Άλλος τρόπος
Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=6ημx-8συνx, x ανήκει R.
Η f είναι περιοδική με περίοδο T=2π αφού για κάθε x ανήκει R ισχύει:
f(x+nT)=f(x), όπου n ανήκει Z
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο f'(x)=6συνx+8ημx
f'(x)=0 <=> 6συνx+8ημx=0 <=> ημx=-(3/4)συνx
Αν συνx=0 τότε από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ημx=0 που είναι άτοπο αφού τότε (ημx)^2+(συνx)^2=0 διάφορο 1. Άρα για τις λύσεις την παραπάνω εξίσωσης ισχύει ημx διάφορο 0 και συνx διάφορο 0. Συνεπώς γράφεται ισοδύναμα
ημx=-(3/4)συνx <=> εφx=-3/4
Θέωρω
)
τέτοιο ώστε
. Επειδή
τότε
Έτσι λοιπόν έχουμε
\Rightarrow x=\kappa \pi -{x}_{0},\kappa \epsilon Z)
Αν κ=2λ άρτιος τότε οι λύσεις παίρνουν την μορφή
και είναι:
=\eta \mu \left(-{x}_{0} \right)=-\eta \mu {x}_{0}=-\frac{3}{5})
=\sigma \upsilon \nu \left(-{x}_{0} \right)=\sigma \upsilon \nu {x}_{0}=\frac{4}{5})
Αν κ=2λ+1 περιττός τότε οι λύσεις παίρνουν την μορφή
και είναι:
=\eta \mu \left(\pi -{x}_{0} \right)=\eta \mu {x}_{0}=\frac{3}{5})
=\sigma \upsilon \nu \left(\pi -{x}_{0} \right)=-\sigma \upsilon \nu {x}_{0}=-\frac{4}{5})
=6\left(-\frac{3}{5} \right)-8\frac{4}{5}=-10)
=6\left\frac{3}{5} \right-8\left( -\frac{4}{5}\right)=10)
Η f είναι συνεχής στο
, παραγωγίσιμη στο
)
και ισχύει f'(x)<0 για κάθε
)
. Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα στο
Η f είναι συνεχής στο
, παραγωγίσιμη στο
)
και ισχύει f'(x)>0 για κάθε
. Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο
Η f είναι συνεχής στο
, παραγωγίσιμη στο
)
και ισχύει f'(x)<0 για κάθε
)
. Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο
Συνεπώς η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο
με τιμή
=-10)
και τοπικό μέγιστο στο
με τιμή
=10)
τα οποία είναι και ολικά ακρότατα στο διάστημα αυτό.
Επειδή η f είναι περιοδική και σε διάστημα μιας περιόδου [2λπ, 2λπ+2π] έχει 1 ολικό ελάχιστο και ένα ολικό μέγιστο τα οποία είναι σταθερά για κάθε λ ανήκει Z, τότε τα ακρότατα αυτά είναι ολικά ακρότατα στο R και ισχύει
\leq f(x) \leq f\left( {x}_{2}\right)\Rightarrow -10\leq 6\eta \mu x-8\sigma \upsilon \nu x\leq 10\Rightarrow \left|6\eta \mu x-8\sigma \upsilon \nu x \right|\leq 10)
για κάθε x ανήκει R.
Άντε ρε παιδιά, βάλτε καμία δύσκολη άσκηση.
