Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Eukleidis · 2010-01-24T12:39:19+0200

Είπα να ανοίξουμε ένα θέμα όπου κάθε τρεις μέρες θα μπαίνει και μια άσκηση. Μεχρι το Πάσχα θα έχουμε συγκεντρώσει κάμποσες τις οποιεες θα τις κάνω pdf για να μπορείτε μετά συγκεντρωτικά να τις διαβάσετε. Όποιος θέλει να προτείνει άσκηση μου στέλνει πμ με την άσκηση.Σε σποιλερ οι απαντησεις.

Ασκηση 1η 24/1-27/1

Δίνονται οι μιγαδικοί ${z_1},{z_2},w$ με:

$\left| {{z_1} - 1} \right| = 10$
$\left| {{z_2} + \frac{1}{3}} \right| = 12$
$3w{z_2} + 6 = 6\overline {{z_1}} - w$

ι)Να βρεθεί το μέτρο του $\overline w$
ιι)Αν για το μιγαδικό $v$ ισχύει $\left( {2v - \frac{3}{2}} \right)\left( {\overline v - \frac{3}{4}} \right) = 6\overline w w$
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του v.

lowbaper92 · 2010-01-24T16:44:16+0200

α) $\frac{5}{3}$

β) Κύκλος με κεντρο $K\left(\frac{3}{4},0 \right)$ και $\rho =\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Σωστά? :hmm:

Eukleidis · 2010-01-24T16:53:04+0200

Είσαι καλός εσύ

coheNakatos · 2010-01-25T00:13:59+0200

ι) Λυνεις ως προς w και μετρωνεις ...
ιι)Μετρωνεις και κοινο παραγοντα απο τον πρωτο παραγοντα το 2 ...

Δεν θεωρειται πολυ δυσκολη αντικειμενικα , στο λεω επειδη δεν εισαι Γ λυκειου

lowbaper92 · 2010-01-25T13:52:03+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Εστω

,

με

,

με

και

για τους οποιους ισχυει :

Eπισης θεωρουμε συναρτηση f με πεδιο ορισμου και συνολο τιμων το

συνεχης και γν.αυξουσα

Δειξτε οτι :
α)

b) Η εξισωση :
$eqlatex5Cfrac7Bxf28b297D7Bxb7D5Cfrac7Bxf-1.gif$
εχει ακριβως 2 ριζες στο

γ)
$eqlatex5Clim_7Bx3Eoo7D5Cfrac7Bb7Bx7D5E7B-1.gif$

α) Υψωνω τετραγωνο,πραξεις και βγαίνει.
β) Εχω καποιες αμφιβολίες οπότε αν κανω λαθος διορθωσε με.
Απο τη σχεση που εβγαλα στο α ερωτημα συμπεραίνω οτι b,c ετεροσημοι αρα b<0 και c>0 (αφου b<c). Άρα το 0 ανήκε στο (b,c)
Εφόσον συνολο τιμων και πεδίο ορισμού ειναι το [b,c] και η f γνησίως αυξουσα τότε σχηματικά συμπέρανα ότι f(b)=b και f(c)=c. Πολλαπλασιαζω την εξίσωση με (x-b)(x-c) τα φερνω στο πρωτο μέλος και το θεωρώ g. Μετά κανω Bolzano στο [b,0] και [0,c]. Άρα βγαζω δυο τουλαχιστον ρίζες οι οποιες θα ειναι μοναδικές γιατι η g είναι 2ου βαθμού.

Τί λες? :hmm:

coheNakatos · 2010-01-25T14:52:22+0200

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
α) Υψωνω τετραγωνο,πραξεις και βγαίνει.
β) Εχω καποιες αμφιβολίες οπότε αν κανω λαθος διορθωσε με.
Απο τη σχεση που εβγαλα στο α ερωτημα συμπεραίνω οτι b,c ετεροσημοι αρα b<0 και c>0 (αφου b<c). Άρα το 0 ανήκε στο (b,c)
Εφόσον συνολο τιμων και πεδίο ορισμού ειναι το [b,c] και η f γνησίως αυξουσα τότε σχηματικά συμπέρανα ότι f(b)=b και f(c)=c. Πολλαπλασιαζω την εξίσωση με (x-b)(x-c) τα φερνω στο πρωτο μέλος και το θεωρώ g. Μετά κανω Bolzano στο [b,0] και [0,c]. Άρα βγαζω δυο τουλαχιστον ρίζες οι οποιες θα ειναι μοναδικές γιατι η g είναι 2ου βαθμού.

Τί λες?

Απολυτα σωστη λυση , πως σου φανηκε ? :no1:

Rania. · 2010-01-25T15:16:06+0200

Αρχική Δημοσίευση από Eukleidis:
Είπα να ανοίξουμε ένα θέμα όπου κάθε τρεις μέρες θα μπαίνει και μια άσκηση. Μεχρι το Πάσχα θα έχουμε συγκεντρώσει κάμποσες τις οποιεες θα τις κάνω pdf για να μπορείτε μετά συγκεντρωτικά να τις διαβάσετε. Όποιος θέλει να προτείνει άσκηση μου στέλνει πμ με την άσκηση.Σε σποιλερ οι απαντησεις.

Ασκηση 1η 24/1-27/1

Δίνονται οι μιγαδικοί $,{z_2},w$$ με:

$| {{z_1} - 1} right| = 10$$

$| {{z_2} + frac{1}{3}} right| = 12$$

$3w{z_2} + 6 = 6overline {{z_1}} - w$

ι)Να βρεθεί το μέτρο του $w $$
ιι)Αν για το μιγαδικό $$$ ισχύει $( {2v - frac{3}{2}} right)left( {overline v - frac{3}{4}} right) = 6overline w w$$
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του v.

i) $3w{z}_{2}+6=6\overline {z $$}_{1} - w$ <=>
$w(3{z}_{2}-1)=6\overline{z}_{1}-6$ <=>
$w=\frac{6(\overline{z}_{1}-1)}{3({z}_{2}-\frac{1}{3})}$ =>
$|w|=\frac{6*10}{3*12}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$
Δεν το κανω πολυ αναλυτικα, αλλα δεν θελει και πολλη φαντασια.

ii)Δεν τη γραφω γιατι βγηκε μεγαλουτσικη στο χαρτι. Εβγαλα ενα σκατονουμερο, μαλλον λαθος την εχω.

coheNakatos · 2010-01-25T15:30:34+0200

Λοιπον μια απο εμενα : (Οχι δυσκολη , αλλα εχει δουλεια και γραψιμο για μια επισημη λυση )

Να λυθει η εξισωση ${2}^{x}+{4}^{x}=5{x}^{2}-x+2$

lowbaper92 · 2010-01-25T15:38:39+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Απολυτα σωστη λυση , πως σου φανηκε ? :no1:

Πολύ καλή

lowbaper92 · 2010-01-25T15:41:20+0200

Στο β ερωτημα αν πολλαπλασιασεις και τα δυο μελη με το 2 διευκολύνεται το θέμα. Εγω σ'αυτες χρησιμοποιώ τους τύπους απο Β Λυκείου για να βγαλω κεντρο και ακτινα

Eukleidis · 2010-01-25T17:27:22+0200

Ασκηση 2η 25/1-27/1

Έστω $z \in {{\Bbb C}^*}$ τετοιος ωστε $\left| {{z^3} + \frac{1}{{{z^3}}}} \right| \leqslant 2$ . Να αποδείξετε ότι $\left| {z + \frac{1}{z}} \right| \leqslant 2$ .

lowbaper92 · 2010-01-28T15:45:12+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Λοιπον μια απο εμενα : (Οχι δυσκολη , αλλα εχει δουλεια και γραψιμο για μια επισημη λυση )

Να λυθει η εξισωση ${2}^{x}+{4}^{x}=5{x}^{2}-x+2$

Τα φέρνουμε στο πρώτο μέλος και το θεωρούμε f.
H f έχει προφανεις ρίζες τα 0,1,2.
Υποθέτουμε ότι έχει και τεταρτη ρίζα και μετα απο πολλαπλά Rolle βγαίνει ${f}^{\left(3 \right)}\left(x \right)=0$ , άτοπο διότι ${f}^{\left(3 \right)}\left(x \right)>0$

coheNakatos · 2010-01-28T18:42:25+0200

Ακριβως ,απλη αλλα σκεψου τι δουλεια εχει για να την γραψεις ,εκτος λογικης παννελλαδικων φυσικα

lowbaper92 · 2010-02-12T21:01:59+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Ακριβως ,απλη αλλα σκεψου τι δουλεια εχει για να την γραψεις ,εκτος λογικης παννελλαδικων φυσικα

Ε ενταξει ποτε δεν ξερεις. Το 2003 ειχαν βαλει μια ασκηση που ενας τροπος λύσης ηταν με 6 ΘΜΤ :wall:

Θεωρούμε την εξίσωση:
(x-1)lnx=x+1

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση εχει 2 ακριβώς ρίζες. Τις ονομάζουμε α,β.

ii) Να αποδείξετε οτι αβ=1

Αν έχετε απορια, ρωτήστε

coheNakatos · 2010-02-13T01:30:35+0200

Την ξεχασα αυτην ρε
λοιπον
α) Με συνολο τιμων ..
β) εδω : αφου α,β ριζες a-1(lna)=a+1, ομοια για το β και με 2 φορες ατοπο (αβ>1 και αβ<1 ) βγαινει το ζητουμενο

lowbaper92 · 2010-02-13T01:36:38+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Την ξεχασα αυτην ρε
λοιπον
α) Με συνολο τιμων ..
β) εδω : αφου α,β ριζες a-1(lna)=a+1, ομοια για το β και με 2 φορες ατοπο (αβ>1 και αβ<1 ) βγαινει το ζητουμενο

Συνολο τιμών σε ποια συναρτηση πήρες?

coheNakatos · 2010-02-13T02:40:36+0200

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Συνολο τιμών σε ποια συναρτηση πήρες?

Μπορεις ειτε να διαιρεσεις χ-1 και ολα στο 1ο μελος ή ετσι οπως ειναι το ιδιο πραγμα θα βγει

lowbaper92 · 2010-02-13T15:48:01+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Μπορεις ειτε να διαιρεσεις χ-1 και ολα στο 1ο μελος ή ετσι οπως ειναι το ιδιο πραγμα θα βγει

Ετσι όπως ειναι δεν νομίζω να γίνεται. Αφού απο την f(x)=(x-1)lnx-x-1 δεν μπορείς να βρείς διαστήματα μονοτονίας.

Μια συνάρτηση f ειναι ορισμένη και 3 φορές παραγωγίσιμη στο διαστημα Δ=(α,β).
Υποθέτουμε οτι $f\left(x \right)\geq 0$ για καθε xεΔ και οτι η f εχει 2 (διαφορετικές) ρίζες στο Δ.
Να αποδείξετε οτι η εξίσωση ${f}^{\left(3 \right)}\left(x \right)$ εχει μια τουλαχιστον ρίζα στο Δ.

Δεν ειναι δύσκολη αλλα εχει γραψιμο.

Eukleidis · 2010-02-14T12:36:01+0200

Αν για τους πραγματικούς α,β,γ,δ ισχύει η σχέση
$a + \frac{\beta }{2} + \frac{\gamma }{3} + \frac{\delta }{4} = 0$

να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\alpha + \beta x + \gamma {x^2} + \delta {x^3} = 0$ εχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1)

coheNakatos · 2010-02-14T17:26:56+0200

Αρχική Δημοσίευση από Eukleidis:
Αν για τους πραγματικούς α,β,γ,δ ισχύει η σχέση
$a + \frac{\beta }{2} + \frac{\gamma }{3} + \frac{\delta }{4} = 0$

να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\alpha + \beta x + \gamma {x^2} + \delta {x^3} = 0$ εχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1)

Rolle στην $f(x)=\frac{\delta {x}^{4}}{4}+\frac{\gamma {x}^{3}}{3}+ \frac{\beta {x}^{2}}{2}+ax$ στο [0,1]

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος