ΟΕΦΕ: Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ' Λυκείου

ra1kk0n3n · 25 Απριλίου 2009 στις 01:41

παντως παιδια μην λετε οτι ηταν μουφα η ξερω γω γελοιο γιατι εκμηδενιζονται κ οι προσπαθειες των καλων αλλα και των μετριων μαθητων που προσπαθουν αλλα δεν γραφουν οπως εσεις που τα θεωρειτε και γελοια...απλα μια ισοροπια να κρατησουμε

andreask · 25 Απριλίου 2009 στις 02:13

ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η εξίσωση $z+\frac{1}{z}=-1, z\in C$ και z1,z2 οι ρίζες της.
Να αποδείξετε ότι:
Α. z1*z2=1 και ${z1}^{3}=1$
Β. $({z1}^{2009}+{z2}^{2009})\in R$
Γ. ${z1}^{8}+\frac{1}{{z2}^{10}}+1=0$
Δ. Αν f(x) συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [0,1] με $f(0)-2=\frac{z1}{z2}+\frac{z2}{z1}$ και $f(1)=\frac{1}{z1}+\frac{1}{2*z2}-\frac{3}{2}$ τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ${Χ}_{0}\in R$ , ώστε $f({Χ}_{0})=3{Χ}_{0}-2$
E. Αν Γ είναι η εικόνα του μιγαδικού w=2*z1+2*z2 και Α,Β οι εικόνες των z1 και z2 αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.
-----------------------------------------
ΘΕΜΑ 3

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x+2+2lnx.

Α. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και να βρείτε τα διαστήματα στα οποία είναι κυρτή ή κοίλη.

Β. Να βρείτε το σύνολο τιμών και το πλήθος των ριζών της f.

Γ. Αν $g(x)=\frac{xlnx}{x+2}$ να δείξετε ότι υπάρχει ${x}_{0}$ >0 ώστε: $g(x)\geq g({x}_{0})$ για κάθε x>0.

Δ. Να δείξετε ότι για κάθε x>2 ισχύει: f(x-2)<2f(x+1)-f(x+4).
-----------------------------------------
ΘΕΜΑ 4

Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $(0,+\bowtie )$ για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: $f'(\frac{1}{x})=\frac{x+1}{{e}^{x}}$ και $f(1)=\frac{1}{e}$

Α. Να δείξετε ότι $f(x)=x{e}^{\frac{-1}{x}}$ (στον εκθέτη είναι το κλάσμα)

Β. 1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f(x) στο σημείο με τετμημένη x=1.
2. Να δείξετε ότι $\int_{1}^{2}f(x)dx>\frac{2}{e}$

Γ. Αν $g(x)=\frac{f(x)}{{x}^{3}}$ , να βρείτε το εμβαδόν E(t) του χωρίου που περικλείεται από τη Cg, τον x'x και τις ευθείες x=1 και x=t με t>1.

Δ. Να βρείτε το $\lim_{t-->+\bowtie }E(t)$

Black Mambo · 25 Απριλίου 2009 στις 09:20

Αρχική Δημοσίευση από bobiras11:
Να κάνεις τις πράξεις z^8 και z^10?? Δεν το νομίζω! Δεν θα σου μενε καθόλου χρόνος μετά για τα άλλα. Πολλοί την πάτησαν έτσι.
Έπρεπε να τα σπάσεις με βάση το z^3 που ήξερες ότι κάνει ένα και να χρησιμοποιήσεις ότι z1 συζυγής z2.

Ναι!! εννοείται ότι το έσπασα σε z^3 για να χρησιμοποιήσω το z^3=1
απλά μετά το μόνο που χρησιμοποίησα είναι την ιδιότητα των συζυγών για το ότι κ ο συζυγής του θα ισούται με 1... (μάλλον λέμε το ίδιο τελικά!):xixi:
Χμμ τώρα θυμήθηκα!! με προβλημάτισε ουσιαστικά το ότι δεν χρησιμοποίησα πουθενά το άλλο ζητούμενο του 1ου ερωτήματος! ότι δηλ z1*z2=1 ...

ra1kk0n3n · 25 Απριλίου 2009 στις 10:42

το z1*z2=1 εγω το χρησιμοποιησα στο θεμα 3δ δεν ξερω αν ηταν σωστο αλλα μου φαινεται χρειαζεται.ρε παιδια μπορει καποιος να μου πει πως λυνεται το θεμα 4 β2 μονο αυτο δεν εγραψα αλλα δεν νομιζω να ειναι δυσκολο

andreask · 25 Απριλίου 2009 στις 10:48

Αρχική Δημοσίευση από ra1kk0n3n:
το z1*z2=1 εγω το χρησιμοποιησα στο θεμα 3δ δεν ξερω αν ηταν σωστο αλλα μου φαινεται χρειαζεται.ρε παιδια μπορει καποιος να μου πει πως λυνεται το θεμα 4 β2 μονο αυτο δεν εγραψα αλλα δεν νομιζω να ειναι δυσκολο

Θα αποδείξεις ότι είναι κυρτή άρα f(x)>=yεφ....

Black Mambo · 25 Απριλίου 2009 στις 11:11

Αρχική Δημοσίευση από ra1kk0n3n:
το z1*z2=1 εγω το χρησιμοποιησα στο θεμα 3δ δεν ξερω αν ηταν σωστο αλλα μου φαινεται χρειαζεται.ρε παιδια μπορει καποιος να μου πει πως λυνεται το θεμα 4 β2 μονο αυτο δεν εγραψα αλλα δεν νομιζω να ειναι δυσκολο

Εγώ στο δ απλά αντικατέστησα τους z1, z2 κ έκανα Bolzano! :s

kvgreco · 25 Απριλίου 2009 στις 11:12

Αρχική Δημοσίευση από ra1kk0n3n:
το z1*z2=1 εγω το χρησιμοποιησα στο θεμα 3δ δεν ξερω αν ηταν σωστο αλλα μου φαινεται χρειαζεται.ρε παιδια μπορει καποιος να μου πει πως λυνεται το θεμα 4 β2 μονο αυτο δεν εγραψα αλλα δεν νομιζω να ειναι δυσκολο

Η συνάρτηση g(x)=f(x)-2/e είναι γνησίως αύξουσα στο[1,2] και ισχύει g(x)>=0.Οπότε θα ισχύει ότι

$\int_{1}^{2}g(x)dx>0$
Αν αντικαταστήσεις την g προκύπτει το ζητούμενο.
Δεν είδα κάποιον τουλάχιστον από τους γνωστούς μου να το λύνει έτσι, αλλά ελπίζω να μην έχω λάθος.

edit:
στραβομάρα!
Το f(1) κάνει 2/e! Ό,τι τύχει!
Ευτυχώς τα λάθη που γίνονται στη..προπόνηση.Ας είμαστε πιό προσεχτικοί στο επίσημο.Καί να φανταστείτε ότι σκέφτηκα να δουλέψω με την εφαπτομένη αρχικά, αλλά ο τρόπος που έκανα μου φανηκε πιό συντομος και όποιος βιάζεται...

george_k214 · 25 Απριλίου 2009 στις 11:50

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Η συνάρτηση g(x)=f(x)-2/e είναι γνησίως αύξουσα στο[1,2] και ισχύει g(x)>=0.Οπότε θα ισχύει ότι

$int_{1}^{2}g(x)dx>0$
Αν αντικαταστήσεις την g προκύπτει το ζητούμενο.
Δεν είδα κάποιον τουλάχιστον από τους γνωστούς μου να το λύνει έτσι, αλλά ελπίζω να μην έχω λάθος.

ένας άλλος τρόπος θα ήταν με θμτ για την
$h(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt$ στο [1,2](υπάρχει ένα ξ ώστε...) και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα έχεις : ξ>1<=>f(ξ)>f(1)<=>(αντικαθιστας το f(ξ)=h'(ξ)=αυτό που έχεις βρει απο θμτ)....<=>το ζητούμενο

bobiras11 · 25 Απριλίου 2009 στις 12:22

Αρχική Δημοσίευση από george_k214:
ένας άλλος τρόπος θα ήταν με θμτ για την
$h(x)=int_{1}^{x}f(t)dt$ στο [1,2](υπάρχει ένα ξ ώστε...) και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα έχεις : ξ>1<=>f(ξ)>f(1)<=>(αντικαθιστας το f(ξ)=h'(ξ)=αυτό που έχεις βρει απο θμτ)....<=>το ζητούμενο

Μόνο που το f(1) είναι ίσο με 1/e. Και γω έτσι το πήγα στην αρχή, αλλά μετά είδα το ερώτημα από πάνω οπότε βρήκα ότι η f είναι κυρτή επομένως θα βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη του Β. Συνεπώς ισχύει f(x)>2/e*x-1/e.
Μετά με ολοκλήρωση κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο.

george_k214 · 25 Απριλίου 2009 στις 12:41

Δίκαιο έχεις.Πήγα να βγάλω δεύτερο τρόπο αλλά δεν ξέρω,μου είχε κολλήσει οτι f(1)=2/e.Πάντως με το να σου λέει στο αμέσως προηγούμενο ερώτημα να υπολογίσεις την εφαπτομένη σε καθοδηγεί κάπως.Βρήκε κανένας άλλος β τρόπο?

theodim · 25 Απριλίου 2009 στις 12:54

Code:

στο 4ο θεμα το Β2

https://img2.imageshack.us/my.php?image=emvado.png

Εγω παp'oλο που ήξερα πως λύνετε θεώρισα οτι δέν ειχα χρόνο και έκανα τα εξής.. βρίκα το εμβαδο του παραλληλογράμου και του τριγώνου, τα πρόσθεσα και τα βρίκα κατα πολύ μεγαλύτερα απο το 2/e οπότε το εμβαδό

διαφέρει απο το εμβαδό που υπολόγισα κατα το εμβαδό του H το οποίο είναι αδύνατο να είναι μεγαλύτερο απο τι διαφορά του εμβαδου που υλοπόγισα και του 2/e, οπότε το

> 2/e

έχει πολλές ελλείψεις άλλα με τι λογική ειναι σωστό, αν είμουν καθηγητής δεν θα μου το έπιανα σωστο.. αλλα τι στο διαολο(oops.. bad language)

δεν πειράζει xD

dimitricc · 25 Απριλίου 2009 στις 17:53

σε παρακαλω andreask ελεγξε παλι την εκφωνηση στο 2ο θεμα γιατι νομιζω πως υπαρχουν τυπογραφικα λαθη...σ'ευχαριστω εκ των προτερων..

mostel · 25 Απριλίου 2009 στις 18:07

Το 4α έxει πλάκα

Έχουμε:

$-\frac{1}{x^2}f'\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x+1}{-x^2e^x}$

$\left(f\left(\frac{1}{x}\right)\right)'=\frac{xe^x+e^x}{-(xe^x)^2}$

$\left(f\left(\frac{1}{x}\right)\right)'=\frac{(xe^x)'}{-(xe^x)^2}$

$\left(f\left(\frac{1}{x}\right)\right)'=\left( \frac{1}{xe^x}\right)'$

$f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{xe^x}+c$

Θέτουμε $u=\frac{1}{x}$

$f(u)=\frac{u}{e^{\frac{1}{u}}}+c$

$f(u)=ue^{-\frac{1}{u}} +c$

Παρακολουθώ αρκετά χρόνια τον ΟΕΦΕ στα μαθ. κατ. , αλλά ακόμη δεν έχω δει κανένα θέμα που να αξίζει ...

Στέλιος

manos66 · 25 Απριλίου 2009 στις 18:15

ή μπορείς να θέσεις αρχικά $\frac{1}{x}=u$

$\\ f'(u) = \frac{\frac{1}{u}+1}{{e}^{\frac{1}{u}}} = \left(\frac{1}{u}+1 \right){e}^{-\frac{1}{u}} = e^{-\frac{1}{u}}+ \frac{1}{u}e^{-\frac{1}{u}}=\left(u e}^{-\frac{1}{u} \right)'$
...

Το "εκπληκτικό" αγαπητέ Στέλιο είναι ότι το 3δ αντί για Θ.Μ.Τ. είναι μια καλή άσκηση Άλγεβρας Β΄ λυκείου

Stef · 25 Απριλίου 2009 στις 18:45

Στο 4β1 έβρισκες μια εφαπτομένη της συνάρτησης f και στο 4β2 έδειχνες ότι η f είναι κυρτή και f>=εφαπτομένη . Παίρνεις ολοκλήρωμα και βγαίνει . Εμένα όλα στο τελευταίο τέταρτο μου ήρθαν αλλά ευτυχώς πρόλαβα !

Ξεφτίλα δεν ήταν . Σε επίπεδο εξετάσεων . Μην υπερβάλετε . Ούτε τραγικά δύσκολα ήταν .

andreask · 25 Απριλίου 2009 στις 20:06

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
ή μπορείς να θέσεις αρχικά $frac{1}{x}=u$

$f'(u) = frac{frac{1}{u}+1}{{e}^{frac{1}{u}}} = left(frac{1}{u}+1 right){e}^{-frac{1}{u}} = e^{-frac{1}{u}}+ frac{1}{u}e^{-frac{1}{u}}=left(u e}^{-frac{1}{u} right)'$
...

Το "εκπληκτικό" αγαπητέ Στέλιο είναι ότι το 3δ αντί για Θ.Μ.Τ. είναι μια καλή άσκηση Άλγεβρας Β΄ λυκείου

Σωστά μου το είπε και ο καθηγητής μου...μάλλον τους ξέφυγε...βγαίνει και με απλές πράξεις αλλά και με ΘΜΤ
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από dimitricc:
σε παρακαλω andreask ελεγξε παλι την εκφωνηση στο 2ο θεμα γιατι νομιζω πως υπαρχουν τυπογραφικα λαθη...σ'ευχαριστω εκ των προτερων..

Έχεις δίκιο μου είχαν ξεφύγει κάτι δείκτες 1 και 2 στους μιγαδικούς τώρα είναι οκ...

mostel · 25 Απριλίου 2009 στις 20:29

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Το "εκπληκτικό" αγαπητέ Στέλιο είναι ότι το 3δ αντί για Θ.Μ.Τ. είναι μια καλή άσκηση Άλγεβρας Β΄ λυκείου

Αντίστοιχο του περσινού του δικού μας 3δ στις πανελλαδικές δηλαδή.

Στέλιος

bano · 25 Απριλίου 2009 στις 20:35

Παιδιά μπορεί να ανεβάσει κανείς τις λύσεις να δούμε τι κάναμε και εμείς που δεν γράψαμε?

γιουλακι · 25 Απριλίου 2009 στις 21:49

γεια σας παιδια!!!

Black Mambo · 25 Απριλίου 2009 στις 22:02

Ναι ρε παιδιά ας ανεβάσει κάποιος τις λύσεις!!! Δεν με λυπάστε που θα πεθάνω από την αγωνία μου μέχρι τη δευτέρα που έχω φροντ?

ΟΕΦΕ: Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ' Λυκείου

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος