-1)(u))'=1<=>f'(f^(-1)(u))=1/(3u^2+2) έχουμε:
u=(u^3+2u-2)/(3u^2+2) και βγαίνει u=-1 άρα Χο=f^(-1)(-1)=-6
f^(-1)(-1)=-6<=>f(-6)=-1 και από τον τύπο f'(f^(-1)(u))=1/(3u^2+2) βγαίνει ότι f'(-6)=1/5
άρα ψ+1=1/5(χ+6)<=>ψ=(1/5)Χ+1/5

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος