Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Eukleidis · 24-01-10

Είπα να ανοίξουμε ένα θέμα όπου κάθε τρεις μέρες θα μπαίνει και μια άσκηση. Μεχρι το Πάσχα θα έχουμε συγκεντρώσει κάμποσες τις οποιεες θα τις κάνω pdf για να μπορείτε μετά συγκεντρωτικά να τις διαβάσετε. Όποιος θέλει να προτείνει άσκηση μου στέλνει πμ με την άσκηση.Σε σποιλερ οι απαντησεις.

Ασκηση 1η 24/1-27/1

Δίνονται οι μιγαδικοί ${z_1},{z_2},w$ με:

$\left| {{z_1} - 1} \right| = 10$
$\left| {{z_2} + \frac{1}{3}} \right| = 12$
$3w{z_2} + 6 = 6\overline {{z_1}} - w$

ι)Να βρεθεί το μέτρο του $\overline w$
ιι)Αν για το μιγαδικό $v$ ισχύει $\left( {2v - \frac{3}{2}} \right)\left( {\overline v - \frac{3}{4}} \right) = 6\overline w w$
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του v.

lowbaper92 · 24-01-10

α) $\frac{5}{3}$

β) Κύκλος με κεντρο $K\left(\frac{3}{4},0 \right)$ και $\rho =\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Σωστά? :hmm:

Eukleidis · 24-01-10

Είσαι καλός εσύ

coheNakatos · 25-01-10

ι) Λυνεις ως προς w και μετρωνεις ...
ιι)Μετρωνεις και κοινο παραγοντα απο τον πρωτο παραγοντα το 2 ...

Δεν θεωρειται πολυ δυσκολη αντικειμενικα , στο λεω επειδη δεν εισαι Γ λυκειου

lowbaper92 · 25-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Εστω

,

με

,

με

και

για τους οποιους ισχυει :

Eπισης θεωρουμε συναρτηση f με πεδιο ορισμου και συνολο τιμων το

συνεχης και γν.αυξουσα

Δειξτε οτι :
α)

b) Η εξισωση :

εχει ακριβως 2 ριζες στο

γ)

α) Υψωνω τετραγωνο,πραξεις και βγαίνει.
β) Εχω καποιες αμφιβολίες οπότε αν κανω λαθος διορθωσε με.
Απο τη σχεση που εβγαλα στο α ερωτημα συμπεραίνω οτι b,c ετεροσημοι αρα b<0 και c>0 (αφου b<c). Άρα το 0 ανήκε στο (b,c)
Εφόσον συνολο τιμων και πεδίο ορισμού ειναι το [b,c] και η f γνησίως αυξουσα τότε σχηματικά συμπέρανα ότι f(b)=b και f(c)=c. Πολλαπλασιαζω την εξίσωση με (x-b)(x-c) τα φερνω στο πρωτο μέλος και το θεωρώ g. Μετά κανω Bolzano στο [b,0] και [0,c]. Άρα βγαζω δυο τουλαχιστον ρίζες οι οποιες θα ειναι μοναδικές γιατι η g είναι 2ου βαθμού.

Τί λες? :hmm:

coheNakatos · 25-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
α) Υψωνω τετραγωνο,πραξεις και βγαίνει.
β) Εχω καποιες αμφιβολίες οπότε αν κανω λαθος διορθωσε με.
Απο τη σχεση που εβγαλα στο α ερωτημα συμπεραίνω οτι b,c ετεροσημοι αρα b<0 και c>0 (αφου b<c). Άρα το 0 ανήκε στο (b,c)
Εφόσον συνολο τιμων και πεδίο ορισμού ειναι το [b,c] και η f γνησίως αυξουσα τότε σχηματικά συμπέρανα ότι f(b)=b και f(c)=c. Πολλαπλασιαζω την εξίσωση με (x-b)(x-c) τα φερνω στο πρωτο μέλος και το θεωρώ g. Μετά κανω Bolzano στο [b,0] και [0,c]. Άρα βγαζω δυο τουλαχιστον ρίζες οι οποιες θα ειναι μοναδικές γιατι η g είναι 2ου βαθμού.

Τί λες?

Απολυτα σωστη λυση , πως σου φανηκε ? :no1:

Rania. · 25-01-10

Αρχική Δημοσίευση από Eukleidis:
Είπα να ανοίξουμε ένα θέμα όπου κάθε τρεις μέρες θα μπαίνει και μια άσκηση. Μεχρι το Πάσχα θα έχουμε συγκεντρώσει κάμποσες τις οποιεες θα τις κάνω pdf για να μπορείτε μετά συγκεντρωτικά να τις διαβάσετε. Όποιος θέλει να προτείνει άσκηση μου στέλνει πμ με την άσκηση.Σε σποιλερ οι απαντησεις.

Ασκηση 1η 24/1-27/1

Δίνονται οι μιγαδικοί $,{z_2},w$$ με:

$| {{z_1} - 1} right| = 10$$

$| {{z_2} + frac{1}{3}} right| = 12$$

$3w{z_2} + 6 = 6overline {{z_1}} - w$

ι)Να βρεθεί το μέτρο του $w $$
ιι)Αν για το μιγαδικό $$$ ισχύει $( {2v - frac{3}{2}} right)left( {overline v - frac{3}{4}} right) = 6overline w w$$
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του v.

i) $3w{z}_{2}+6=6\overline {z $$}_{1} - w$ <=>
$w(3{z}_{2}-1)=6\overline{z}_{1}-6$ <=>
$w=\frac{6(\overline{z}_{1}-1)}{3({z}_{2}-\frac{1}{3})}$ =>
$|w|=\frac{6*10}{3*12}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$
Δεν το κανω πολυ αναλυτικα, αλλα δεν θελει και πολλη φαντασια.

ii)Δεν τη γραφω γιατι βγηκε μεγαλουτσικη στο χαρτι. Εβγαλα ενα σκατονουμερο, μαλλον λαθος την εχω.

coheNakatos · 25-01-10

Λοιπον μια απο εμενα : (Οχι δυσκολη , αλλα εχει δουλεια και γραψιμο για μια επισημη λυση )

Να λυθει η εξισωση ${2}^{x}+{4}^{x}=5{x}^{2}-x+2$

lowbaper92 · 25-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Απολυτα σωστη λυση , πως σου φανηκε ? :no1:

Πολύ καλή

lowbaper92 · 25-01-10

Στο β ερωτημα αν πολλαπλασιασεις και τα δυο μελη με το 2 διευκολύνεται το θέμα. Εγω σ'αυτες χρησιμοποιώ τους τύπους απο Β Λυκείου για να βγαλω κεντρο και ακτινα

Eukleidis · 25-01-10

Ασκηση 2η 25/1-27/1

Έστω $z \in {{\Bbb C}^*}$ τετοιος ωστε $\left| {{z^3} + \frac{1}{{{z^3}}}} \right| \leqslant 2$ . Να αποδείξετε ότι $\left| {z + \frac{1}{z}} \right| \leqslant 2$ .

lowbaper92 · 28-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Λοιπον μια απο εμενα : (Οχι δυσκολη , αλλα εχει δουλεια και γραψιμο για μια επισημη λυση )

Να λυθει η εξισωση ${2}^{x}+{4}^{x}=5{x}^{2}-x+2$

Τα φέρνουμε στο πρώτο μέλος και το θεωρούμε f.
H f έχει προφανεις ρίζες τα 0,1,2.
Υποθέτουμε ότι έχει και τεταρτη ρίζα και μετα απο πολλαπλά Rolle βγαίνει ${f}^{\left(3 \right)}\left(x \right)=0$ , άτοπο διότι ${f}^{\left(3 \right)}\left(x \right)>0$

coheNakatos · 28-01-10

Ακριβως ,απλη αλλα σκεψου τι δουλεια εχει για να την γραψεις ,εκτος λογικης παννελλαδικων φυσικα

lowbaper92 · 15 Φεβρουαρίου 2010

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Ακριβως ,απλη αλλα σκεψου τι δουλεια εχει για να την γραψεις ,εκτος λογικης παννελλαδικων φυσικα

Ε ενταξει ποτε δεν ξερεις. Το 2003 ειχαν βαλει μια ασκηση που ενας τροπος λύσης ηταν με 6 ΘΜΤ :wall:

Θεωρούμε την εξίσωση:
(x-1)lnx=x+1

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση εχει 2 ακριβώς ρίζες. Τις ονομάζουμε α,β.

ii) Να αποδείξετε οτι αβ=1

Αν έχετε απορια, ρωτήστε

coheNakatos · 13-02-10

Την ξεχασα αυτην ρε
λοιπον
α) Με συνολο τιμων ..
β) εδω : αφου α,β ριζες a-1(lna)=a+1, ομοια για το β και με 2 φορες ατοπο (αβ>1 και αβ<1 ) βγαινει το ζητουμενο

lowbaper92 · 13-02-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Την ξεχασα αυτην ρε
λοιπον
α) Με συνολο τιμων ..
β) εδω : αφου α,β ριζες a-1(lna)=a+1, ομοια για το β και με 2 φορες ατοπο (αβ>1 και αβ<1 ) βγαινει το ζητουμενο

Συνολο τιμών σε ποια συναρτηση πήρες?

coheNakatos · 13-02-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Συνολο τιμών σε ποια συναρτηση πήρες?

Μπορεις ειτε να διαιρεσεις χ-1 και ολα στο 1ο μελος ή ετσι οπως ειναι το ιδιο πραγμα θα βγει

lowbaper92 · 19 Φεβρουαρίου 2010

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Μπορεις ειτε να διαιρεσεις χ-1 και ολα στο 1ο μελος ή ετσι οπως ειναι το ιδιο πραγμα θα βγει

Ετσι όπως ειναι δεν νομίζω να γίνεται. Αφού απο την f(x)=(x-1)lnx-x-1 δεν μπορείς να βρείς διαστήματα μονοτονίας.

Μια συνάρτηση f ειναι ορισμένη και 3 φορές παραγωγίσιμη στο διαστημα Δ=(α,β).
Υποθέτουμε οτι $f\left(x \right)\geq 0$ για καθε xεΔ και οτι η f εχει 2 (διαφορετικές) ρίζες στο Δ.
Να αποδείξετε οτι η εξίσωση ${f}^{\left(3 \right)}\left(x \right)$ εχει μια τουλαχιστον ρίζα στο Δ.

Δεν ειναι δύσκολη αλλα εχει γραψιμο.

Eukleidis · 14-02-10

Αν για τους πραγματικούς α,β,γ,δ ισχύει η σχέση
$a + \frac{\beta }{2} + \frac{\gamma }{3} + \frac{\delta }{4} = 0$

να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\alpha + \beta x + \gamma {x^2} + \delta {x^3} = 0$ εχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1)

coheNakatos · 14-02-10

Αρχική Δημοσίευση από Eukleidis:
Αν για τους πραγματικούς α,β,γ,δ ισχύει η σχέση
$a + \frac{\beta }{2} + \frac{\gamma }{3} + \frac{\delta }{4} = 0$

να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\alpha + \beta x + \gamma {x^2} + \delta {x^3} = 0$ εχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1)

Rolle στην $f(x)=\frac{\delta {x}^{4}}{4}+\frac{\gamma {x}^{3}}{3}+ \frac{\beta {x}^{2}}{2}+ax$ στο [0,1]

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος