Ενδιαφέροντα προβλήματα φυσικής, μαθηματικών και μηχανικής

[Dias]

Spoiler: ΛΥΣΗ

 

[Samael]

Hello παιδιά.
Είπα να πω ένα γεια εδώ και οτι δεν σας έχω ξεχάσει. Τον τελευταίο καιρό απλώς ήμουν too busy καθώς δούλευα κάθε μέρα επί 8 ώρες για να ολοκληρώσω την διπλωματική μου οπότε όπως καταλαβαίνετε για να αποφύγω το burnout απείχα. Ευαριστώ τους @Dias και @γιαννης_00 που έχουν διατηρήσει το θέμα alive και για την πραγματικά υψηλή ποιότητα υλικού που έχουν προσθέσει. Είναι πραγματικά πολύ όμορφο που το θέμα έχει πάρει την χροιά που οραματιζόμουν εξαρχής και ελπίζω να έχει αποτελέσει πραγματικά πηγή έμπνευσης για μαθητές αλλά και φοιτητές. You should be proud of yourself !
Ελπίζω μόλις ξεμπερδέψω και τσιμπήσω το (2 έμειναν) να μπορέσω να επανέλθω δυναμικά εδώ.

 

[Dias]

Είπα να πω ένα γεια εδώ και οτι δεν σας έχω ξεχάσει...... Ευxαριστώ τους............ που έχουν διατηρήσει το θέμα alive και για την πραγματικά υψηλή ποιότητα υλικού που έχουν προσθέσει................Ελπίζω μόλις ξεμπερδέψω και τσιμπήσω το (2 έμειναν) να μπορέσω να επανέλθω δυναμικά εδώ.

Γεια! Όλα εντάξει. Ευχαριστούμε για τα καλά σου λόγια. Καλό διάβασμα για καλό πτυχίο. Θα σε περιμένουμε.

​

 

[ιωαννηs]

Spoiler: Πρόλογος με τρικάκι

Spoiler: Επίλυση της άσκησης

 

[eukleidhs1821]

Επειδη κανενας δεν απαντησε στην ασκηση που προτεινα η λυση ειναι με θεωρημα μεγιστης και ελαχιστης τιμης και οτι η συναρτηση ειναι σταθερη διοτι το μεγιστο σε ολες τις περιπτωσεις ισουται με το ελαχιστο ειτε ειναι στα ακρα ειτε με fermat αν ειναι στο εσωτερικο

 

[Samael]

Επειδη κανενας δεν απαντησε στην ασκηση που προτεινα η λυση ειναι με θεωρημα μεγιστης και ελαχιστης τιμης και οτι η συναρτηση ειναι σταθερη διοτι το μεγιστο σε ολες τις περιπτωσεις ισουται με το ελαχιστο ειτε ειναι στα ακρα ειτε με fermat αν ειναι στο εσωτερικο

Δηλαδή η λύση είναι η f = 0 στην προκειμένη ;

 

[Dias]

Spoiler: ΛΥΣΗ

 

[eukleidhs1821]

Δηλαδή η λύση είναι η f = 0 στην προκειμένη ;

Ναι!!!Εξαλλου εψαξα να θυμηθω γτ εχω χρονια να ασχοληθω πως λυνεται μια γραμμικη σδε απλη πρεπει να τη φερεις στην μορφη f'(x)+a(x)f(x)=0 και μετα να πολλαπλασιασεις με το e^ολοκληρωμαa(x)dx.Εδω λοιπον πηγε να βρεις το ολοκληρωμα του 1/συνχ dx στην προκειμενη που προφανως δεν υπολογιζεται.......Αρα,για αυτο λυνεται ετσι.....

 

[Samael]

Ναι!!!Εξαλλου εψαξα να θυμηθω γτ εχω χρονια να ασχοληθω πως λυνεται μια γραμμικη σδε απλη πρεπει να τη φερεις στην μορφη f'(x)+a(x)f(x)=0 και μετα να πολλαπλασιασεις με το e^ολοκληρωμαa(x)dx.Εδω λοιπον πηγε να βρεις το ολοκληρωμα του 1/συνχ dx στην προκειμενη που προφανως δεν υπολογιζεται.......Αρα,για αυτο λυνεται ετσι.....

Το ολοκλήρωμα του 1/cos(x) έχει κλειστή μορφή βασικά και δεν είναι και δύσκολο να την βρεις μάλιστα.
Αλλά πως ξέρεις οτι το y = 0 είναι η γενική λύση ; Το λεω γιατί το Wolfram άλλη συνάρτηση δίνει ως λύση και μου φαίνεται λογικό καθώς η y = 0 αποτελεί την τετριμένη λύση που πολλές διαφορικές ικανοποιούν, αλλά συνήθως δεν είναι η λύση που έχει ενδιαφέρον.

 

[eukleidhs1821]

Το ολοκλήρωμα του 1/cos(x) έχει κλειστή μορφή βασικά και δεν είναι και δύσκολο να την βρεις μάλιστα.
Αλλά πως ξέρεις οτι το y = 0 είναι η γενική λύση ; Το λεω γιατί το Wolfram άλλη συνάρτηση δίνει ως λύση και μου φαίνεται λογικό καθώς η y = 0 αποτελεί την τετριμένη λύση που πολλές διαφορικές ικανοποιούν, αλλά συνήθως δεν είναι η λύση που έχει ενδιαφέρον.

Nαι οντως υπολογιζεται αλλα δυσκολα δηλαδη πρεπει να κανεις αντικατασταση το u=sinx και να καταληξεις σε ενα κλασμα που θα σε παει σε ln.Δηλαδη ιστοριες για αγριους!Η λυση ειναι η σταθερη συναρτηση f(x)=2024 ή 2023 δεν θυμαμαι ποια σταθερα ειχα βαλει.Νομιζα οτι ειχα δωσει f(x)=f'(x)cosx σκετο που θα ηταν η f(x)=0

 

[Samael]

Nαι οντως υπολογιζεται αλλα δυσκολα δηλαδη πρεπει να κανεις αντικατασταση το u=sinx και να καταληξεις σε ενα κλασμα που θα σε παει σε ln.Δηλαδη ιστοριες για αγριους!

Το ξέρεις οτι έτσι θα στην έλυνε ο @γιαννης_00 και δεν θα είχε και κανένα θέμα έτσι ;

Η λυση ειναι η σταθερη συναρτηση f(x)=2024 ή 2023 δεν θυμαμαι ποια σταθερα ειχα βαλει.Νομιζα οτι ειχα δωσει f(x)=f'(x)cosx σκετο που θα ηταν η f(x)=0

Ακόμα και έτσι όμως το Wolfram προτείνει ως λύση την :
f(x) = c*e^[2*atanh(tan{x/2})] , c E R

 

[eukleidhs1821]

Το ξέρεις οτι έτσι θα στην έλυνε ο @γιαννης_00 και δεν θα είχε και κανένα θέμα έτσι ;

Ακόμα και έτσι όμως το Wolfram προτείνει ως λύση την :
f(x) = c*e^[2*atanh(tan{x/2})] , c E R

Τι να σου πω δεν ξερω.Εχω δωσει βεβαια διαστημα χ ανηκει στο κλειστο -π/2,π/2 και οχι γενικα στο R για αυτο σου βγαζει αυτη τη λυση φανταζομαι

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 30 Νοεμβρίου 2023

Παμε παλι να δωσουμε την απλη f(x)=f'(x)cosx x στο κλειστο -π/2,π/2.
Δεν ξερουμε απο το γνωστο θεωρημα οτι εχει μεγιστη και ελαχιστη τιμη στο κλειστο αυτο διαστημα?Εστω οτι εχει μεγιστο στο -π/2 και ελαχιστο στο π/2.Βλεπουμε οτι f(-π/2)=f(π/2)=0 Αρα για να ειναι ισα το μεγιστο και το ελαχιστο η συναρτηση ειναι σταθερη και ισουται με μηδεν!
Παμε τωρα να εχει ελαχιστο στο εσωτερικο του και μεγιστο στο εσωτερικο.Σε ολες τις περιπτωσεις η παραγωγος ειναι μηδεν λογω φερματ.Επομενως,παλι η συναρτηση μας δινει ελαχιστο και μεγιστο με ιδια τιμη και μαλιστα μηδεν.Επομενως,σε ολες τις περιπτωσεις f(x)=0.
Μιλησα για κλειστο διαστημα απο την αρχη και οχι ενα απλο R.Σιγα μην εδινα ολο το R για να καθομαστε να κανουμε πραξεις 2 ωρες!

 

[Samael]

Τι να σου πω δεν ξερω.Εχω δωσει βεβαια διαστημα χ ανηκει στο κλειστο -π/2,π/2 και οχι γενικα στο R για αυτο σου βγαζει αυτη τη λυση φανταζομαι

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 30 Νοεμβρίου 2023

Παμε παλι να δωσουμε την απλη f(x)=f'(x)cosx x στο κλειστο -π/2,π/2.
Δεν ξερουμε απο το γνωστο θεωρημα οτι εχει μεγιστη και ελαχιστη τιμη στο κλειστο αυτο διαστημα?Εστω οτι εχει μεγιστο στο -π/2 και ελαχιστο στο π/2.Βλεπουμε οτι f(-π/2)=f(π/2)=0 Αρα για να ειναι ισα το μεγιστο και το ελαχιστο η συναρτηση ειναι σταθερη και ισουται με μηδεν!
Παμε τωρα να εχει ελαχιστο στο εσωτερικο του και μεγιστο στο εσωτερικο.Σε ολες τις περιπτωσεις η παραγωγος ειναι μηδεν λογω φερματ.Επομενως,παλι η συναρτηση μας δινει ελαχιστο και μεγιστο με ιδια τιμη και μαλιστα μηδεν.Επομενως,σε ολες τις περιπτωσεις f(x)=0.
Μιλησα για κλειστο διαστημα απο την αρχη και οχι ενα απλο R.Σιγα μην εδινα ολο το R για να καθομαστε να κανουμε πραξεις 2 ωρες!

Μμ όχι, και με το πεδίο ορισμού πάλι δεν προκύπτει οτι η σταθερή είναι η λύση. Δοκίμασε και εσύ, αλλά μάλλον κάποιο λάθος έχεις στον συλλογισμό σου.

 

[eukleidhs1821]

Μμ όχι, και με το πεδίο ορισμού πάλι δεν προκύπτει οτι η σταθερή είναι η λύση. Δοκίμασε και εσύ, αλλά μάλλον κάποιο λάθος έχεις στον συλλογισμό σου.

Οχι αυτη ειναι η λυση 100% και στο εξηγησα πιο πανω!Διαβασε το προσεκτικα.Ειναι τρομερη ασκηση για αυτο την εβαλα εξαρχης λογω αυτου του τρικ που ξεφευγει απο τα τετριμμενα

 

[Samael]

Οχι αυτη ειναι η λυση 100% και στο εξηγησα πιο πανω!Διαβασε το προσεκτικα.Ειναι τρομερη ασκηση για αυτο την εβαλα εξαρχης λογω αυτου του τρικ που ξεφευγει απο τα τετριμμενα

Το κοίταξα πάλι και πιθανότατα τότε το πεδίο ορισμού να κάνει την διαφορά όπως λες.
Μια λύση στο (-π/2,π/2) είναι η :

f(x) = sec(x)+tan(x) , -π/2 < χ < π/2

Αλλά έχει θέμα στα άκρα προφανώς(δεν ορίζεται βασικά) οπότε δεν μπορεί να είναι αποδεκτή λύση στο
[-π/2,π/2].

Ωραία άσκηση Ευκλείδη, μπράβο !

 

[eukleidhs1821]

Το κοίταξα πάλι και πιθανότατα τότε το πεδίο ορισμού να κάνει την διαφορά όπως λες.
Μια λύση είναι η :

f(x) = sec(x)+tan(x) , -π/2 < χ < π/2

Αλλά έχει θέμα στα άκρα προφανώς οπότε δεν μπορεί να είναι αποδεκτή λύση στο [-π/2,π/2].

Η ασκηση αυτη ειναι θεωρητικη δεν ασχολειται με περιπλοκους υπολογισμους.Αν βαλεις κατω τα θεωρηματα οπως τα ανεφερα βγαινει αυτο ακριβως.Προφανως,το διαστημα κανει την διαφορα γτ μιλαμε για το κλειστο διαστημα που ξες οτι εχεις ο κοσμος να γυρισει αναποδα λογω συνεχειας ελαχιστη και μεγιστη τιμη

 

[Samael]

Η ασκηση αυτη ειναι θεωρητικη δεν ασχολειται με περιπλοκους υπολογισμους.Αν βαλεις κατω τα θεωρηματα οπως τα ανεφερα βγαινει αυτο ακριβως.Προφανως,το διαστημα κανει την διαφορα γτ μιλαμε για το κλειστο διαστημα που ξες οτι εχεις ο κοσμος να γυρισει αναποδα λογω συνεχειας ελαχιστη και μεγιστη τιμη

Δεν διαφωνώ με αυτό, απλώς με προβλημάτισε λίγο το θέμα της μοναδικότητας της λύσης. Επίσης μου αρέσει να συμφωνούν όλα , αλλά ναι επί της ουσίας εαν αποδείξεις κάτι με θεωρήματα τότε σαφώς και έχει ισχύ και κινείσαι να δεις που υπάρχει το πρόβλημα αλλού. Στην προκειμένη ο solver δεν λάμβανε υπόψιν την κλειστότητα του πεδίου ορισμού για κάποιον λόγο.

 

[eukleidhs1821]

Δεν διαφωνώ με αυτό, απλώς με προβλημάτισε λίγο το θέμα της μοναδικότητας της λύσης.

Ναι ειναι λιγο παραξενο αλλα ετσι αιτιολογειται λογω των θεωρηματων

 

[ιωαννηs]

Και τα απλα εχουν την ομορφια τους γιατι ειναι πολυ εξυπνοτερα και μενουν.

Spoiler: Απάντηση

​

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 1 Δεκεμβρίου 2023

Η στροφορμη L δεν ειναι κατι καινουργιο ..ειναι η ορμη του σωματος οταν το περιστρεφουμε ...και εινα παλι μαζα επι ταχυτητα... αλλα ως μαζα εχουμε την ροπη αδρανειας Ι και ως ταχυτητα την γωνιακη ..το ω.

Spoiler: Απάντηση

 

[Dias]

Και τα απλα εχουν την ομορφια τους γιατι ειναι πολυ εξυπνοτερα και μενουν.

Μμμμμ.... Το 1/10 της μάζας της Γης σημαίνει τεράστιος. Ήσουν μικρός τότε και δεν θα το θυμάσαι, αλλά όταν πριν 66 εκατομμύρια χρόνια συγκρούστηκε με τη Γη ο αστεροειδής που εξαφάνισε τους δεινόσαυρους, αυτός ήταν πολύ μικρότερος και με αυτά που σήκωσε είχαμε χρόνια σκοτάδι. Φοβάμαι ότι με τον δικό σου, δεν θα μείνει τίποτα όρθιο, θα εξαφανιστεί κάθε ζωή και η Γη θα βγει από την τροχιά της. Για αυτό, να προσέχεις και να μην κάνεις τέτοια πειράματα.

​