Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Γενικό Θέμα

raf616 · 2013-09-04T17:46:34+0300

Αρχική Δημοσίευση από unπαικτable:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{671}=\frac{3}{2013} \Rightarrow$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{3}{x+y+z} \Rightarrow$
$(x+y+z)\frac{1}{x}+(x+y+z)\frac{1}{y}+(x+y+z)\frac{1}{z}\geq 3 \Rightarrow$
$1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+1+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1\geq 3 \Rightarrow$
$\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\geq 0$ ,που ισχυει αφου $x,y,z\succ 0$

α,β,γ,x,y πραγματικοι αριθμοι τετοιοι ωστε
${a}^{3}+ax+y=0$ , ${b}^{3}+bx+y=0$ , ${c}^{3}+cx+y=0$ με α $\neq$ β , β $\neq$ γ , α $\neq$ γ
Νδο α+β+γ=0 (Βαλκανιαδα Νεων 1999)

Έστω ${a}^{3}+ax+y=0 : (1)$ , ${b}^{3}+bx+y=0 : (2)$ και ${c}^{3}+cx+y=0 : (3)$ .

Παίρνουμε την $(1)$ και $(2)$ και έχουμε:

$\displaystyle{{a}^{3}+ax+y = {b}^{3}+bx+y \Leftrightarrow a^2 - b^3 + ax - bx = 0 \Leftrightarrow (a - b)(a^2 + ab + b^2) + x(a - b) = 0 \Leftrightarrow (a - b)(a^2 + ab + b^2 + x) = 0}$

Από την τελευταία παίρνουμε ότι $a^2 + ab + b^2 + x = 0 : (4)$ ,

αφού $a - b \neq 0$

Ομοίως από την $(1)$ και την $(3)$ παίρνουμε:

$a^2 + ac + c^2 + x = 0 : (5)$

Τώρα από τις $(4)$ και $(5)$ έχουμε:

$\displaystyle{a^2 + ab + b^2 + x = a^2 + ac + c^2 + x \Leftrightarrow b^2 - c^2 + ab - ac = 0 \Leftrightarrow (b - c)(b + c) + a(b - c) = 0 \Leftrightarrow (b - c)(a + b + c) = 0}$

Από την τελευταία παίρνουμε ότι $a + b + c = 0$ αφού $b - c \neq 0$

nikoslarissa · 2013-09-04T17:48:51+0300

Αρχική Δημοσίευση από Alejandro che 7:
αφου είναι μεγαλύτερο του 3/671 δεν θα ειναι και του 1/671; Μια απλή εφαρμογή της "Andreescu"(επίσημα BCS για τις συγκεκριμένες τριάδες) είναι η άσκηση προσωπικά θεωρώ ότι δεν θα έπεφτε σε κανέναν διαγωνισμό γιατί είναι πολύ εξειδικευμένη για Θαλή Ευκλείδη που συνήθως είναι επαρκείς οι σχολικές γνώσεις και πολύ απλή για Αρχιμήδη.

Ναι αλλά δεν μπορεί να ισχύει η ισότητα.Όχι οτι είναι λάθος έτσι απλά θα ήταν καλύτερο να είχε 3 αντί για 1 για να βγαίνει κατ ευθειαν από Andreescu.Συνήθως στις ανισοισότητες ζητάνε και πότε ισχύει η ισότητα.

raf616 · 2013-09-04T17:51:24+0300

Συγγνώμη, δικό μου λάθος... $\frac{3}{671}$ είναι το σωστό...

nikoslarissa · 2013-09-04T17:59:40+0300

Αν α,β,γ>0 νδο

$eqlatex28a15Cfrac7B17D7Ba7D2928b15Cfrac7-1.gif$

raf616 · 2013-09-04T18:05:28+0300

Αρχική Δημοσίευση από nikoslarissa:
Αν α,β,γ>0 νδο

$eqlatex28a15Cfrac7B17D7Ba7D2928b15Cfrac7-1.gif$

Από ΑΜ - ΓΜ έχω:

$a + 1 + \frac{1}{a} \geq 3\sqrt[3]{a \cdot 1 \cdot \frac{1}{a}} = 3$

Ομοίως:

$b + 1 + \frac{1}{b} \geq 3$

$c + 1 + \frac{1}{c} \geq 3$

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε τη ζητούμενη.

Alejandro che 7 · 2013-09-04T18:08:03+0300

Αρχική Δημοσίευση από nikoslarissa:
Αν α,β,γ>0 νδο

$eqlatex28a15Cfrac7B17D7Ba7D2928b15Cfrac7-1.gif$

Αλλιώς $a+\frac{1}{a}\geq 2<br /> b+\frac{1}{b}\geq 2<br /> c+\frac{1}{c}\geq 2$

αφού α,β,γ>0 και η συνέχεια προφανής

nikosxdxd · 2013-09-04T18:11:14+0300

Αρχική Δημοσίευση από unπαικτable:
Πραγματικα δεν ειναι τοσο δυσκολη οσο ισςως να φαινεται... Ουτε ιδιαιτερα τεχνασματα χρειαζεται ουτε καποιες ιδιαιτερες γωνσεις.

Aυτο εννοω κι εγω... θυμαμαι οταν ασχολουμουν εντατικα στα 14-15 μου με μαθηματικη εταιρεια τα θεματα ηταν πολυ συνδυαστικα οχι αντικαταστασεις...

raf616 · 2013-09-04T18:13:14+0300

Εντάξει, μιλάμε για Θαλή και εισαγωγικά κυρίως θέματα...

raf616 · 2013-09-05T14:35:49+0300

Ας βάλω μία άσκση:

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

$2x + 3y = 1993 - xy$

physicscrazy · 2013-09-06T15:41:49+0300

Αρχική Δημοσίευση από raf616:
Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

$2x + 3y = 1993 - xy$

2χ+3y=1993-χy<=>2χ+3y+χy+6=1993+6<=>(3+χ)(2+y)=1999

το 1999 ειναι πρωτος αρα οι παραγοντες θα ειναι 1 και 1999
1999 και 1
-1 και -1999
-1999 και -1

αρα 3+χ=1 και 2+y =1999<=>x=-2 και y=1997
3+x=1999 και 2+y=1<=>x=1996 και y=-1
3+x=-1 και 2+y=-1999<=>x=-4 και y=-2001
3+x=-1999 και 2+y=-1<=>x=-2002 και y=-3

nikoslarissa · 2013-09-06T16:43:27+0300

Μια ανισότητα δικής μου κατασκευής.Οποιος ήταν πριν από λίγο στο mathematica θα την είδε.
Για τους $x,y,z>0$ να δείξετε ότι

$2{x}^{6}+2{y}^{6}+2{z}^{6}+3\geq 3({x}^{2}yz+{y}^{2}xz+{z}^{2}xy)$

raf616 · 2013-09-06T17:22:01+0300

Tην είδα...

Αρχική Δημοσίευση από physicscrazy:
2χ+3y=1993-χy<=>2χ+3y+χy+6=1993+6<=>(3+χ)(2+y)=1999

το 1999 ειναι πρωτος αρα οι παραγοντες θα ειναι 1 και 1999
1999 και 1
-1 και -1999
-1999 και -1

αρα 3+χ=1 και 2+y =1999<=>x=-2 και y=1997
3+x=1999 και 2+y=1<=>x=1996 και y=-1
3+x=-1 και 2+y=-1999<=>x=-4 και y=-2001
3+x=-1999 και 2+y=-1<=>x=-2002 και y=-3

Σωστός.

POSITIVE · 2013-09-08T22:58:53+0300

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος απ'τους $A=500^{999}$ , $B=999!$

Jonas · 2013-09-14T07:31:35+0300

Αρχίζουν τα μαθήματα στα κεντρικά της ΕΜΕ, στην Αθήνα. Καλή παρακολούθηση.

SonnY · 2013-09-18T23:47:08+0300

Παίδες ξέρουμε πότε είναι η 1η φάση φέτος??

POSITIVE · 2013-09-20T22:28:41+0300

Νομίζω 19 Οκτωβρίου.

SonnY · 2013-09-22T14:06:31+0300

positive απο που το μαθες αυτο?

POSITIVE · 2013-09-22T17:57:36+0300

Βασικά το υπέθεσα απ'το γεγονός ότι στις 19 (σύμφωνα με αυτό που ανέβασε ο Jonas) δεν θα γίνει μάθημα προετοιμασίας, αλλά πιθανόν να κάνω λάθος γιατί ούτε στις 9 και 16 Νοεμβρίου θα γίνει.

Jonas · 2013-09-25T08:19:37+0300

Η ΕΜΕ έβγαλε την ανακοίνωση με τις ημερομηνίες των φετινών διαγωνισμών.
Εγώ, λόγω Πανελλαδικών, φέτος δεν. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ σε όσους θα δώσουν.

raf616 · 2013-09-25T19:13:33+0300

Καλή επιτυχία σε όλους...

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Γενικό Θέμα

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος