Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

coheNakatos · 27 Μαρτίου 2010 στις 00:15

Για το Rolle μου χρησιμοποιω και την τιμη του ορισμενου απο α->β που βρηκα απο πανω (Και ναι εννοω f(t)dt)

lowbaper92 · 27 Μαρτίου 2010 στις 01:20

Ναι σωστός. Το κοίταξα βιαστικά.
Να σημειώσω ότι οι ασκήσεις που ανεβάζω εχουν αξιολογηθεί ανάλογα με τη δυσκολία τους και έχουν ταξινομηθεί σε 2ο,3ο,4ο Θέμα (Πανελληνίων). Οι 2 πρώτες ήταν 4ο Θέμα. Ανεβάζω μια για 3ο θέμα.

Άσκηση 3

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:[0,1]->R για τις οποίες ισχύουν τα εξής:

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της με $f\left(0 \right)={e}^{2} ,f\left(1 \right)={e}^{4}$ και για κάθε χε[0,1] ισχύει $f\left(x \right)>0$
$g\left(x \right)=lnf\left(x \right),x\in [0,1]$

α) Να αποδείξετε ότη η ευθεία y=3 τέμνει τη γραφική παράσταση της g σε ένα τουλάχιστον σημείο $M\left({x}_{0} ,3\right)$ με ${x}_{0}\in \left(0,1 \right)$
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει
$\xi \in \left(0,1 \right):{f}^{2}\left(\xi \right)=f\left(\frac{1}{3} \right)\cdot f\left(\frac{2}{3} \right)$
γ) Αν επιπλέον η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [0,1] να δείξετε ότι υπάρχει
${x}_{1}\in \left(0,1 \right):f'\left({x}_{1} \right)=2f\left({x}_{1} \right)$

coheNakatos · 27 Μαρτίου 2010 στις 02:08

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Ναι σωστός. Το κοίταξα βιαστικά.
Να σημειώσω ότι οι ασκήσεις που ανεβάζω εχουν αξιολογηθεί ανάλογα με τη δυσκολία τους και έχουν ταξινομηθεί σε 2ο,3ο,4ο Θέμα (Πανελληνίων). Οι 2 πρώτες ήταν 4ο Θέμα. Ανεβάζω μια για 3ο θέμα.

Άσκηση 3

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:[0,1]->R για τις οποίες ισχύουν τα εξής:

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της με $f\left(0 \right)={e}^{2} ,f\left(1 \right)={e}^{4}$ και για κάθε χε[0,1] ισχύει $f\left(x \right)>0$

$g\left(x \right)=lnf\left(x \right),x\in [0,1]$

α) Να αποδείξετε ότη η ευθεία y=3 τέμνει τη γραφική παράσταση της g σε ένα τουλάχιστον σημείο $M\left({x}_{0} ,3\right)$ με ${x}_{0}\in \left(0,1 \right)$
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει
$\xi \in \left(0,1 \right):{f}^{2}\left(\xi \right)=f\left(\frac{1}{3} \right)\cdot f\left(\frac{2}{3} \right)$
γ) Αν επιπλέον η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [0,1] να δείξετε ότι υπάρχει
${x}_{1}\in \left(0,1 \right):f'\left({x}_{1} \right)=2f\left({x}_{1} \right)$

a)bolzano d(x)=g(x)-3
b)Ln στην σχεση και θεωρημα μεγιστης ελαχιστης τιμης
g) ΘΜΤ στο [0,1] για την g

riemann80 · 5 Απριλίου 2010 στις 18:44

να υπολογισετε το ολοκληρωμα

$\int_{0}^{\pi}\ln(\sin x)dx$

Metal-Militiaman · 6 Απριλίου 2010 στις 17:27

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
να υπολογισετε το ολοκληρωμα

$\int_{0}^{\pi}\ln(\sin x)dx$

$I=\int_{0}^{\pi }ln(sinx)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }ln(sinx)dx$

$y=x-\frac{\pi }{2} \Rightarrow dy=dx$

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }ln(sin(\frac{\pi }{2}+y)dy=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(cos(-y))dy=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(cosx)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(\frac{sin2x}{2})dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin2x)dx-\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln2dx$

$t=2x \Rightarrow dx=\frac{dt}{2}$

$I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}ln(sint)dt-\frac{\pi}{2}ln2=\frac{1}{2}I-\frac{\pi}{2}ln2$

$I=-\pi ln2$

John_Megadeth · 7 Απριλίου 2010 στις 19:41

Εστω $f,g:[a,b]\rightarrow R$ με $fog=gof$ , $f$ γνησιως φθινουσα και $f(a)=b, f(b)=a$ . Δειξτε οτι υπαρχει $l\in (a,b)$ τετοιο ωστε $f(l)=g(l)=l$ .

riemann80 · 8 Απριλίου 2010 στις 00:06

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
$I=\int_{0}^{\pi }ln(sinx)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }ln(sinx)dx$

$y=x-\frac{\pi }{2} \Rightarrow dy=dx$

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }ln(sin(\frac{\pi }{2}+y)dy=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(cos(-y))dy=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(cosx)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(\frac{sin2x}{2})dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin2x)dx-\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln2dx$

$t=2x \Rightarrow dx=\frac{dt}{2}$

$I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}ln(sint)dt-\frac{\pi}{2}ln2=\frac{1}{2}I-\frac{\pi}{2}ln2$

$I=-\pi ln2$

σωστα

lowbaper92 · 8 Απριλίου 2010 στις 01:07

Αρχική Δημοσίευση από John_Megadeth:
Εστω $f,g:[a,b]\rightarrow R$ με $fog=gof$ , $f$ γνησιως φθινουσα και $f(a)=b, f(b)=a$ . Δειξτε οτι υπαρχει $l\in (a,b)$ τετοιο ωστε $f(l)=g(l)=l$ .

Θεωρώ h(x)=f(x)-x , xε[α,β]
h(a)=f(a)-a=b-a>0
h(b)=f(b)-b=a-b<0
Άρα h(a)h(b)<0
Από Bolzano υπάρχει $\xi \in \left(a,b \right):h\left(\xi \right)=0\Leftrightarrow f\left(\xi \right)=\xi$

Έστω $g\left(\xi \right)\neq \xi$
Tότε $g\left(\xi \right)>\xi$ ή $g\left(\xi \right)<\xi$

Για $g\left(\xi \right)>\xi \Leftrightarrow f\left(g\left(\xi \right) \right)<f\left(\xi \right)\Leftrightarrow g\left(f\left(\xi \right) \right)<\xi \Leftrightarrow g\left(\xi \right)<\xi$ (άτοπο)
Ομοίως στην άλλη περίπτωση

Άρα $g\left(\xi \right)=\xi$

Τελικά
$f\left(\xi \right)=g\left(\xi \right)=\xi$

John_Megadeth · 10 Απριλίου 2010 στις 15:34

Απλα μια παρατηρηση για την ασκηση του Eukleidis ειναι οτι αν το πρωτο οριο οντως τεινει στο 1, τοτε το δευτερο οριο δεν υπαρχει. Κοιταξτε το!

jimmy007 · 20 Απριλίου 2010 στις 23:23

Kαταρχάς για να λυθεί η άσκηση νομίζω πως χρειάζεται συνέχεια της f γιατί αλλιώς δεν μπορείς να πάρεις Bolzano.
Eπίσης, αντί να πας με άτομο για να δείξεις ότι g(l)=l μπορείς να κάνεις το εξής:
Η h(x)=f(x)-x είναι γν. φθίνουσα(το αποδεικνύεις σύμφωνα με τον ορισμό, δηλαδή για a=<χ1<χ2<=b ισχύει h(x1)>h(x2)). Oπότε η h είναι 1-1.
Βάζεις στην αρχική σχέση όπου χ το l.
Αρα ισχύει fog(l)=g(l), άρα h(g(l))=O=h(l). Άρα g(l)=l, επειδή h 1-1.

Adam el único · 21 Απριλίου 2010 στις 00:10

Παιδιά μια ασκησούλα που με παίδεψε αρκετά και τελικά άκρη δεν έβγαλα..να αποδείξετε την παρακάτω ισότητα:

$\int_{0}^{x}(x-u)f(u)du=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u}f(t)dt\right)du$

coheNakatos · 21 Απριλίου 2010 στις 00:23

Σκεψου το ως 2 συναρτησεις (ισες παραγωγοι αρα διαφερουν κατα c το οποιο πρεπει να δειξεις οτι ειναι μηδεν )

Adam el único · 21 Απριλίου 2010 στις 00:33

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Σκεψου το ως 2 συναρτησεις (ισες παραγωγοι αρα διαφερουν κατα c το οποιο πρεπει να δειξεις οτι ειναι μηδεν )

Μ'άρεσε..ευχαριστώ φίλε :yahoo:

lowbaper92 · 21 Απριλίου 2010 στις 14:53

Αρχική Δημοσίευση από Adam el único;2251820:
Παιδιά μια ασκησούλα που με παίδεψε αρκετά και τελικά άκρη δεν έβγαλα..να αποδείξετε την παρακάτω ισότητα:
\int_{0}^{x}(x-u)f(u)du=\int_{0}^{x}(\int_{0}^{u}f(t)dt)du

Αν δεν κάνω λάθος είναι από τις γενικές του σχολικού.. Βγαίνει και με παραγοντική

jimmy007 · 21 Απριλίου 2010 στις 18:39

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
να υπολογισετε το ολοκληρωμα

$\int_{0}^{\pi}\ln(\sin x)dx$

Για να ορίζεται το ολοκλήρωμα δεν πρέπει η συνάρτηση ln(sinx) να ορίζεται και στο 0???

lowbaper92 · 22 Απριλίου 2010 στις 00:53

Άσκηση 4

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\left(0,+oo \right)\rightarrow R$ τέτοια ώστε για κάθε χ>0 να ισχύει:
$f\left(x \right)=\int_{1}^{x}\frac{t+1}{t\left({e}^{f\left(t \right)} +1\right)}dt$

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε χ>0 ισχύει
${e}^{f\left(x \right)}+f\left(x \right)=x+lnx$

β) Να αποδείξετε ότι $f\left(x \right)=lnx$ για κάθε χ>0

γ) Να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης
$g\left(x \right)=f\left(x \right)f\left(\frac{e}{x} \right),x>0$

δ) Αν $0<\alpha <\beta <\gamma$ να αποδείξετε ότι ισχύει
$\frac{f\left(\beta \right)-f\left(\alpha \right)}{\beta -\alpha }>\frac{f\left(\gamma \right)-f\left(\beta \right)}{\gamma -\beta }$

coheNakatos · 22 Απριλίου 2010 στις 10:38

Μονο συνεχης ? Ετσι δεν μπορω ουτε να παραγωγισω ουτε καν να γραψω την f ως ολοκληρωμα της f' :/:

kostaspotter · 22 Απριλίου 2010 στις 10:57

Ασκηση 4 (ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΤΟ α ΕΡΩΤΗΜΑ)

Η f είναι παργωγίσιμη αφού η (t+1)/(t(e^f(t)+1)) είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών άρα αφού το εσωτερικό του ολοκληρώματος είναι συνεχής συνάτηση τότε και η f πραγωγίσιμη!
Ας παραγωγίσουμε τώρα την f: f '(x)= (x+1)/(x(e^f(x)+1))
Σπάω το κλάσμα: f '(x)= x/(x(e^f(x)+1)) + 1/(x(e^f(x)+1))
Απαλύφω το x από το 1ο κλάσμα και η κατάσταση εχει ως εξής: f '(x)= 1/(e^f(x)+1) + 1/(x(e^f(x)+1))
Πολλαπλασιάζω με το e^f(x)+1: f '(x)*(e^f(x)+1)= 1 + 1/x
Κάνω την επιμερηστικη: f '(x)*e^f(x) + f '(x) = 1 +1/x
Ολοκληρώνω αόριστα και στα 2 μέλη: S[f '(x)*e^f(x) + f '(x)]dx = S[1 + 1/x]dx
Σπάω τα ολοκληρώματα σύμφωνα με τις ιδιότητες: S[f '(x)*e^f(x)]dx + S[f '(x)]dx = S[1]dx + S[1/x]dx
Παρατηρώ πως η συνάρτηση μέσα στο 1ο ολοκήρωμα είναι η παράγωγος της e^f(x) , στο 2ο ολοκλήρωμα είναι η παράγωγος της f(x) , στο 2ο μέλος η παράγουσα του 1 είναι το x και η παράγουσα του 1/χ είναι το lnx
Άρα καταλήγω στην σχέση που θέλω να αποδείξω: e^f(x) + f(x) = x + lnx

Απάντησα μόνο το α γτ για να τα γράψω εδώ μου παίρνει πολλή ώρα και δεν ήθελα να με προλάβει άλλος...

Εργάζομαι τώρα και για τα υπόλοιπα!

coheNakatos · 22 Απριλίου 2010 στις 11:05

... Και ειπα εγω να μην ξυπναω τοσο νωρις ...

,ευκολη ειναι γενικοτερα

Μια παρατηρηση για το παιδι απο πανω: Πρεπει να δειξεις οτι το c ολοκληρωσης ειναι το μηδεν !

kostaspotter · 22 Απριλίου 2010 στις 11:13

Ερώτημα Β

Αφού μας δίνει τον τύπο της f και θέλουμε να δείξουμε πως είναι αυτος: f(x)=lnx , τον χρησιμοποιώ στην σχέση που απέδειξα στο ερώτημα α, δλδ όπου f(x) βάζω lnx: e^lnx + lnx =x + lnx
Από περσινή ιδιότητα της άλγεβρας ξέρουμε πως e^lnx=x και συνεχίζω: x + lnx = x + lnx Που είναι αληθής άρα και η f(x) = lnx είναι αληθής

Ξέρω πως λύνεται αλλιώς και πως αυτός ο τρόπος δεν είναι τόσο σωστός...άμα μπορέσετε να μου δείξετε και τον άλλο τρόπο ευχαριστώ...:S

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος