Διαγωνισμοί ΕΜΕ 2011-2012

Guest 018946 · 03-02-12

Αρχική Δημοσίευση από demetr:
Να αποδειξετε οτι ο αριθμος 5ν+7 δεν ειναι τελειο τετραγωνο για καθε ν ανηκει στους φυσικους!!!
...αυτην ειναι μια ασκηση που επεσε σε διαγωνισμο και την βαζω για να δωσω μια ιδεα (μεθοδολογια) στους μικρους κυριως του αρχιμηδη για τετοια θεματα.οποιος μπορει παρακαλω να κανει το ιδιο με θεματα αλλα που ειναι αξιολογα..επισης οποιος θελει να την λυσει ας το κανει.εγω θα δωσω την λυση αυριο εαν δεν δοθει!ευχαριστω

Φιλε δεν εχω ασχοληθει με θεωρια αριθμων τελεια τετράγωνα κτλπ αλλα θα δωσω μια προσπαθεια .
Εστω λοιπον οτι ηταν τελειω τετραγωνο αρα θα μπορουσε να ειναι $k^2=5n+7 \Leftrightarrow k^2-5n-7=0$ Το θεωρω τριωνυμο ως προς $k$ και η διακρινουσα του για να ειναι τελειο τετραγωνο πρεπει να ειναι μηδεν αρα $\Delta =4(5n+7) \Leftrightarrow 20n=-28 \Leftrightarrow n=\frac{-7}{5} \notin \mathbb{N}$ αρα εχουμε ατοπο αρα δεν ισχυει .

POSITIVE · 04-02-12

ή αλλιώς η 5ν+7 τελειώνει ή σε 7 ή σε 2 οπότε δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο

Guest 018946 · 04-02-12

Αρχική Δημοσίευση από POSITIVE:
λάθος παρακαλώ να διαγραφεί

Σε αυτο που ειπα ειμαι σωστος ????

POSITIVE · 4 Φεβρουαρίου 2012

Διαφορετικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι 5ν+7 ισότιμο με 2 mod 5 όμως τα μόνα τετραγωνικά υπόλοιπα mod 5 είναι τα 0,1,4.

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Σε αυτο που ειπα ειμαι σωστος ????

Σωστός είσαι εγώ είχα γράψει κάτι λάθος στην αρχή και για αυτό μετά το έσβησα και έγραψα αυτό που παρέθεσες και στη συνέχεια το ξαναδιόρθωσα.

Guest 018946 · 04-02-12

Αρχική Δημοσίευση από POSITIVE:
Σωστός είσαι εγώ είχα γράψει κάτι λάθος στην αρχή και για αυτό μετά το έσβησα και έγραψα αυτό που παρέθεσες και στη συνέχεια το ξαναδιόρθωσα.

ΤΙ ηλικια εχεις ;

POSITIVE · 04-02-12

Ένα χρόνο μικρότερος από εσένα είμαι. (είσαι μέλος στο mathematica σωστά; )

Guest 018946 · 04-02-12

Αρχική Δημοσίευση από POSITIVE:
Ένα χρόνο μικρότερος από εσένα είμαι. (είσαι μέλος στο mathematica σωστά; )

Ρε που με ειδες ? :redface:

. Εχει πολυ ωραια θεματα το μαθεματικα btw .

POSITIVE · 04-02-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Ρε που με ειδες ? . Εχει πολυ ωραια θεματα το μαθεματικα btw .

Τι πού σε είδα 5 δημοσιεύσεις την ημέρα να πούμε

Guest 018946 · 04-02-12

Ε ομολογουμενως οτι μπαινει σε αλγεβρα και Α λυκειου το χτυπαω . Εκεινη η τελευταια του Κυριαζη που ελυσα να την δεις αξιζει.

schooliki · 04-02-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Φιλε δεν εχω ασχοληθει με θεωρια αριθμων τελεια τετράγωνα κτλπ αλλα θα δωσω μια προσπαθεια .
Εστω λοιπον οτι ηταν τελειω τετραγωνο αρα θα μπορουσε να ειναι $k^2=5n+7 \Leftrightarrow k^2-5n-7=0$ Το θεωρω τριωνυμο ως προς $k$ και η διακρινουσα του για να ειναι τελειο τετραγωνο πρεπει να ειναι μηδεν αρα $\Delta =4(5n+7) \Leftrightarrow 20n=-28 \Leftrightarrow n=\frac{-7}{5} \notin \mathbb{N}$ αρα εχουμε ατοπο αρα δεν ισχυει .

Τάσο, θέλουμε να αποδείξουμε ότι το 5ν+7 δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, όχι το τριώνυμο. Απέδειξες ότι το τριώνυμο δε μπορεί για ν φυσικό να έχει μηδενική ρίζα κ=0, δηλαδή ότι το 5ν+7 δε μπορεί να είναι 0, αλλά αυτό για φυσικούς αριθμούς το ξέρουμε.
Λεωνίδα, ανέβασε τη λύση αναλυτικά, χωρίς τη χρήση του mod, για να την καταλάβουν όλοι.

demetr · 04-02-12

ο αριθμος 5ν τελειωνει ειτε σε 5 ειτε σε 0 ως πολ/σιο του 5..αρα ο αριθμος 5ν+7 θα τελειωνει ειτε σε 7 ειτε σε 2..ενω τα τελεια τετραγωνα τελειωνουν σε 0,1,4,5,6,9...αρα ο 5ν+7 δεν ειναι τελειο τετραγωνο για καθε ν ανηκει στους φυσικους!
Χρησιμη ειναι η πληροφορια οτι τα τελεια τετραγωνα τελειωνουν σε 0,1,4,5,6,9.να την θυμαστε..επισης μια αλλη πιο ευκολη εκδοχη του θεματος ειναι να αποδειξετε οτι ο αριθμος 5n^2+5n+1 δεν ειναι τελειο τετραγωνο για καθε n ανηκει στους φυσικους..οποιος θελει λεει ιδεες..μπραβο στον λεωνιδα για την αρχη που εκανε πριν..

ΥΓ:στο παραπανω το συμβολο ^ σημαινει δυναμη (π.χ. 2^2 = 2 στο τετραγωνο!)

Markovski · 04-02-12

Αρχική Δημοσίευση από demetr:
εισαι σιγουρος φιλε μου???το εμαθες απο καπου?

πηρα στην μαθηματικη εταιρια στην αθηνα

demetr · 04-02-12

Λοιπον εχουμε: Nα αποδειξετε οτι ο αριθμος 5n^2+5n+1 δεν ειναι τελειο τετραγωνο για καθε n ανηκει στους φυσικους. :eek:

εχουμε: 4n^2+4n+1<5n^2+5n+1<9n^2+6n+1 (1)
Αρα : (2n+1)^2 < 5n^2+5n+1<(3n+1)^2
Επειδη ομως αναμεσα στο (2n+1)^2 και στο (3n+1)^2 δεν υπαρχει τελειο τετραγωνο ο αριθμος 5n^2+5n+1 δεν ειναι τελειο τετραγωνο για καθε n ανηκει στους φυσικους
Επσιημανση: Η σχεση (1) προφανως ισχυει για καθε n ανηκει στους φυσικους!
Επισης (2n+1)^2 σημαινει 2n+1 Και ολο στο τετραγωνο!

POSITIVE · 04-02-12

Αρχική Δημοσίευση από schooliki:
Τάσο, θέλουμε να αποδείξουμε ότι το 5ν+7 δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, όχι το τριώνυμο. Απέδειξες ότι το τριώνυμο δε μπορεί για ν φυσικό να έχει μηδενική ρίζα κ=0, δηλαδή ότι το 5ν+7 δε μπορεί να είναι 0, αλλά αυτό για φυσικούς αριθμούς το ξέρουμε.
Λεωνίδα, ανέβασε τη λύση αναλυτικά, χωρίς τη χρήση του mod, για να την καταλάβουν όλοι.

Έχεις δίκιο λάθος μου.

Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί σε μία από τις παρακάτω μορφές:
$5 \kappa \\* 5\kappa +1 \\*5\kappa +2 \\*5\kappa +3 \\*5\kappa +4 \\*$
Τώρα υψώνοντας κάθε μία από τις παραπάνω μορφές στο τετράγωνο παίρνουμε αντίστοιχα
$25\kappa ^2=5*5\kappa ^2 \\*(5\kappa+1)^2=25\kappa^2+10\kappa+1=5(5\kappa^2+2\kappa)+1 \\*(5\kappa+2)^2=25\kappa^2+20\kappa+4=5(5\kappa^2+4\kappa)+4 \\*(5\kappa+3)^2=25\kappa^2+30\kappa+9=25\kappa^2+30\kappa+5+4=5(5\kappa^2+6\kappa+1)+4 \\*(5\kappa+4)^2=25\kappa^2+40\kappa+16=25\kappa^2+40\kappa+15+1=5(5\kappa^2+8\kappa+3)+1$
Οπότε βλέπουμε τώρα ότι ένας φυσικός αριθμός, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, έχει για μόνα δυνατά υπόλοιπα στη διαίρεση του με το $5$ το $0$ το $1$ και το $4$ . Όμως ο δικός μας φυσικός αριθμός είναι της μορφής $5\nu+7=5\nu+5+2=5(\nu+1)+2$ . Το $2$ όπως είδαμε δεν είναι ένα από τα δυνατά υπόλοιπα και άρα ο αριθμός δεν μπορεί να είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού.

schooliki · 04-02-12

Αρχική Δημοσίευση από demetr:
ο αριθμος 5ν τελειωνει ειτε σε 5 ειτε σε 0 ως πολ/σιο του 5..αρα ο αριθμος 5ν+7 θα τελειωνει ειτε σε 7 ειτε σε 2..ενω τα τελεια τετραγωνα τελειωνουν σε 0,1,4,5,6,9...αρα ο 5ν+7 δεν ειναι τελειο τετραγωνο για καθε ν ανηκει στους φυσικους!
Χρησιμη ειναι η πληροφορια οτι τα τελεια τετραγωνα τελειωνουν σε 0,1,4,5,6,9.να την θυμαστε..επισης μια αλλη πιο ευκολη εκδοχη του θεματος ειναι να αποδειξετε οτι ο αριθμος 5n^2+5n+1 δεν ειναι τελειο τετραγωνο για καθε n ανηκει στους φυσικους..οποιος θελει λεει ιδεες..μπραβο στον λεωνιδα για την αρχη που εκανε πριν..

ΥΓ:στο παραπανω το συμβολο ^ σημαινει δυναμη (π.χ. 2^2 = 2 στο τετραγωνο!)

Μια πιο γενική μέθοδος που εφαρμόζεται πολύ είναι η μέθοδος αναγωγής στα υπόλοιπα. Έχουμε:
$5\nu +7=5\nu +5+2=5(\nu +1)+2=5\mu +2$ . Δηλαδή ο αριθμός είναι της μορφής $5\mu +2$ , που σημαίνει ότι διαιρούμενος με το 5 δίνει υπόλοιπο 2.
Κάθε φυσικός (και γενικότερα ακέραιος) αριθμός μπορεί να είναι της μορφής (Ευκλείδια διαίρεση): $5\lambda +\upsilon$ , όπου $\upsilon=0, 1, 2, 3, 4$ .
Υψώνουμε στο τετράγωνο την πρώτη περίπτωση (για $\upsilon=0$ ) και έχουμε: ${(5\lambda})^{2}=25{\lambda }^{2}=5(5{\lambda }^{2})=5\mu$ .
Αν υψώσουμε στο τετράγωνο και τις άλλες περιπτώσεις καμιά δε θα μας δώσει αριθμό της μορφής $5\mu +2$ .
Επομένως ο $5\nu +7$ δε μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο.
Υ.Γ.
Ανεβάσαμε τη λύση σχεδόν ταυτόχρονα. Δεν πειράζει.

demetr · 04-02-12

αν διαιρεσουμε εναν αριθμο α με τον 15 παιρνουμε υπολοιπο 12.τι υπολοιπο θα παρουμε εαν διαιρεσουμε τον ιδιο αριθμο α με τον 5?

Λυση
Εχουμε απο ευκλειδια διαιρεση α=15λ+12
αρα:α=3.5.λ+10+2
αρα:α=3.5.λ+2.5+2
αρα:α=5(3λ+2)+2
αρα:α=5μ+2
οπου θεσαμε μ=3λ+2...ομως απο την σχεση αυτη καταλαβαινουμε οτι ο α διαιρουμενος με τον 5 δινει υπολοιπο 2!!!

schooliki · 05-02-12

Αρχική Δημοσίευση από demetr:
Λοιπον εχουμε: Nα αποδειξετε οτι ο αριθμος 5n^2+5n+1 δεν ειναι τελειο τετραγωνο για καθε n ανηκει στους φυσικους.
εχουμε: 4n^2+4n+1<5n^2+5n+1<9n^2+6n+1 (1)
Αρα : (2n+1)^2 < 5n^2+5n+1<(3n+1)^2
Επειδη ομως αναμεσα στο (2n+1)^2 και στο (3n+1)^2 δεν υπαρχει τελειο τετραγωνο ο αριθμος 5n^2+5n+1 δεν ειναι τελειο τετραγωνο για καθε n ανηκει στους φυσικους
Επσιημανση: Η σχεση (1) προφανως ισχυει για καθε n ανηκει στους φυσικους!
Επισης (2n+1)^2 σημαινει 2n+1 Και ολο στο τετραγωνο!

Μια καλή άσκηση. Το 1ο ερώτημα χρησιμοποιεί τη μορφή ακεραίου και το 2ο τη μέθοδο που αναφέρει εδώ ο demetr (οπωσδήποτε πιο δύσκολο).
Ούτε το άθροισμα αλλά ούτε και το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων μπορεί να είναι τετράγωνο κάποιου ακεραίου.

demetr · 06-02-12

παιδια αγορασα ξενη βιβλιογραφια...το 104 ασκησεις θεωριας αριθμων του andrescu!!!πολυ καλο βιβλιο! :clapup:

schooliki · 06-02-12

Αρχική Δημοσίευση από demetr:
παιδια αγορασα ξενη βιβλιογραφια...το 104 ασκησεις θεωριας αριθμων του andrescu!!!πολυ καλο βιβλιο!

Το έχω δεί το βιβλίο σε ηλεκτρονική μορφή. Μπήκες στα βαθιά φίλε demetr! Χρειάζεσαι ταχύρυθμα μαθήματα κολύμβησης! Εύχομαι καλό διάβασμα

.

demetr · 06-02-12

χαχαχαχαχα.οντως φιλε μου.οι ασκησεις του ειναι υψηλου επιπεδου..οποια βοηθεια απο θεμα μεθοδολογιων κλπ ευπροσδεκτη..επισης ανεβασε την λυση απο την ασκηση που εθεσες προχθες εαν θες

Διαγωνισμοί ΕΜΕ 2011-2012

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος