Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

coheNakatos · 2010-02-15T15:28:21+0200

Αφου f(x)>=0 οι ριζες ειναι τοπικα ελαχιστα αρα f'(j1)=0 και f'(j2)=0 ,και με ενα Rolle στο [j1,j2] -> f'(j)=0

Με διαδοδικα Rolle για την f' εχουμε f''(x1)=f''(x2)=0 αρα Παλι απο Rolle υπαρχει ενα ξ στο (x1,x2): f'''(ξ)=0

Eukleidis · 2010-02-18T20:35:25+0200

Σε σποιλερ οι απαντήσεις

Να βρεθεί η πραγματική συνάρτηση $f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx$ αν ισχύει ότι:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x)}}{x} = 2$ και $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x)}}{{x - 1}} = 1$

Δίνονται οι συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύουν τα εξής:

H f είναι παραγωγίσιμη στο R.
$f( - x) = f(x),\forall x \in {\Cal R}$
$f(0) = 1$
$f(x) = \left( {{x^2} + x + 1} \right) \cdot g(x) + {x^2} - x,\forall x \in {\Cal R}$

Να αποδείξετε ότι
α) $f'( - x) = - f'(x),\forall x \in {\Cal R}$
β) $g'(0) = 0$

lowbaper92 · 2010-02-18T21:25:19+0200

Αρχική Δημοσίευση από Eukleidis:
Σε σποιλερ οι απαντήσεις

Να βρεθεί η πραγματική συνάρτηση $f(x) = a{x^3} + b{x^2} + c$ αν ισχύει ότι:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x)}}{x} = 2$ και $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x)}}{{x - 1}} = 1$

Δίνονται οι συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύουν τα εξής:

H f είναι παραγωγίσιμη στο R.

$f( - x) = f(x),\forall x \in {\Cal R}$

$f(0) = 1$

$f(x) = \left( {{x^2} + x + 1} \right) \cdot g(x) + {x^2} - x,\forall x \in {\Cal R}$

Να αποδείξετε ότι
α) $f'( - x) = - f'(x),\forall x \in {\Cal R}$
β) $g'(0) = 0$

1) Μήπως στο πρώτο όριο το x τείνει στο 0? Γιατί αλλιως βγαινει οτι a+b+c=0 και a+b+c=2 που δεν μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα.
2) i) Παραγωγίζεις την (2) και βγαίνει κατευθείαν.
ii) Απ'τις (2) και (4) έχουμε ότι $f'\left(0 \right)=0$ και $g\left(0 \right)=1$
Παραγωγίζουμε την (4), θετουμε χ=0 και βγήκε.

Eukleidis · 2010-02-18T21:30:05+0200

Ενα x είχε ξεφύγει δες τηνα αλλη μια.

coheNakatos · 2010-02-18T21:44:37+0200

Αρχική Δημοσίευση από Eukleidis:
Σε σποιλερ οι απαντήσεις

Να βρεθεί η πραγματική συνάρτηση $f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx$ αν ισχύει ότι:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x)}}{x} = 2$ και $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x)}}{{x - 1}} = 1$

Δίνονται οι συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύουν τα εξής:

H f είναι παραγωγίσιμη στο R.

$f( - x) = f(x),\forall x \in {\Cal R}$

$f(0) = 1$

$f(x) = \left( {{x^2} + x + 1} \right) \cdot g(x) + {x^2} - x,\forall x \in {\Cal R}$

Να αποδείξετε ότι
α) $f'( - x) = - f'(x),\forall x \in {\Cal R}$
β) $g'(0) = 0$

1) Στο 1ο οριο το χ-> 1 ? ή στο μηδεν ??
2) $f(-x)=f(x) \Leftrightarrow -f'(-x)=f'(x) \Leftrightarrow f'(-x)=-f'(x)$
$f'(0)=-f'(0) \Leftrightarrow f'(0)=0$
$f(0)=g(0)=1$
$f'(x)=(2x+1)g(x)+({x}^{2}+x+1)g'(x)+2x-1$
$f'(0)= g(0)+g'(0)-1 \Leftrightarrow g'(0)=f'(0)=0$

Eukleidis · 2010-02-18T21:47:03+0200

στο 1

coheNakatos · 2010-02-18T21:49:14+0200

Μην επιμενεις αυτο δινει 0=2 με λιγα λογια οπως ειπε και ο lowbaper

lowbaper92 · 2010-02-19T13:42:15+0200

Δίνεται συνάρτηση f: (0,π/2)->R, 2 φορές παραγωγίσιμη, με f(0)=0 και f'(0)=1 για την οποία ισχύει ότι $f''\left(x \right)+f\left(x \right)>0$ για καθε xε(0,π/2).
Να αποδείξετε ότι $f\left(x \right)>\eta \mu x$ για κάθε χε(0,π/2)

djimmakos · 14 Μαρτίου 2010 στις 12:50

Βάζω δυο κλασσικές και εύκολες άσκησεις στους μιγαδικούς τις οποίες έχετε σχεδόν όλοι λύσει. Το θέμα είναι ότι βρήκα δυο ωραίες λύσεις τις οποίαες αξίζει να παραθέσω (αν δεν τις βρει κανείς πρώτος και τις βάλει πρώτος) για λόγους μαθηματικής...πολυφωνίας.

1)
Δίνονται οι διαφορετικοί μιγαδικοί ${z}_{1} , {z}_{2}$ με $\left|\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{{z}_{1}-{z}_{2}}\right|=1$ . Να αποδείξετε ότι ο $\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$ είναι φανταστικός.

2) Δίνονται οι μιγαδικοί $z, w$ με $|z|=|w|=1$ . Να δείξετε ότι ο αριθμός $v=\frac{z-w}{1+zw}$ είναι φανταστικός.

Ευκαιρία να κάνετε και επανάληψη.

Α και τελευταίο, μη χρησιμοποιήσετε τη θεωρία ότι ο συζυγής είναι αντίθετος του αριθμού και πάτε με ισοδυναμίες. Αφήστε το μυαλό σας να πάει σε άλλες λύσεις, πιο ωραίες.

riemann80 · 22 Μαρτίου 2010 στις 19:52

να αποδειξετε οτι $e^{x+y}-1>\sqrt{\left(e^x-1\right)\left(e^y-1\right)} \ \ \ \ \forall x,y>0 \ \ x\neq y [\LATEX] ας βαλει καποιος τα tags γιατι δε τα βρισκω$

coheNakatos · 22 Μαρτίου 2010 στις 22:40

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
να αποδειξετε οτι $e^{x+y}-1>\sqrt{\left(e^x-1\right)\left(e^y-1\right)} \ \ \ \ \forall x,y>0 \ \ x\neq y [\LATEX] ας βαλει καποιος τα tags γιατι δε τα βρισκω$

$ <img src=$ " />

lowbaper92 · 23 Μαρτίου 2010 στις 17:51

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
$e^{x+y}-1>\sqrt{\left(e^x-1\right)\left(e^y-1\right)} \ \ \ \ \forall x,y>0 \ \ x\neq y$

Έχω μια λύση αλλά δεν ξέρω κατα πόσο είναι σωστή. Αυτή η άσκηση εξετάζει κάτι απο Γ Λυκείου?

${e}^{x}\cdot {e}^{y}-1>\sqrt{{e}^{x}\cdot {e}^{y}-{e}^{x}-{e}^{y}+1}$

Θέτω ${e}^{x}=\alpha ,{e}^{y}=\beta$ οπότε

$\alpha \beta -1>\sqrt{\alpha \beta -\alpha -\beta +1} \Leftrightarrow {\alpha }^{2}{\beta }^{2}-3\alpha \beta +\alpha +\beta >0\Leftrightarrow {\beta }^{2}{\alpha }^{2}-\alpha \left(3\beta -1 \right)+\beta >0 (1)$

Το θεωρώ τριώνυμο ως προς α οπότε έχουμε
$\Delta ={\left(3\beta -1 \right)}^{2}-4{\beta }^{3}=-4{\beta }^{3}+9{\beta }^{2}-6\beta +1=\left(\beta -1 \right)\left(-4{\beta }^{2} +5\beta -1\right)=-4{\left(\beta -1 \right)}^{2}\left(\beta -\frac{1}{4} \right) (2)$
Όμως $\beta ={e}^{y}>1$ για κάθε y>0
Άρα απο την (2) έχουμε ότι Δ<0 και άρα η (1) ισχύει.

riemann80 · 24 Μαρτίου 2010 στις 14:20

νομιζω πως την ελυσες σωστα και χωρις την υλη της γ λυκειου.εγω την ελυσα με εφαρμογη της ανισοτητας jensen για την κοιλη συναρτηση ln(e^x-1).
κι αλλη μια

να δειξετε οτι ενα πολυωνυμο 3ου βαθμου εχει τρεις πραγματικες ριζες αν και μονο αν παιρνει ετεροσημες τιμες στα στασιμα σημεια του.

υ.γ.στασιμα ειναι τα σημεια στα οποια μηδενιζεται η παραγωγος

lowbaper92 · 25 Μαρτίου 2010 στις 01:56

Παραθέτω 2 πολύ καλές ασκήσεις που εξετάζουν μεγάλο μέρος της ύλης.

Άσκηση 1

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (0,+oo)->R για την οποία ισχύουν:

${x}^{3}f''\left(x \right)={e}^{\frac{1}{x}}$ για κάθε x>0
$f\left(1 \right)=e$
$f'\left(1 \right)=0$

α) Να βρείτε τον τύπο της f.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
γ) Να αποδείξετε ότι
${\left(\frac{x}{e} \right)}^{x}\geq \frac{1}{e}$ για κάθε x>0
δ) Να αποδείξετε ότι
$f\left(10 \right)+f\left(12 \right)>2f\left(11 \right)$

Άσκηση 2

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α,β] με $f\left(x \right)>0$ για την οποία για κάθε xε[α,β] ισχύει
$f'\left(x \right)={f}^{2}\left(x \right)$

α) Να δείξετε ότι:
i)
$\frac{1}{f\left(\beta \right)}-\frac{1}{f\left(\alpha \right)}=\alpha -\beta$
ii) Υπάρχει ${x}_{0}\varepsilon \left(\alpha ,\beta \right):2ln\left(f\left({x}_{0} \right) \right)=ln\left(f\left(\alpha \right) \right)+ln\left(f\left(\beta \right) \right)$
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και την κυρτότητα.
γ) Αν επιπλέον ισχύει ότι
$2010f\left(\alpha \right)=f\left(\beta \right)$ , τότε:
i) Υπολογίστε το
$\int_{\alpha }^{\beta }f\left(x \right)dx$
ii) Να δείξετε ότι υπάρχει
$\xi \epsilon \left(\alpha ,\beta \right):f\left(\xi \right)=\frac{ln2010}{\beta -\alpha }$

coheNakatos · 25 Μαρτίου 2010 στις 16:45

Μονο το 2α (ι)δεν μπορω να βγαλω

lowbaper92 · 25 Μαρτίου 2010 στις 17:32

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Μονο το 2α (ι)δεν μπορω να βγαλω

Ολοκλήρωσε τη σχέση που σου δίνει και βρές μια αρχική. Το " +c " άστο μέσα και θα απλοποιηθεί.

coheNakatos · 25 Μαρτίου 2010 στις 18:24

2)a)i) Το απαντησες
ιι)απο την σχεση του (ι) παιρνω $\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f(a)f(b)$
Απο την αρχικη δοσμενη σχεση και απο ενα ΘΜΤ $f'(j)=f(a)f(b) \Leftrightarrow {f}^{2}(j)=f(a)f(b)$ απο εδω βαζει ln
b) $f'(x)={f}^{2}(x)>0$ αρα f γν αυξουσα αρα ακροτατα στα ακρα του διαστηματος [α,β] μετα παραγωγιζοντας βγαινει και κυρτη
γ)ολοκληρωνοντας την αρχικη $ln(f(b))-ln(f(a))=\int_{a}^{b}f(x)dx$
ii)Rolle στην $g(x)=\int_{a}^{x}f(x)dx(b-a)-ln(2010)x$

coheNakatos · 26 Μαρτίου 2010 στις 17:09

1)
a) ${x}^{3}f''(x)={e}^{1/x} \Leftrightarrow xf''(x)=-{e}^{1/x}(-\frac{1}{{x}^{2}})\Leftrightarrow xf'(x)-f(x)=-{e}^{1/x}+c \Leftrightarrow f'(1)=0 \Leftrightarrow xf'(x)-f(x)=-{e}^{1/x} \Leftrightarrow \frac{xf'(x)-f(x)}{{x}^{2}}={e}^{1/x}(-\frac{1}{{x}^{2}}) \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x}={e}^{1/x}+c \Leftrightarrow f(1)=e \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x}={e}^{1/x} \Leftrightarrow f(x)=x{e}^{1/x}$
b) $f({D}_{f})=[e,+oo)$ (Μπορει να εχω και λαθος γιατι τα κανω γρηγορα , εχω φροντ σε 20')
γ)Ξεκινας απο το ακροτατο και παει f(x)>=e
δ)2 ΘΜΤ και μετα χρηση της μονοτονιας της f'

riemann80 · 26 Μαρτίου 2010 στις 22:04

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
ι) Λυνεις ως προς w και μετρωνεις ...
ιι)Μετρωνεις και κοινο ....

ρε παιδια ελεος,εχω δει αυτη τη λεξη ("μετρωνεις") πολλες φορες και μου ρχεται εμετος.ειναι ασχημη , αντιαισθητικη.πες καλυτερα "παρε μετρα" .

lowbaper92 · 26 Μαρτίου 2010 στις 23:16

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
2)a)i) Το απαντησες
ιι)απο την σχεση του (ι) παιρνω $\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f(a)f(b)$
Απο την αρχικη δοσμενη σχεση και απο ενα ΘΜΤ $f'(j)=f(a)f(b) \Leftrightarrow {f}^{2}(j)=f(a)f(b)$ απο εδω βαζει ln
b) $f'(x)={f}^{2}(x)>0$ αρα f γν αυξουσα αρα ακροτατα στα ακρα του διαστηματος [α,β] μετα παραγωγιζοντας βγαινει και κυρτη
γ)ολοκληρωνοντας την αρχικη $ln(f(b))-ln(f(a))=\int_{a}^{b}f(x)dx$
ii)Rolle στην $g(x)=\int_{a}^{x}f(x)dx(b-a)-ln(2010)x$

Μια άλλη λύση για το (αιι) είναι Bolzano στην $g\left(x \right)={f}^{2}\left(x \right)-f\left(\alpha \right)f\left(\beta \right)$
Στο (γι) έχεις δεδομένα για να βρεις τον αριθμό ακριβώς οπότε μην το αφήνεις έτσι.
Στο (γιι) φαντάζομαι ότι στη συνάρτηση απο ολοκλήρωμα εννοείς f(t)dt γιατί αλλιως δεν είναι συνάρτηση απο ολοκλήρωμα . Απο την άλλη πως έβγαλες ότι ισχύει ο Rolle? Αν θές ποσταρε λιγο πιο αναλυτικα τη λύση.

H δικιά μου η λύση είναι αφού ολοκληρώσεις απο α έως χ την
$f\left(t \right)=\frac{ln2010}{\beta -\alpha }$
να θεωρήσεις την συνάρτηση
$h\left(x \right)=\int_{\alpha }^{x}f\left(t \right)dt-\frac{ln2010}{\beta -\alpha }\left(x-\alpha \right)$
και να κάνεις Rolle στο [α,β]
Eπίσης η υπόδειξη που δίνεται για την άσκηση ειναι ΘΜΤ για την $\varphi \left(x \right)=lnf\left(x \right)$
στο [α,β]

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος