Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

g!orgos · 05-12-09

Φιλε σε ευχαριστουμε!

Αρχική Δημοσίευση από g!orgos:
Νομιζω δηλ οτι θα πρεπει να τονιζετε οτι η πρωτη παραγωγος ειναι συνεχης για να μπορεσουμε να πουμε οτι διατηρει προσημο αφου f ' (x) διαφορη του μηδενος...

Για αυτό ειχα τονισει αν η εκφωνηση μας λεει αν η συναρτηση ειναι συνεχης....

blacksheep · 05-12-09

Γενικα ας γραψω και ενα πορισμα,που μπορει να βοηθα σε ασκησεις.
Αν μια συναρτηση ειναι 1-1 και συνεχης τοτε θα ειναι και γνησιως μονοτονη.Βεβαια θελει αποδειξη.

jimmy007 · 05-12-09

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
Επειδή λοιπόν βλέπω πολλά ποστ και απ ότι βλέπω σας ενδιαφέρει το συγκεκριμένο θεώρημα σας παραθέτω τις προυποθέσεις και την απόδειξη του συγκεκριμένου θεωρήματος.Το συγκεκριμένο θεώρημα αποδεικνύεται με γνώσεις Λυκείου απλά δεν εμπεριέχεται στο σχολικό βιβλίο.

Θεώρημα Darboux ή θεώρημα ενδιάμεσης τιμής της παραγώγου:

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $[a,b]$ ,τότε (η παράγωγος της) $f '$ παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ $f '(a)$ και $f '(b)$ , δηλαδή το $f '([a,b])$ είναι διάστημα.

Aν αποδείξεις ότι η παράγωγος παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές δεν αποδεικνύεις ότι το σύνολο τιμών της είναι διάστημα.

Πως μπορείς να αποκλείσεις την πιθανότητα να πάρει μια τιμή κ μεγαλύτερη από τα f'(α) και f'(b)??
Αν ισχύει αυτό που λέω δεν βγαίνει έτσι η άσκηση..

Eπίσης εκεί που δείχνεις ότι g'(α) και g'(b) είναι μικρότερα του μηδενός το εξηγείς λίγο περισσότερο. Πώς συμπεραίνεις ότι g(x)>g(α) όταν το x τείνει στο α από τα θετικά??
Νομίζω πως μπορείς να πεις απλά ότι το όριο είναι διάφορο του μηδενός χωρίς να προσδιορίσεις πρόσημο.

personGR · 06-12-09

Έγραψα διαγώνισμα στο πρώτο κεφάλαιο της ανάλυσης σήμερα... Ορίστε το ποιο ενδιαφέρον θέμα (τα άλλα ήταν κλασσικές μεθοδολογίες δυστυχώς, καμιά πρόκληση :xixi: )

ΠΡΟΒΛΗΜΑ:

Έστω $f(x)=x^2+ax+b$ και $g(x)=-x^2+ax+b$ .

Οι f, g συνεχείς στο $[{r}_{1},{r}_{2}]$ με $f({r}_{1})=g({r}_{2})=0$ και ${r}_{1} < {r}_{2}$ .

ΝΔO υπάρχει ${x}_{o}\in ({r}_{1},{r}_{2})$ ώστε $3f({x}_{o})+g({x}_{o})=0$ ...

ΛΥΣΗ

Άντε παιδευτείτε λίγο (J/K θα τη βάλω το βράδυ τώρα δεν προλαβαίνω :S )

Metal-Militiaman · 06-12-09

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Aν αποδείξεις ότι η παράγωγος παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές δεν αποδεικνύεις ότι το σύνολο τιμών της είναι διάστημα.

Πως μπορείς να αποκλείσεις την πιθανότητα να πάρει μια τιμή κ μεγαλύτερη από τα f'(α) και f'(b)??
Αν ισχύει αυτό που λέω δεν βγαίνει έτσι η άσκηση..

Eπίσης εκεί που δείχνεις ότι g'(α) και g'(b) είναι μικρότερα του μηδενός το εξηγείς λίγο περισσότερο. Πώς συμπεραίνεις ότι g(x)>g(α) όταν το x τείνει στο α από τα θετικά??
Νομίζω πως μπορείς να πεις απλά ότι το όριο είναι διάφορο του μηδενός χωρίς να προσδιορίσεις πρόσημο.

Προσπάθησα να κάνω την απόδειξη όσο πιο απλή γίνεται και από τι κατάλαβα έχεις κάποιες απορίες.
Γι' αυτό θα ξεκινήσω με μια χαρακτηριστική πρόταση η οποία για να κατανοηθεί χρειάζεται να έχεις κατανοήσει τον ορισμό $\epsilon -\delta$ του ορίου της συνέχειας και της παραγώγου.Xωρίς να λες για παράδειγμα προτάσεις τύπου ''κοντά στο ${x}_{0}$ όταν αναφαίρεσαι σε όριο.

Πρόταση

Έστω μια συνάρτηση f: \Delta\rightarrow R που στο εσωτερικό σημείο $\xi$ είναι παραγώγηση.

(α) Αν $f '(\xi ) >0$ , τότε υπάρχει περιοχή $U(\xi )\subset \Delta$ τέτοια,ώστε για κάθε ${x}_{1},{x}_{2}\in U(\xi )$ με ${x}_{1}<\xi <{x}_{2}$ να ισχύει $f({x}_{1})<f(\xi ) <f({x}_{2})$ .

(β) Αν $f '(\xi ) <0$ , τότε υπάρχει περιοχή $U(\xi )\subset \Delta$ τέτοια,ώστε για κάθε ${x}_{1},{x}_{2}\in U(\xi )$ με ${x}_{1}<\xi <{x}_{2}$ να ισχύει $f({x}_{1})>f(\xi ) >f({x}_{2})$ .

Απόδειξη

Επειδή $\lim_{x\rightarrow \xi }\frac{f(x)-f(\xi )}{x-\xi }=f '(\xi )>0$

υπάρχει $\delta >0$ τέτοιο, ώστε για κάθε $x\in \Delta$ με $0<\left|x- \xi \right|<\delta$ να ισχύει $\frac{f(x)-f(\xi )}{x-\xi }>0$ .

Επομένως, για $\xi -\delta<{x}_{1}<\xi$ ισχύει $f({x}_{1})-f(\xi )<0$ , δηλαδή $f({x}_{1})<f(\xi )$ , ενώ για $\xi <{x}_{2}<\xi +\delta$ ισχύει
$f(\xi )-f({x}_{2})<0$ ,δηλαδή $f(\xi )<f({x}_{2})$ .

Όμοια αποδεικνύεται το (β). $\bullet$

Σε ανάλογο κλίμα βάση του αυστηρού ορισμού του ορίου συνάρτης θα γίνει η απόδειξη του θεωρήματος των ενδιαμέσων τιμώς της παραγώγου

Θεώρημα Darboux ή θεώρημα ενδιάμεσης τιμής της παραγώγου:

Αν μια συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα

,τότε (η παράγωγος της)

παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ

και

, δηλαδή το

είναι διάστημα.

Aπόδειξη

Yποθέτουμε $f '(\alpha )>f '(\beta )$ και $f '(\alpha )>\lambda >f '(\beta )$ . Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει $\xi \in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο, ώστε $f '(\xi)=\lambda$ .
Θεωρούμε τη συνάρτηση

,τότε η

είναι συνεχής στο $[\alpha ,\beta ]$ οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Μεγίστου-Ελαχίστου(Extreme Value Theorem) η

παίρνει μια μέγιστη τιμή.Θα αποδείξουμε ότι $\xi \neq \alpha$ .

Eπειδή $f '(\alpha )>\lambda\Rightarrow f '(\alpha )-\lambda >\lambda-\lambda \Rightarrow g '(\alpha )>0$ , τότε σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση υπάρχει $\delta >0$ (ή περιοχή $U(\xi)$ κέντρου $\alpha$ ακτίνας $\delta$ ) ώστε για κάθε $x \in [\alpha ,\alpha +\delta )$ να ισχύει $g(x)>g(\alpha )$ . Aυτό όμως σημαίνει ότι η $g(\alpha )$ δεν είναι η μέγιστη τιμή της $g$ .

Ανάλογα αποδεικνύεται ότι $\xi \neq \beta$ .

Eπομένως $\xi \in (\alpha ,\beta)$ και σύμφωνα με το θεώρημα Fermat ισχύει

$g '(\xi )=f '(\xi )-\lambda =0$ , δηλαδή $f '(\xi )=\lambda$

Ανάλογα αποδεικνύεται για $f '(\alpha )< f '(\beta )$ $\bullet$

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Νομίζω πως μπορείς να πεις απλά ότι το όριο είναι διάφορο του μηδενός χωρίς να προσδιορίσεις πρόσημο.

Αν κατάλαβα σωστά μάλλον κάνεις λάθος διότι το θεώρημα Fermat ισχύει ΜΟΝΟ για εσωτερικά σημεία, με το να λέμε :

$\xi$ σημείο τοπικού ακροτάτου $\Rightarrow f '(\xi )=0$ .

είναι σα να λέμε $f '(\xi )\neq 0 \Rightarrow$ $\xi$ σημείο τοπικού ακροτάτου .

Όμως οι παρακάτω ισχυρισμοί είναι αληθείς μόνο όταν το $\xi$ είναι εσωτερικό σημείο. Επομένως με το να αποδεικνύεις ότι η παράγωγος στο άκρο ενός διαστήματος είναι διάφορη του μηδενός δε σου εξασφαλίζει ότι στο συγκεκριμένο σημείο η συνάρτηση δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο γι' αυτό δουλεύουμε με το πρόσημο.

jimmy007 · 06-12-09

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
Προσπάθησα να κάνω την απόδειξη όσο πιο απλή γίνεται και από τι κατάλαβα έχεις κάποιες απορίες.
Γι' αυτό θα ξεκινήσω με μια χαρακτηριστική πρόταση η οποία για να κατανοηθεί χρειάζεται να έχεις κατανοήσει τον ορισμό $epsilon -delta$ του ορίου της συνέχειας και της παραγώγου.Xωρίς να λες για παράδειγμα προτάσεις τύπου ''κοντά στο ${x}_{0}$ όταν αναφαίρεσαι σε όριο.

Πρόταση

Έστω μια συνάρτηση f: Deltarightarrow R που στο εσωτερικό σημείο $xi$ είναι παραγώγηση.

(α) Αν $f '(xi ) >0$ , τότε υπάρχει περιοχή $U(xi )subset Delta$ τέτοια,ώστε για κάθε ${x}_{1},{x}_{2}in U(xi )$ με ${x}_{1}<xi <{x}_{2}$ να ισχύει $f({x}_{1})<f(xi ) <f({x}_{2})$ .

(β) Αν $f '(xi ) <0$ , τότε υπάρχει περιοχή $U(xi )subset Delta$ τέτοια,ώστε για κάθε ${x}_{1},{x}_{2}in U(xi )$ με ${x}_{1}<xi <{x}_{2}$ να ισχύει $f({x}_{1})>f(xi ) >f({x}_{2})$ .

Απόδειξη

Επειδή $lim_{xrightarrow xi }frac{f(x)-f(xi )}{x-xi }=f '(xi )>0$

υπάρχει $delta >0$ τέτοιο, ώστε για κάθε $xin Delta$ με $0<left|x- xi right|<delta$ να ισχύει $frac{f(x)-f(xi )}{x-xi }>0$ .

Επομένως, για $xi -delta<{x}_{1}<xi$ ισχύει $f({x}_{1})-f(xi )<0$ , δηλαδή $f({x}_{1})<f(xi )$ , ενώ για $xi <{x}_{2}<xi +delta$ ισχύει
$f(xi )-f({x}_{2})<0$ ,δηλαδή $f(xi )<f({x}_{2})$ .

Όμοια αποδεικνύεται το (β). $bullet$

Σε ανάλογο κλίμα βάση του αυστηρού ορισμού του ορίου συνάρτης θα γίνει η απόδειξη του θεωρήματος των ενδιαμέσων τιμώς της παραγώγου

Θεώρημα Darboux ή θεώρημα ενδιάμεσης τιμής της παραγώγου:

Αν μια συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα

,τότε (η παράγωγος της)

παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ

και

, δηλαδή το

είναι διάστημα.

Aπόδειξη

Yποθέτουμε $f '(alpha )>f '(beta )$ και $f '(alpha )>lambda >f '(beta )$ . Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει $xi in (alpha ,beta )$ τέτοιο, ώστε $f '(xi)=lambda$ .
Θεωρούμε τη συνάρτηση

,τότε η

είναι συνεχής στο $[alpha ,beta ]$ οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Μεγίστου-Ελαχίστου(Extreme Value Theorem) η

παίρνει μια μέγιστη τιμή.Θα αποδείξουμε ότι $xi neq alpha$ .

Eπειδή $f '(alpha )>lambdaRightarrow f '(alpha )-lambda >lambda-lambda Rightarrow g '(alpha )>0$ , τότε σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση υπάρχει $delta >0$ (ή περιοχή $U(xi)$ κέντρου $alpha$ ακτίνας $delta$ ) ώστε για κάθε $x in [alpha ,alpha +delta )$ να ισχύει $g(x)>g(alpha )$ . Aυτό όμως σημαίνει ότι η $g(alpha )$ δεν είναι η μέγιστη τιμή της $g$ .

Ανάλογα αποδεικνύεται ότι $xi neq beta$ .

Eπομένως $xi in (alpha ,beta)$ και σύμφωνα με το θεώρημα Fermat ισχύει

$g '(xi )=f '(xi )-lambda =0$ , δηλαδή $f '(xi )=lambda$

Ανάλογα αποδεικνύεται για $f '(alpha )< f '(beta )$ $bullet$

Αν κατάλαβα σωστά μάλλον κάνεις λάθος διότι το θεώρημα Fermat ισχύει ΜΟΝΟ για εσωτερικά σημεία, με το να λέμε :

$xi$ σημείο τοπικού ακροτάτου $Rightarrow f '(xi )=0$ .

είναι σα να λέμε $f '(xi )neq 0 Rightarrow$ $xi$ σημείο τοπικού ακροτάτου .

Όμως οι παρακάτω ισχυρισμοί είναι αληθείς μόνο όταν το $xi$ είναι εσωτερικό σημείο. Επομένως με το να αποδεικνύεις ότι η παράγωγος στο άκρο ενός διαστήματος είναι διάφορη του μηδενός δε σου εξασφαλίζει ότι στο συγκεκριμένο σημείο η συνάρτηση δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο γι' αυτό δουλεύουμε με το πρόσημο.

Ευχαριστώ για τον χρόνο που αφιέρωσες. Δεν έχω κάνει ακόμα Fermat, και για αυτό δεν γνώριζα ότι ισχύει για τα άκρα.
Ο ενδοιασμός μου όμως ως προς την ορθότητα του θεωρήματος Darboux παραμένει. Δείχνουμε ότι η f' παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ f'(α) και f'(β) στο (α,β). Πως είμαστε όμως σίγουροι ότι για ένα k ανάμεσα στα α,β, η παράγωγος δεν παίρνει μία τιμή που δεν ανήκει σε αυτό το διάστημα τιμών(δηλαδή ανάμεσα στα f'(α) και f'(β)) χωρίς να παίρνει όλες τις τιμές ανάμεσα στο πλησιέστερο άκρο του διαστήματος τιμών και αυτής της τιμής ώστε να συμπεράνουμε ότι το σύνολο τιμών είναι διάστημα και μάλιστα κλειστό?

Metal-Militiaman · 06-12-09

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Ευχαριστώ για τον χρόνο που αφιέρωσες. Δεν έχω κάνει ακόμα Fermat, και για αυτό δεν γνώριζα ότι ισχύει για τα άκρα.

To θεώρημα Fermat ΔΕΝ ισχύει για τα άκρα

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Ο ενδοιασμός μου όμως ως προς την ορθότητα του θεωρήματος Darboux παραμένει. Δείχνουμε ότι η f' παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ f'(α) και f'(β) στο (α,β). Πως είμαστε όμως σίγουροι ότι για ένα k ανάμεσα στα α,β, η παράγωγος δεν παίρνει μία τιμή που δεν ανήκει σε αυτό το διάστημα τιμών(δηλαδή ανάμεσα στα f'(α) και f'(β)) χωρίς να παίρνει όλες τις τιμές ανάμεσα στο πλησιέστερο άκρο του διαστήματος τιμών και αυτής της τιμής ώστε να συμπεράνουμε ότι το σύνολο τιμών είναι διάστημα και μάλιστα κλειστό?

To διάστημα τιμών της παραγώγου δεν είναι το $R(f ')=[f '(a),f '(b)]$ δηλαδή αν το $k$ ανήκει στο διάστημα $R(f ')$ (το σύνολο τιμών συμβολίζεται και $f[\alpha, \beta ]$ ) με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών της παραγώγου δείχνουμε ότι για μια συνάρτηση $f: I\rightarrow R$ (όπου $I$ είτε ανοικτό είτε κλειστό διάστημα) η εικόνα της παραγώγου συνάρτησης (συμβολίζεται και $f(I)$ ) $f ': I\rightarrow R$ είναι ένα διάστημα, δηλαδή αν $\alpha ,\beta$ είναι σημεία του $I$ και $\lambda$ είναι αυστηρώς μεταξύ των $f '(\alpha)$ και $f '(\beta )$ , τότε υπάρχει σημείο ${x}_{0}$ του $I$ τέτοιο, ώστε

$f '({x}_{0})=\lambda$

jimmy007 · 06-12-09

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
To θεώρημα Fermat ΔΕΝ ισχύει για τα άκρα

To διάστημα τιμών της παραγώγου δεν είναι το $R(f ')=[f '(a),f '(b)]$ δηλαδή αν το $k$ ανήκει στο διάστημα $R(f ')$ (το σύνολο τιμών συμβολίζεται και $f[alpha, beta ]$ ) με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών της παραγώγου δείχνουμε ότι για μια συνάρτηση $f: Irightarrow R$ (όπου $I$ είτε ανοικτό είτε κλειστό διάστημα) η εικόνα της παραγώγου συνάρτησης (συμβολίζεται και $f(I)$ ) $f ': Irightarrow R$ είναι ένα διάστημα, δηλαδή αν $alpha ,beta$ είναι σημεία του $I$ και $lambda$ είναι αυστηρώς μεταξύ των $f '(alpha)$ και $f '(beta )$ , τότε υπάρχει σημείο ${x}_{0}$ του $I$ τέτοιο, ώστε

$f '({x}_{0})=lambda$

Με κ δεν συμβόλισα τιμή της f' αλλά τιμή της μεταβλητής, δηλαδή του x.Δεν τα πάω πάω πολύ καλά με την LaTeX δυστυχώς.
Δείχνοντας ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ${x}_{0}$ του $I$ τέτοιο, ώστε

$f '({x}_{0})=\lambda$

δεν δείχνουμε ότι το σύνολο τιμών είναι διάστημα. Απλά δείχνουμε ότι η f' παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές. Δεν αρκεί αυτό για να υποστηρίξεις ότι το f'([α,β]) είναι διάστημα.
Επαναλαμβάνω πως ξέρεις ότι δεν υπάρχει ένα \kappa \epsilon R ώστε f'(\kappa )> f'(β)>f'(α) (θεωρώντας για παράδειγμα ότι f'(β)>f'(α)) χωρίς η f' να παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές ανάμεσα στα f'(\kappa ) και f'(β)?
Σε τέτοια περίπτωση το f'([α,β]) δεν είναι διάστημα.

ioanna.lala · 06-12-09

οι συναρτήσεις f,g είναι 1-1 και έχουν πεδίο τιμών το R. Αν είναι παραγωγίσιμες στο R και ισχύει f'(x)=g-1(x), g'(x)=f-1(x), xER. Να αποδείξετε ότι (fog+gof)'=x[(f+g)'(x)].

πφφφφ..................έχω κολλήσει....

coheNakatos · 06-12-09

Αρχική Δημοσίευση από personGR:
Έγραψα διαγώνισμα στο πρώτο κεφάλαιο της ανάλυσης σήμερα... Ορίστε το ποιο ενδιαφέρον θέμα (τα άλλα ήταν κλασσικές μεθοδολογίες δυστυχώς, καμιά πρόκληση :xixi: )

ΠΡΟΒΛΗΜΑ:

Έστω $f(x)=x^2+ax+b$ και $g(x)=-x^2+ax+b$ .

Οι f, g συνεχείς στο $[{r}_{1},{r}_{2}]$ με $f({r}_{1})=g({r}_{2})=0$ και ${r}_{1} < {r}_{2}$ .

ΝΔO υπάρχει ${x}_{o}in ({r}_{1},{r}_{2})$ ώστε $3f({x}_{o})+g({x}_{o})=0$ ...

ΛΥΣΗ

Άντε παιδευτείτε λίγο (J/K θα τη βάλω το βράδυ τώρα δεν προλαβαίνω :S )

Λιγο μπερδεμενη η λυση μου θα υπαρχει και κατι πιο απλο αλλα δεν μου ερχεται τωρα

$f({r}_{1})=0 \Leftrightarrow b=-{{r}_{1}}^{2}-a{r}_{1} (1)$
$g({r}_{2})=0 \Leftrightarrow b={{r}_{2}}^{2}-a{r}_{2} (2)$

Θεωρω την $h(x)=3f(x)+g(x)$
$h({r}_{1})=g({r}_{1})=-{{r}_{1}}^{2}+a{r}_{1}+b{=}^{(1)}=-2{{r}_{1}}^{2}$
$h({r}_{2})=3f({r}_{2})=3({{r}_{2}}^{2}+a{r}_{2}+b){=}^{(2)}=3(2{{r}_{2}}^{2})$
Αρα $h({r}_{2})h({r}_{1})=-12{{r}_{2}}^{2}{r}_{1}}^{2}\preceq 0$

Εδω δεν μπορω να απορριψω το =0

jimmy007 · 06-12-09

Αρχική Δημοσίευση από personGR:
Έγραψα διαγώνισμα στο πρώτο κεφάλαιο της ανάλυσης σήμερα... Ορίστε το ποιο ενδιαφέρον θέμα (τα άλλα ήταν κλασσικές μεθοδολογίες δυστυχώς, καμιά πρόκληση :xixi: )

ΠΡΟΒΛΗΜΑ:

Έστω $f(x)=x^2+ax+b$ και $g(x)=-x^2+ax+b$ .

Οι f, g συνεχείς στο $[{r}_{1},{r}_{2}]$ με $f({r}_{1})=g({r}_{2})=0$ και ${r}_{1} < {r}_{2}$ .

ΝΔO υπάρχει ${x}_{o}in ({r}_{1},{r}_{2})$ ώστε $3f({x}_{o})+g({x}_{o})=0$ ...

ΛΥΣΗ

Άντε παιδευτείτε λίγο (J/K θα τη βάλω το βράδυ τώρα δεν προλαβαίνω :S )

αξιοποιείς ότι f(r1)=0 και g(r2)=0 και παίρνεις Βοlzano για την 3f(x)+g(x) στο r1,r2. Το γινόμενο σου βγαίνει -12{r1}^{2} επί {r2}^{2} που είναι αρνητικός για r1,r2 διάφορα του μηδενός.

αν r1=0 τότε r2=0 ή r2=a(από τον τύπο των f,g).Προκύπτει επίσης β=0
το 0 απορ. γιατί r1\neq r2
oπότε αν r1=0 τότε r2=α
Έστω ότι α>0
Έστω ότι υπάρχει x0 ώστε 3f(x0)+g(xo)=0
οπότε..... x0=0 ή x0=-2a<0 οπότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο (ρ1,ρ2) που είναι το (0,α).
Μήπως υπάρχει κάποια παράλειψη στην εκφώνηση??

Και εγώ το ίδιο με τον Cohe..

jimmy007 · 06-12-09

Αρχική Δημοσίευση από ioanna.lala:
οι συναρτήσεις f,g είναι 1-1 και έχουν πεδίο τιμών το R. Αν είναι παραγωγίσιμες στο R και ισχύει f'(x)=g-1(x), g'(x)=f-1(x), xER. Να αποδείξετε ότι (fog+gof)'=x[(f+g)'(x)].

πφφφφ..................έχω κολλήσει....

Tι είναι αυτό??/ :bye:

coheNakatos · 06-12-09

Μπορει ειτε να ειναι $r1,r2 \neq 0$ ειτε η ριζα να ειναι στο κλειστο διαστημα

jimmy007 · 06-12-09

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Μπορει ειτε να ειναι $r1,r2 neq 0$ ειτε η ριζα να ειναι στο κλειστο διαστημα

Ακριβώς. Εκτός αν δεν έχουμε δει εμείς κατι...

ioanna.lala · 06-12-09

άσκηση στις παραγώγους για το σχολείο.....πφφφφ....δεν μας βάζει ασκήσεις από το σχολικό...

coheNakatos · 06-12-09

Αρχική Δημοσίευση από ioanna.lala:
άσκηση στις παραγώγους για το σχολείο.....πφφφφ....δεν μας βάζει ασκήσεις από το σχολικό...

αντιστροφη ειναι Μητσο

jimmy007 · 06-12-09

Αρχική Δημοσίευση από ioanna.lala:
άσκηση στις παραγώγους για το σχολείο.....πφφφφ....δεν μας βάζει ασκήσεις από το σχολικό...

Δεν εννοούσα αυτό αλλά δεν πειράζει..

αντιστροφη ειναι Μητσο

:thanks:

ioanna.lala · 06-12-09

ααα...και τι εννοούσες???

coheNakatos · 06-12-09

Αρχική Δημοσίευση από ioanna.lala:
οι συναρτήσεις f,g είναι 1-1 και έχουν πεδίο τιμών το R. Αν είναι παραγωγίσιμες στο R και ισχύει f'(x)=g-1(x), g'(x)=f-1(x), xER. Να αποδείξετε ότι (fog+gof)'=x[(f+g)'(x)].

πφφφφ..................έχω κολλήσει....

$[f(g(x))]'+[g(f(x))]'=f'(g(x))g'(x)+g'(f(x))f'(x)={g}^{-1}(g(x))g'(x)+{f}^{-1}(f(x))f'(x)=x(f'(x)+g'(x))=x(f+g)'(x)$

Βαγγελης (Blacksheep

)

jimmy007 · 06-12-09

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
$[f(g(x))]'+[g(f(x))]'=f'(g(x))g'(x)+g'(f(x))f'(x)={g}^{-1}(g(x))g'(x)+{f}^{-1}(f(x))f'(x)=x(f'(x)+g'(x))=x(f+g)'(x)$

Βαγγελης (Blacksheep )

Mε πρόλαβες :'(

.
Τώρα αρχίσαμε και τα ονοματάκια κάτω από την άσκηση?? :lol:

Εντός θέματος τώρα, αυτό με την σχέση f και f αντίστροης είναι πολύ καλό εργαλείο και σε κάτι ασκήσεις που ψάχνεις τύπους συναρτήσεων μέσα σε συστήματα είναι μονόδρομος...

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος