Διαγωνισμοί ΕΜΕ 2011-2012

schooliki · 07-02-12

Ούτε το άθροισμα αλλά ούτε και το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων μπορεί να είναι τετράγωνο κάποιου άλλου ακεραίου.

Ζητώ συγνώμη, ξέχασα τη λέξη άλλου στην εκφώνηση.
Έστω οι ακέραιοι αριθμοί ν, ν+1, ν+2, ν+3.
Άθροισμα
$A=\nu +(\nu +1)+(\nu +2)+(\nu +3)=4\nu +6=4\nu +4+2=4(\nu +1)+2=4\mu +2$ . A άρτιος.
Αν υποθέσουμε ότι $A={\kappa }^{2}\: ,\: \kappa \in Z$ , τότε και κ άρτιος, άρα της μορφής 2λ.
Έχουμε:
$4\mu +2={(2\lambda)}^{2}\Leftrightarrow 4\mu +2=4{\lambda }^{2} \Leftrightarrow 2(2\mu +1)=2\cdot 2{\lambda }^{2}\Leftrightarrow 2\mu +1=2{\lambda }^{2}$ . Δηλαδή ένας περιττός ισούται με ένα άρτιο. Άτοπο.
Πώς αλλιώς μπορεί να αποδειχθεί, με βάση τις μορφές τετραγώνων;

Γινόμενο
Αν ν = 0, -1, -2, -3 , ένας από τους αριθμούς μηδενίζεται και το γινόμενο γίνεται 0, δηλαδή ναι μεν τετράγωνο ακεραίου,αλλά ενός από τους τέσσερις αριθμούς.
Έχουμε
Γ = $\nu (\nu +1)(\nu +2)(\nu +3)={\nu }^{4}+6{\nu }^{3}+11{\nu }^{2}+6\nu$
Έχουμε επίσης
Δ1 = ${({\nu }^{2}+3\nu )}^{2}={\nu }^{4}+6{\nu }^{3}+9{\nu }^{2}$
και
Δ2 = ${({\nu }^{2}+3\nu +1)}^{2}={\nu }^{4}+6{\nu }^{3}+11{\nu }^{2}+6\nu +1$
Όμως Δ1, Δ2 τετράγωνα διαδοχικών ακεραίων.
Θα δείξουμε ότι Δ1<Γ<Δ2. Προφανώς ισχύει ότι Γ<Δ2.
Θα δείξουμε ότι Γ>Δ1.
${\nu }^{4}+6{\nu }^{3}+11{\nu }^{2}+6\nu>{\nu }^{4}+6{\nu }^{3}+9{\nu }^{2}\Leftrightarrow 2{\nu }^{2}+6\nu >0\Leftrightarrow 2\nu (\nu +3)>0$
Προφανώς ισχύει για ν>0 και ν<-3.
Μιά κάπως διαφορετική λύση χωρίς το Δ1. Αν πούμε Δ2-1=Γ (που ισχύει), πως καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα;

schooliki · 9 Φεβρουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από demetr:
χαχαχαχαχα.οντως φιλε μου.οι ασκησεις του ειναι υψηλου επιπεδου..οποια βοηθεια απο θεμα μεθοδολογιων κλπ ευπροσδεκτη..επισης ανεβασε την λυση απο την ασκηση που εθεσες προχθες εαν θες

Μια που ανέφερες μεθοδολογίες, βρήκα στον υπολογιστή αυτές τις σημειώσεις-συμπεράσματα που είχα σκανάρει κάποτε.
Είναι πάνω στη γεωμετρία και αναφέρονται στις συντρέχουσες ευθείες και στα συνευθειακά σημεία.
Πατήστε επάνω στις εικόνες (Αργούν λίγο να ανοίξουν). Ελπίζω να φαίνονται καλά.
1.jpg 2.jpg

demetr · 09-02-12

ναι φιανονται...σε ευχαριστω πολυ φιλε schooliki!!!!!εαν εχεις και καμια αλλη μεθοδολογια για αλγεβρα αρχιμηδη πες

Markovski · 11-02-12

ρε παιδια ποτε θα βγουν οι επιτυχοντες του ευκλειδη???

SonnY · 11-02-12

Αρχική Δημοσίευση από Markovski:
ρε παιδια ποτε θα βγουν οι επιτυχοντες του ευκλειδη???

ποιο πάνω είπε ένας φίλος ότι βγαίνουν κατά τις 15.. Δεν ξέρω κατά πόσοαληθεύει αυτό..

demetr · 14-02-12

εαν καποιος παρει τηλεφωνο στην ΕΜΕ ας ρωτησει για τα αποτελεσματα και να μας πει εδω ποτε περιπου..ο φιλος παραπανω οντως ειπε 15-20 αλλα για οτι νεοτερο γραψτε!

Markovski · 14-02-12

τελικα ξαναπηρα στην ΕΜΕ και λενε οτι τους ειπαν για μετα τις 20

Χαρουλιτα · 14-02-12

Το παραρτημα της Πατρας ειναι κατω απο το σπιτι μου... Οταν βγουν θα σας ενημερωσω...

Markovski · 15-02-12

δηλαδη θα το μαθεις πριν αναρτηθουν στο ιντερνετ?

Χαρουλιτα · 15-02-12

Iσως παντως χτες που ρωτησα δεν ειχε βγει ανακοινωση για το ποτε βγαινουν...

Markovski · 15-02-12

για οτι νεοτερο πες μας

demetr · 19-02-12

ΕΕΕΕ δεν παει αλλο!...σιγουρα αυτην την εβδομαδα θα βγουνε τα αποτελεσματα!

Markovski · 20-02-12

παιδια θα βγουνε ή σήμερα ή αυριο

demetr · 20-02-12

και εγω ετσι πιστευω!!!και μου φενεται περιεργο το γεγονος οτι η σελιδα της μαθηματικης εταιρειας www.hms.gr τουλαχιστον σε εμενα δεν μπαινει..που σημαινει οτι κατι προσθετουν μαλλον!

POSITIVE · 20-02-12

Αρχική Δημοσίευση από demetr:
και εγω ετσι πιστευω!!!και μου φενεται περιεργο το γεγονος οτι η σελιδα της μαθηματικης εταιρειας www.hms.gr τουλαχιστον σε εμενα δεν μπαινει..που σημαινει οτι κατι προσθετουν μαλλον!

έχω μια υποψία για το τί μπορεί να είναι αυτό το κάτι

akis95 · 20-02-12

παιδια εχω τρελο αγχος και δυστυχως δεν θα περασω γιατι σημερα ειδα το μαθηματικο απο μακρια να με κοιταει με ενα περιεργο βλεμα πφφφφφφφφφφ

Markovski · 20 Φεβρουαρίου 2012

παιδια ουτε εγω εχω προσβαση στην μαθηματικη τα αποτελεσματα ερχονται!

και που θα ξερει ο μαθηματικος? πρωτα τα αποτελεσματα βγαινουν στο ιντερνετ

ΤΖΟΥΚΟΣ · 20-02-12

παιδια ουτε κι εγω εχω προσβαση ηδη απο τισ 3 30 . ποσες ωρεσ κανουν για να τα βαλουν :clapup:

καλη επιτυχια σ'όλους

akis95 · 20-02-12

καλη επιτυχια και σε εσενα πως τα πηγες?

demetr · 20-02-12

ουτε εγω εχω προσβαση ακομα απο την ωρα που εστειλα!!!!!!αντε να δουμε!!!Καλη μας επιτυχια!!!!!

Διαγωνισμοί ΕΜΕ 2011-2012

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Συνημμένα

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος