Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Samael]

Καλημέρα.
Το β αποδεικνύεται παίρνοντας την παράγωγο της συναρτησιακής σχέσης απο όπου προκύπτει f'(x) > 0 άρα f γνησίως αύξουσα. Η κυρτότητα βγαίνει παίρνοντας την δεύτερη παράγωγο. Προκύπτει ένα κλάσμα λόγω της πρώτης παραγώγου, του οποίου ο αριθμητής μέσω πράξεων βγαίνει πάντα θετικός. Ο παρανομαστής επίσης.

Όσον αφορά στο γ :

f(x) > sqrt(e^x)
f(x)lnf(x) > sqrt(e^x)lnf(x)
e^(-x/2) > lnf(x)
e^(e^(-x/2)) > f(x)

Τελικά :

sqrt(e^x) < f(x) < e^(e^(-x/2)) => x > 0 στο +οο
sqrt(e^x)/χ < f(x)/χ < e^(e^(-x/2))χ

Απο το κριτήριο παρεμβολής επειδή τόσο το όριο του άνω και κάτω φράγματος πάνε στο +οο όταν το χ πλησιάζει το +οο, και η ποσότητα f(x)/x θα πλησιάζει το +οο .

Επιπλέον για το ζητούμενο όριο έχουμε :

1 < 1+lnx/f(x) < 1+x/f(x) =>
1 < 1+lnx/f(x) < 1+1/f(x)/x =>
1 < [1+lnx/f(x)]^(f(x)/x) < [1 + 1/f(x)/x]^(f(x)/x)

Εν τέλει πάλι απο το κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε οτι τόσο το κάτω όσο και το άνω φράγμα έχει όριο το 1 στο +οο . Άρα το όριο της φραγμενης ποσότητας μας δίνει 1.

Για το δ :
Παρατηρούμε καταρχάς οτι το 2 είναι ρίζα της εξίσωσης.
Έπειτα θέτουμε : g(x) = 2[f(x) - f(2)] + x[f(2) - f(4)] - 2[f(2) - f(4)]
g'(x) = 2f'(x) + f(2) - f(4) .

Θέτουμε g'(x) = 0 =>
2f'(x) + f(2) - f(4) = 0 =>
f'(x) = f(4) - f(2) / 2 = [f(4) - f(2)] / (4 - 2)

Πράγματι απο το ΘΜΤ για την f στο [2,4] υπάρχει ξ που να ικανοποιεί τέτοια συνθήκη και επίσης είναι μοναδικό καθώς η f είναι κυρτή και επομένως η f' γνησίως αύξουσα. Άρα για x < ξ => g'(ξ) < 0 ενώ για x > ξ => g'(ξ) > 0 .

Παρατήρηση λοιπόν : εαν δείξω οτι ξ = 2 τελείωσα.

g(ξ) = 2[f(ξ) - f(2)] + ξ[f(2) - f(4)] - 2[f(2) - f(4)]

Η εφαπτομένη της f στο ξ είναι :
y - f(ξ) = f'(ξ)(χ-ξ) =>
y - f(ξ) = [f(4) - f(2)]χ/2 - ξ[f(4) - f(2)]/2
y = [f(4) - f(2)]χ/2 - ξ[f(4) - f(2)]/2 + f(ξ) => f κυρτή
f(x) >= [f(4) - f(2)]χ/2 - ξ[f(4) - f(2)]/2 + f(ξ) => με την ισότητα να ισχύει μόνο αν x = ξ

2[f(x) - f(ξ)] >= -x[f(2) - f(4)] + ξ[f(2) - f(4)]
2[f(x) - f(ξ)] + x[f(2) - f(4)] - ξ[f(2) - f(4)] >= 0
2[f(ξ) - f(x)] - x[f(2) - f(4)] + ξ[f(2) - f(4)] <= 0

Για x = 2 στην παραπάνω :
g(ξ) <= 0 , με την ισότητα να μπορει να ισχύει μόνο όταν ξ = 2 .

Τελικά επειδή g(ξ) = g(2) = 0 , και επειδή αυτό το σημείο είναι ελάχιστο της g, συμπεραίνουμε ότι το x = 2 είναι μοναδική λύση της αρχικής εξίσωσης.

 

[Alexandros28]

Το όριο του άνω φράγματος δεν είναι e; Αν θέσουμε f(x)/x=u καταλήγουμε στον ορισμό του e

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 16 Σεπτεμβρίου 2021

Επίσης στο δ είναι ριζα και η x=4

 

[asdfqwerty]

Καλημέρα.
Το β αποδεικνύεται παίρνοντας την παράγωγο της συναρτησιακής σχέσης απο όπου προκύπτει f'(x) > 0 άρα f γνησίως αύξουσα. Η κυρτότητα βγαίνει παίρνοντας την δεύτερη παράγωγο. Προκύπτει ένα κλάσμα λόγω της πρώτης παραγώγου, του οποίου ο αριθμητής μέσω πράξεων βγαίνει πάντα θετικός. Ο παρανομαστής επίσης.

Όσον αφορά στο γ :

f(x) > sqrt(e^x)
f(x)lnf(x) > sqrt(e^x)lnf(x)
e^(-x/2) > lnf(x)
e^(e^(-x/2)) > f(x)

Τελικά :

sqrt(e^x) < f(x) < e^(e^(-x/2)) => x > 0 στο +οο
sqrt(e^x)/χ < f(x)/χ < e^(e^(-x/2))χ

Απο το κριτήριο παρεμβολής επειδή τόσο το όριο του άνω και κάτω φράγματος πάνε στο +οο όταν το χ πλησιάζει το +οο, και η ποσότητα f(x)/x θα πλησιάζει το +οο .

Επιπλέον για το ζητούμενο όριο έχουμε :

1 < 1+lnx/f(x) < 1+x/f(x) =>
1 < 1+lnx/f(x) < 1+1/f(x)/x =>
1 < [1+lnx/f(x)]^(f(x)/x) < [1 + 1/f(x)/x]^(f(x)/x)

Εν τέλει πάλι απο το κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε οτι τόσο το κάτω όσο και το άνω φράγμα έχει όριο το 1 στο +οο . Άρα το όριο της φραγμενης ποσότητας μας δίνει 1.

Για το δ :
Παρατηρούμε καταρχάς οτι το 2 είναι ρίζα της εξίσωσης.
Έπειτα θέτουμε : g(x) = 2[f(x) - f(2)] + x[f(2) - f(4)] - 2[f(2) - f(4)]
g'(x) = 2f'(x) + f(2) - f(4) .

Θέτουμε g'(x) = 0 =>
2f'(x) + f(2) - f(4) = 0 =>
f'(x) = f(4) - f(2) / 2 = [f(4) - f(2)] / (4 - 2)

Πράγματι απο το ΘΜΤ για την f στο [2,4] υπάρχει ξ που να ικανοποιεί τέτοια συνθήκη και επίσης είναι μοναδικό καθώς η f είναι κυρτή και επομένως η f' γνησίως αύξουσα. Άρα για x < ξ => g'(ξ) < 0 ενώ για x > ξ => g'(ξ) > 0 .

Παρατήρηση λοιπόν : εαν δείξω οτι ξ = 2 τελείωσα.

g(ξ) = 2[f(ξ) - f(2)] + ξ[f(2) - f(4)] - 2[f(2) - f(4)]

Η εφαπτομένη της f στο ξ είναι :
y - f(ξ) = f'(ξ)(χ-ξ) =>
y - f(ξ) = [f(4) - f(2)]χ/2 - ξ[f(4) - f(2)]/2
y = [f(4) - f(2)]χ/2 - ξ[f(4) - f(2)]/2 + f(ξ) => f κυρτή
f(x) >= [f(4) - f(2)]χ/2 - ξ[f(4) - f(2)]/2 + f(ξ) => με την ισότητα να ισχύει μόνο αν x = ξ

2[f(x) - f(ξ)] >= -x[f(2) - f(4)] + ξ[f(2) - f(4)]
2[f(x) - f(ξ)] + x[f(2) - f(4)] - ξ[f(2) - f(4)] >= 0
2[f(ξ) - f(x)] - x[f(2) - f(4)] + ξ[f(2) - f(4)] <= 0

Για x = 2 στην παραπάνω :
g(ξ) <= 0 , με την ισότητα να μπορει να ισχύει μόνο όταν ξ = 2 .

Τελικά επειδή g(ξ) = g(2) = 0 , και επειδή αυτό το σημείο είναι ελάχιστο της g, συμπεραίνουμε ότι το x = 2 είναι μοναδική λύση της αρχικής εξίσωσης.

Αυτη η υψωση σε μεταβλητη δυναμη δεν ξερω κατα ποσο νομιμη ειναι θελει συζητηση, τελος παντων το οριο αντιμετομιζεται πιο στοιχειωδως (υψωσι εις την e^{..} και μετα συνεχιζεις) .Επισης στο τελευταιο σαν λυση ειναι και το 4, θα φτιαξω καφε και θα δω πιο καθαρα την συγκεκριμενη προσπαθεια.

 

[Samael]

Αυτη η υψωση σε μεταβλητη δυναμη δεν ξερω κατα ποσο νομιμη ειναι θελει συζητηση, τελος παντων το οριο αντιμετομιζεται πιο στοιχειωδως (υψωσι εις την e^{..} και μετα συνεχιζεις) .Επισης στο τελευταιο σαν λυση ειναι και το 4, θα φτιαξω καφε και θα δω πιο καθαρα την συγκεκριμενη προσπαθεια.

Ναι εκείνο το σημείο το σκεφτόμουν και εγώ λίγο αλλά πρέπει να γίνεται λογικά γιατί οι βάσεις είναι >= 1 κοντά στο +οο .

Για το δ έχεις δίκιο, θέλει λίγη διόρθωση. Θα το κοιτάξω και εγώ εάν είναι το απόγευμα πάλι.

 

[Alexandros28]

Η ύψωση σε μεταβλητή δύναμη είναι νόμιμη, αλλά το όριο του άνω φράγματος δεν είναι 1 και δεν υπάρχει η ίσο σύγκλιση του κριτηρίου παρεμβολης

 

[Samael]

Η ύψωση σε μεταβλητή δύναμη είναι νόμιμη, αλλά το όριο του άνω φράγματος δεν είναι 1 και δεν υπάρχει η ίσο σύγκλιση του κριτηρίου παρεμβολης

Έχεις δίκιο. Ενταξει μικρό το κακό it's almost there εφόσον δεν είναι 0 η απειρο. Άρα πρέπει το άνω φράγμα να διαιρεθεί με e και ξεχωριστά να δειχτεί ότι και πάλι είναι άνω φράγμα.

Το κριτήριο παρεμβολής εφαρμόζεται διότι όταν ισχύει καθαρά η ανίσωση τότε ισχύει και η ανισόισοτητα αφού είναι ισότητα ή ανισότητα. Δεν είναι όπως στο σχολικό αλλά έτσι είναι.

 

[asdfqwerty]

Η ύψωση σε μεταβλητή δύναμη είναι νόμιμη, αλλά το όριο του άνω φράγματος δεν είναι 1 και δεν υπάρχει η ίσο σύγκλιση του κριτηρίου παρεμβολης

αμα ηταν νομιμη παντα θα ισχυε :

 

[Alexandros28]

ισχυει για μεγαλες τιμες του x αυτο

 

[asdfqwerty]

ισχυει για μεγαλες τιμες του x αυτο

γενικα δεν ειναι νομιμη και δεν ισχυει παντα, γιατι ο εκθετης μπορει να μεταβαλεται διαφορετικα σε σχεση με τον εκθετη, μπορω να βρω παραδειγματα που ισχυει αυτο. Το πιο ευκολο με τριγωνομετρικες συναρτησεις αλλα εδω περα ειναι κομπλε ωστοσο σε επιπεδο γ λυκειου θα υπαρξει θεμα αν γινει κατι τετοια σε μια εξεταση.

Το οριο παντως αντιμετωπιζεται πιο απλα, θα γραψω λυση αργοτερα τοσο και για το τελευταιο,μπορεις να γραψεις και εσυ αν θελεις την λυση σου

 

[Samael]

γενικα δεν ειναι νομιμη και δεν ισχυει παντα, γιατι ο εκθετης μπορει να μεταβαλεται διαφορετικα σε σχεση με τον εκθετη, μπορω να βρω παραδειγματα που ισχυει αυτο. Το πιο ευκολο με τριγωνομετρικες συναρτησεις αλλα εδω περα ειναι κομπλε ωστοσο σε επιπεδο γ λυκειου θα υπαρξει θεμα αν γινει κατι τετοια σε μια εξεταση.

Το οριο παντως αντιμετωπιζεται πιο απλα, θα γραψω λυση αργοτερα τοσο και για το τελευταιο,μπορεις να γραψεις και εσυ αν θελεις την λυση σου

Δεν νομίζω να υπάρξει πρόβλημα, το σχολικό χρησιμοποιεί εκφράσεις για το τι γίνεται "κοντά" στο χο. Οπότε κάποιος μπορεί να χτίσει σχετικά επιχειρήματα. Στο παράδειγμα που έθεσες λόγου χάρη το 2^x < 3^x ισχύει για μεγάλες τιμές του χ σαν αυτές που παίρνει όταν πάει στο άπειρο. Δεν ισχύει για κάθε x E R προφανώς αλλά αυτό δεν σημαίνει οτι αχρηστεύει την σημασία της σχέσης να χρησιμοποιηθεί ως ανισότητα. Αυτό ύπο την έννοια οτι υπάρχει xo τέτοιο ώστε όταν x>xo να ισχύει η δοθείσα σχέση. Σε αυτή την περίπτωση θα μπορούσε λοιπόν κάποιος να πει οτι για x > 1 ισχύει το παραπάνω, οπότε για x->+oo να την χρησιμοποιήσει.

ΥΓ. Δεν ξέρω που έχω κάνει λάθος στο δ , αλλά φαντάζομαι κάπου εκεί που κάνω αναφορά στο οτι το ξ πρέπει να είναι επίσης 2.

Ο πιο ασφαλής τρόπος θα ήταν να γίνει Rolle στο [2,4] λοιπόν εφόσον g(2)=g(4) = 0 να δικαιολογηθεί πάλι οτι η g είναι γνησίως φθίνουσα πριν το ξ και γνησίως αύξουσα μετά το ξ και να δειχτεί κάπως οτι το g(ξ) < 0 . Θα το ψάξω περαιτέρω μόλις βρω τον χρόνο όμως γιατί δεν έχει νόημα να πετάξω την λύση χωρίς να δω πιο επιχείρημα την στράβωσε και το κυριότερο το γιατί.

 

[asdfqwerty]

Καλημέρα.
Το β αποδεικνύεται παίρνοντας την παράγωγο της συναρτησιακής σχέσης απο όπου προκύπτει f'(x) > 0 άρα f γνησίως αύξουσα. Η κυρτότητα βγαίνει παίρνοντας την δεύτερη παράγωγο. Προκύπτει ένα κλάσμα λόγω της πρώτης παραγώγου, του οποίου ο αριθμητής μέσω πράξεων βγαίνει πάντα θετικός. Ο παρανομαστής επίσης.

Όσον αφορά στο γ :

f(x) > sqrt(e^x)
f(x)lnf(x) > sqrt(e^x)lnf(x)
e^(-x/2) > lnf(x)
e^(e^(-x/2)) > f(x)

Τελικά :

sqrt(e^x) < f(x) < e^(e^(-x/2)) => x > 0 στο +οο
sqrt(e^x)/χ < f(x)/χ < e^(e^(-x/2))χ

Απο το κριτήριο παρεμβολής επειδή τόσο το όριο του άνω και κάτω φράγματος πάνε στο +οο όταν το χ πλησιάζει το +οο, και η ποσότητα f(x)/x θα πλησιάζει το +οο .

Επιπλέον για το ζητούμενο όριο έχουμε :

1 < 1+lnx/f(x) < 1+x/f(x) =>
1 < 1+lnx/f(x) < 1+1/f(x)/x =>
1 < [1+lnx/f(x)]^(f(x)/x) < [1 + 1/f(x)/x]^(f(x)/x)

Εν τέλει πάλι απο το κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε οτι τόσο το κάτω όσο και το άνω φράγμα έχει όριο το 1 στο +οο . Άρα το όριο της φραγμενης ποσότητας μας δίνει 1.

Για το δ :
Παρατηρούμε καταρχάς οτι το 2 είναι ρίζα της εξίσωσης.
Έπειτα θέτουμε : g(x) = 2[f(x) - f(2)] + x[f(2) - f(4)] - 2[f(2) - f(4)]
g'(x) = 2f'(x) + f(2) - f(4) .

Θέτουμε g'(x) = 0 =>
2f'(x) + f(2) - f(4) = 0 =>
f'(x) = f(4) - f(2) / 2 = [f(4) - f(2)] / (4 - 2)

Πράγματι απο το ΘΜΤ για την f στο [2,4] υπάρχει ξ που να ικανοποιεί τέτοια συνθήκη και επίσης είναι μοναδικό καθώς η f είναι κυρτή και επομένως η f' γνησίως αύξουσα. Άρα για x < ξ => g'(ξ) < 0 ενώ για x > ξ => g'(ξ) > 0 .

Παρατήρηση λοιπόν : εαν δείξω οτι ξ = 2 τελείωσα.

g(ξ) = 2[f(ξ) - f(2)] + ξ[f(2) - f(4)] - 2[f(2) - f(4)]

Η εφαπτομένη της f στο ξ είναι :
y - f(ξ) = f'(ξ)(χ-ξ) =>
y - f(ξ) = [f(4) - f(2)]χ/2 - ξ[f(4) - f(2)]/2
y = [f(4) - f(2)]χ/2 - ξ[f(4) - f(2)]/2 + f(ξ) => f κυρτή
f(x) >= [f(4) - f(2)]χ/2 - ξ[f(4) - f(2)]/2 + f(ξ) => με την ισότητα να ισχύει μόνο αν x = ξ

2[f(x) - f(ξ)] >= -x[f(2) - f(4)] + ξ[f(2) - f(4)]
2[f(x) - f(ξ)] + x[f(2) - f(4)] - ξ[f(2) - f(4)] >= 0
2[f(ξ) - f(x)] - x[f(2) - f(4)] + ξ[f(2) - f(4)] <= 0

Για x = 2 στην παραπάνω :
g(ξ) <= 0 , με την ισότητα να μπορει να ισχύει μόνο όταν ξ = 2 .

Τελικά επειδή g(ξ) = g(2) = 0 , και επειδή αυτό το σημείο είναι ελάχιστο της g, συμπεραίνουμε ότι το x = 2 είναι μοναδική λύση της αρχικής εξίσωσης.

νομιζω το κουραζεις λιγο αδικα.. ξερεις οτι η g ειναι γνησιως φθινουσα στο και γνησιως αυξουσα στο με g(2)=0 αρα δεν μηδενιζεται πουθενα αλλου στο , αρα θα δουμε αν μηδενιζεται πουθενα στο η σκεψη μας ειναι να δουμε το προσημο του g(4) αν ειναι θετικο τοτε απο bolzano θα υπαρχει υπαρξιακη λυση στο αν αντικαταστησουμε βλεπουμε οτι το g(4)=0 αρα δεν μηδενιζεται πουθενα αλλου η συναρτηση , εκτος απο τις θεσεις χ=2,χ=4.

H λυση σου θεωρω ειναι η πιο υποδειγματικη απο την αποψη οτι θα την ακολουθησει η πλειοψηφια

 

[Samael]

νομιζω το κουραζεις λιγο αδικα.. ξερεις οτι η g ειναι γνησιως φθινουσα στο και γνησιως αυξουσα στο με g(2)=0 αρα δεν μηδενιζεται πουθενα αλλου στο , αρα θα δουμε αν μηδενιζεται πουθενα στο η σκεψη μας ειναι να δουμε το προσημο του g(4) αν ειναι θετικο τοτε απο bolzano θα υπαρχει υπαρξιακη λυση στο αν αντικαταστησουμε βλεπουμε οτι το g(4)=0 αρα δεν μηδενιζεται πουθενα αλλου η συναρτηση , εκτος απο τις θεσεις χ=2,χ=4.

H λυση σου θεωρω ειναι η πιο υποδειγματικη απο την αποψη οτι θα την ακολουθησει η πλειοψηφια

Yuup this makes more sense.

Κοιτώντας μια φορά πάλι την λύση ούτως η άλλως απο το ΘΜΤ το ξ Ε (2,4), οπότε εξορισμού δεν θα μπορούσε ποτέ να ήταν ξ = 2 όπως ισχυρίζομαι στο τέλος. Είναι άτοπο και για αυτό αποτυγχάνει η λύση να πιάσει την άλλη ρίζα και εκεί αποτυγχάνει κυρίως το πράγμα...Πρέπει να σταματήσω να τα απαντάω αυτά αργά μου φαίνεται .

 

[asdfqwerty]

τελικα σωστη ηταν αλλα ο καφες δεν εχει επιδρασει ακομα δυστηχως.Επειδη βαριεμαι να το ξαναγραφω σε latex ,κανουμε το συγκεκριμενο οριο στην μορφη e^{..} και παρακατω υπολογιζουμε το οριο του εκθετη

 

[Samael]

View attachment 85693


για καποιο λογο το latex εδω τα επαιξε με μια συγκεκριμενη εκφραση και αναγκαζομαι να γραψω σε ξεχωριστο editor

Ουσιαστικά ελένισες. Έτσι το είχα κάνει και εγώ αρχικά αλλά κατέληγε σε απροσδιοριστία και βαριόμουν να το φτιάξω οπότε προσπάθησα να το φράξω .

 

[Alexandros28]

μια απλη αλλα καλη
αν lim (f^2(x)+g^2(χ)),x->xo = 0 να βρειτε το οριο της f και το οριο της g στο χο

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 16 Σεπτεμβρίου 2021

και ενας ισχυρισμος
αν limf(x),x-χο = λεIR και limg(x),x>xo = κεIR τοτε
lim (f(x)+g(x)), x->xo = κ+λ

 

[asdfqwerty]

μια απλη αλλα καλη
αν lim (f^2(x)+g^2(χ)),x->xo = 0 να βρειτε το οριο της f και το οριο της g στο χο

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 16 Σεπτεμβρίου 2021

και ενας ισχυρισμος
αν limf(x),x-χο = λεIR και limg(x),x>xo = κεIR τοτε
lim (f(x)+g(x)), x->xo = κ+λ

για το 1ο :
ομοια προκυπτει :

γνωριζουμε οτι:
ομοια για την f

o ισχυρισμος ειναι σωστος, μηπως ηθελες να γραψεις κατι αλλο ?

 

[Samael]

Μια ίσως πιο τσιμπημένη αλλά όχι πολύ μακριά απο το λύκειο : Να βρεθεί μια συνάρτηση f που να ικανοποιεί την σχέση :

f'(x) = f-1(x)

 

[Alexandros28]

Ο ισχυρισμός σύμφωνα με το σχολικό είναι αληθης αλλά αν f(x)=ριζα(χ-1) και g(x)=ριζα(1-χ),χο=1, το όριο του αθροίσματος δεν οριζεται

 

[Samael]

Ο ισχυρισμός σύμφωνα με το σχολικό είναι αληθης αλλά αν f(x)=ριζα(χ-1) και g(x)=ριζα(1-χ),χο=1, το όριο του αθροίσματος δεν οριζεται

Ναι γιατί δεν έχει νόημα να μιλήσεις για το όριο μιας τέτοιας ποσότητας αφού έχει πεδίο ορισμού το :
Df+g = {1}

Τέτοιες συναρτήσεις όμως απο όσο θυμάμαι δεν μελετώνται στα πλαίσια της Γ λυκείου και η ύπαρξη τους αγνοείται.

 

[asdfqwerty]

Ο ισχυρισμός σύμφωνα με το σχολικό είναι αληθης αλλά αν f(x)=ριζα(χ-1) και g(x)=ριζα(1-χ),χο=1, το όριο του αθροίσματος δεν οριζεται