Διαγωνισμοί ΕΜΕ 2011-2012

schooliki · 2012-02-07T16:13:47+0200

Ούτε το άθροισμα αλλά ούτε και το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων μπορεί να είναι τετράγωνο κάποιου άλλου ακεραίου.

Ζητώ συγνώμη, ξέχασα τη λέξη άλλου στην εκφώνηση.
Έστω οι ακέραιοι αριθμοί ν, ν+1, ν+2, ν+3.
Άθροισμα
$A=\nu +(\nu +1)+(\nu +2)+(\nu +3)=4\nu +6=4\nu +4+2=4(\nu +1)+2=4\mu +2$ . A άρτιος.
Αν υποθέσουμε ότι $A={\kappa }^{2}\: ,\: \kappa \in Z$ , τότε και κ άρτιος, άρα της μορφής 2λ.
Έχουμε:
$4\mu +2={(2\lambda)}^{2}\Leftrightarrow 4\mu +2=4{\lambda }^{2} \Leftrightarrow 2(2\mu +1)=2\cdot 2{\lambda }^{2}\Leftrightarrow 2\mu +1=2{\lambda }^{2}$ . Δηλαδή ένας περιττός ισούται με ένα άρτιο. Άτοπο.
Πώς αλλιώς μπορεί να αποδειχθεί, με βάση τις μορφές τετραγώνων;

Γινόμενο
Αν ν = 0, -1, -2, -3 , ένας από τους αριθμούς μηδενίζεται και το γινόμενο γίνεται 0, δηλαδή ναι μεν τετράγωνο ακεραίου,αλλά ενός από τους τέσσερις αριθμούς.
Έχουμε
Γ = $\nu (\nu +1)(\nu +2)(\nu +3)={\nu }^{4}+6{\nu }^{3}+11{\nu }^{2}+6\nu$
Έχουμε επίσης
Δ1 = ${({\nu }^{2}+3\nu )}^{2}={\nu }^{4}+6{\nu }^{3}+9{\nu }^{2}$
και
Δ2 = ${({\nu }^{2}+3\nu +1)}^{2}={\nu }^{4}+6{\nu }^{3}+11{\nu }^{2}+6\nu +1$
Όμως Δ1, Δ2 τετράγωνα διαδοχικών ακεραίων.
Θα δείξουμε ότι Δ1<Γ<Δ2. Προφανώς ισχύει ότι Γ<Δ2.
Θα δείξουμε ότι Γ>Δ1.
${\nu }^{4}+6{\nu }^{3}+11{\nu }^{2}+6\nu>{\nu }^{4}+6{\nu }^{3}+9{\nu }^{2}\Leftrightarrow 2{\nu }^{2}+6\nu >0\Leftrightarrow 2\nu (\nu +3)>0$
Προφανώς ισχύει για ν>0 και ν<-3.
Μιά κάπως διαφορετική λύση χωρίς το Δ1. Αν πούμε Δ2-1=Γ (που ισχύει), πως καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα;

schooliki · 2012-02-09T15:50:19+0200

Αρχική Δημοσίευση από demetr:
χαχαχαχαχα.οντως φιλε μου.οι ασκησεις του ειναι υψηλου επιπεδου..οποια βοηθεια απο θεμα μεθοδολογιων κλπ ευπροσδεκτη..επισης ανεβασε την λυση απο την ασκηση που εθεσες προχθες εαν θες

Μια που ανέφερες μεθοδολογίες, βρήκα στον υπολογιστή αυτές τις σημειώσεις-συμπεράσματα που είχα σκανάρει κάποτε.
Είναι πάνω στη γεωμετρία και αναφέρονται στις συντρέχουσες ευθείες και στα συνευθειακά σημεία.
Πατήστε επάνω στις εικόνες (Αργούν λίγο να ανοίξουν). Ελπίζω να φαίνονται καλά.
1.jpg 2.jpg

demetr · 2012-02-09T16:28:03+0200

ναι φιανονται...σε ευχαριστω πολυ φιλε schooliki!!!!!εαν εχεις και καμια αλλη μεθοδολογια για αλγεβρα αρχιμηδη πες

Markovski · 2012-02-11T12:08:33+0200

ρε παιδια ποτε θα βγουν οι επιτυχοντες του ευκλειδη???

SonnY · 2012-02-11T22:53:05+0200

Αρχική Δημοσίευση από Markovski:
ρε παιδια ποτε θα βγουν οι επιτυχοντες του ευκλειδη???

ποιο πάνω είπε ένας φίλος ότι βγαίνουν κατά τις 15.. Δεν ξέρω κατά πόσοαληθεύει αυτό..

demetr · 2012-02-14T13:11:10+0200

εαν καποιος παρει τηλεφωνο στην ΕΜΕ ας ρωτησει για τα αποτελεσματα και να μας πει εδω ποτε περιπου..ο φιλος παραπανω οντως ειπε 15-20 αλλα για οτι νεοτερο γραψτε!

Markovski · 2012-02-14T17:20:17+0200

τελικα ξαναπηρα στην ΕΜΕ και λενε οτι τους ειπαν για μετα τις 20

Χαρουλιτα · 2012-02-14T17:21:28+0200

Το παραρτημα της Πατρας ειναι κατω απο το σπιτι μου... Οταν βγουν θα σας ενημερωσω...

Markovski · 2012-02-15T16:14:29+0200

δηλαδη θα το μαθεις πριν αναρτηθουν στο ιντερνετ?

Χαρουλιτα · 2012-02-15T16:18:47+0200

Iσως παντως χτες που ρωτησα δεν ειχε βγει ανακοινωση για το ποτε βγαινουν...

Markovski · 2012-02-15T22:10:47+0200

για οτι νεοτερο πες μας

demetr · 2012-02-19T19:26:54+0200

ΕΕΕΕ δεν παει αλλο!...σιγουρα αυτην την εβδομαδα θα βγουνε τα αποτελεσματα!

Markovski · 2012-02-20T15:39:41+0200

παιδια θα βγουνε ή σήμερα ή αυριο

demetr · 2012-02-20T15:43:46+0200

και εγω ετσι πιστευω!!!και μου φενεται περιεργο το γεγονος οτι η σελιδα της μαθηματικης εταιρειας www.hms.gr τουλαχιστον σε εμενα δεν μπαινει..που σημαινει οτι κατι προσθετουν μαλλον!

POSITIVE · 2012-02-20T17:11:16+0200

Αρχική Δημοσίευση από demetr:
και εγω ετσι πιστευω!!!και μου φενεται περιεργο το γεγονος οτι η σελιδα της μαθηματικης εταιρειας www.hms.gr τουλαχιστον σε εμενα δεν μπαινει..που σημαινει οτι κατι προσθετουν μαλλον!

έχω μια υποψία για το τί μπορεί να είναι αυτό το κάτι

akis95 · 2012-02-20T17:31:17+0200

παιδια εχω τρελο αγχος και δυστυχως δεν θα περασω γιατι σημερα ειδα το μαθηματικο απο μακρια να με κοιταει με ενα περιεργο βλεμα πφφφφφφφφφφ

Markovski · 2012-02-20T17:34:25+0200

παιδια ουτε εγω εχω προσβαση στην μαθηματικη τα αποτελεσματα ερχονται!

και που θα ξερει ο μαθηματικος? πρωτα τα αποτελεσματα βγαινουν στο ιντερνετ

ΤΖΟΥΚΟΣ · 2012-02-20T17:48:42+0200

παιδια ουτε κι εγω εχω προσβαση ηδη απο τισ 3 30 . ποσες ωρεσ κανουν για να τα βαλουν :clapup:

καλη επιτυχια σ'όλους

akis95 · 2012-02-20T17:51:40+0200

καλη επιτυχια και σε εσενα πως τα πηγες?

demetr · 2012-02-20T17:52:12+0200

ουτε εγω εχω προσβαση ακομα απο την ωρα που εστειλα!!!!!!αντε να δουμε!!!Καλη μας επιτυχια!!!!!

Διαγωνισμοί ΕΜΕ 2011-2012

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Συνημμένα

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος