Γρίφοι Μαθηματικών

[Filippos14]

Βρείτε τι ώρα θα δείξει το ρολόι μετά τις 12, όταν ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης του ρολογιού συναντηθούν για δεύτερη φορά.

Χμ κατι τετοια θυμαμε οταν ειμουν β λυκειου και εκανα φυσικη γενικης,ασκησεις στην κυκλικη κινηση!?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Δημοσιοκαφρος-γραφος]

1 καλο η τιμια κυβερνηση εβγαλε αποφαση οτι ολοι θα βγουν στην συνταξη σε 760 εργασιμες ημερες.
Με την προυποθεση οτι θα μετραν οι μισες οι μερες απο οτι δουλεψε τον προηγουμενο χρονο.
Ποσα χρονια θα βγει καποιος στην συνταξη

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DumeNuke]

Άρα, δεν πρόκειται ποτέ να βγει στη σύνταξη, αφού απαιτούνται 760 εργάσιμες ημέρες.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Δημοσιοκαφρος-γραφος]

Για την ακριβεια αν ζουσε 260 (περιπου) χρονια θα εβγαινε

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

1 καλο η τιμια κυβερνηση εβγαλε αποφαση οτι ολοι θα βγουν στην συνταξη σε 760 εργασιμες ημερες.
Με την προυποθεση οτι θα μετραν οι μισες οι μερες απο οτι δουλεψε τον προηγουμενο χρονο.
Ποσα χρονια θα βγει καποιος στην συνταξη

Θεωρούμε ότι κάθε έτος έχει διάρκεια 365 ημερών οι οποίες όλες είναι εργάσιμες. Η ακολουθία του αριθμού των εργάσιμων ημερών αn κατά την διάρκεια του n-στού έτους είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο α1=365 και λόγο λ=1/2. Ο αριθμός των εργάσιμων ημερών κατά την διάρκεια των πρώτων n ετών ισούται με το άθροισμα Sn=α1+α2+...αn. Επομένως έχουμε:

αn=α1*λ^(n-1) => αn=365/(2^(n-1))=365*(2^(1-n)), n ανήκει N*
Sn=α1*[((λ^n)-1)/(λ-1)] => Sn=730*[1-(2^(-n))], n ανήκει N*

Η γεωμετρική πρόοδος είναι φθίνουσα καθώς λ<1, οπότε η σειρά Σ(n=1,oo)αn=lim(n->oo)Sn συγκλίνει στην τιμή S=α1/(1-λ). Έχουμε S=730.

Άρα ακόμη και άπειρα χρόνια να ζήσει ο άνθρωπος δεν πρόκειται ποτέ να συπληρώσει περισσότερες από 730 εργάσιμες ημέρες και επομένως δεν θα βγει ποτέ στη σύνταξη εκτός και αν κατά την διάρκεια της ζωής του τροποποιηθεί το ασφαλιστικό σύστημα.

ΥΓ: Μη βάζεις ιδέες στον υπουργό εργασίας.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Εσύ βρες πόσες συναντήσεις θα έχουν μέσα σε ένα εικοσιτετράωρο.

Ας κάνω αναλυτικά τη διαδικασία. Έστω t0=0 η χρονική στιγμή κατά την οποία ο λεπτοδείκτης και ο ωροδείκτης δείχνουν 12. Ο λεπτοδείκτης σε χρονικό διάστημα Δtm=1 h=60 min=3600 s διαγράφει γωνία Δθ=360 deg=2π rad. Ο ωροδείκτης σε χρονικό διάστημα Δth=12 h=720 min=43200 s διαγράφει γωνία Δθ=360 deg=2π rad. Η γωνιακή ταχύτητα περιοστροφής των δεικτών υπολογίζεται στη συνέχεια:

ωm=Δθ/Δtm => ωm=360/3600=1/10 deg/s=0,1 deg/s (λεπτοδείκτης)
ωh=Δθ/Δth => ωm=360/43200=1/120 deg/s (ωροδείκτης)

Οι διαγραφόμενες γωνίες των τόξων που θα έχουν διαγράψει οι δύο δείκτες μέχρι την χρονική στιγμή t, δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις:

θm=ωmt
θh=ωht

Επειδή ωm>ωh, τότε ο λεπτοδείκτης περιστρέφεται γρηγορότερα από τον ωροδείκτη, όπως είναι αναμενόμενο. Όταν συναντηθούν οι δύο δείκτες για κ-οστή φορά (χωρίς να προσμετράται η ταύτισή τους την χρονική στιγμή t0=0) τότε ο λεπτοδείκτης θα έχει διαγράψει γωνία κατά κΔθ=360κ deg μεγαλύτερη από εκείνη του ωροδείκτη στο ίδιο χρονικό διάστημα. Συνεπώς προκύπτουν τα εξής:

θm-θh=κΔθ => (Δθ/Δtm)t -(Δθ/Δth)t=κΔθ => [(1/Δtm) -(1/Δth)]t=κ => t=κ/[(1/Δtm) -(1/Δth)]=[(Δth*Δtm)/(Δth-Δtm)]*κ

Οι χρονική στιγμή tκ κατά την οποία η δύο δείκτες θα συναντηθούν για κ-οστή φορά προσδιορίζεται από την εξίσωση:
tκ=[(Δth*Δtm)/(Δth-Δtm)]*κ=(43200/11)κ sec=(720/11)κ min=(12/11)κ h, όπου κ ανήκει Ν

Για κ=0 προκύπτει t0=0 που είναι η χρονική στιγμή κατά την οποία και οι δύο δείκτες δείχνουν 12 και έχει υποτεθεί ως αρχή μέτρησης του χρόνου.

Για να βρούμε πόσες φορές συναντιούνται οι δύο δείκτες κατά την διάρκεια ενός 24ώρου τότε πρέπει να λυθεί η ανίσωση tκ<=T όπου T=24 h. Έχουμε:

tκ<=Τ => (12/11)κ<=24 => κ<=22 => κ=0,1,2,...,22

Για κ=22 προκύπτει t22=24h=T

Άρα:
i) Στο διάστημα [0,T] οι δύο δείκτες συναντιούνται 23 φορές
ii) Στα διαστήματα [0,T) και (0,T] οι δύο δείκτες συναντιούνται 22 φορές
iii) Στο διάστημα (0,T) οι δύο δείκτες συναντιούνται 21 φορές

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Ξεκινάμε από έναν ακέραιο αριθμό α. Αν του προσθέσουμε 30 τότε το αποτέλεσμα είναι ένα τέλειο τετράγωνο. Αν του αφαιρέσουμε 30 τότε το αποτέλεσμα είναι επίσης ένα τέλειο τετράγωνο. Πόσοι τέτοιοι αριθμοί α υπάρχουν και ποιοι είναι αυτοί;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Ο γρίφος με τα 3 καπέλα

Ο γρίφος ανήκει στην κατηγορία γρίφοι λογικής. Ένας Μάγος καλεί τρεις σοφούς άντρες και τους λέει να κλείσουν τα μάτια τους. Ενώ αυτοί έχουν κλειστά τα μάτια τους, τους τοποθετεί από ένα καπέλο στο κεφάλι τους.

«Έβαλα ένα μπλε ή ένα λευκό καπέλο σε κάθε έναν από εσάς", λέει. «Εγώ δεν θα σας πω τι χρώμα έχει το κάθε καπέλο, αλλά πρέπει να ξέρετε ότι είχα 3 μπλε καπέλα και 2 λευκά καπέλα».

«Τώρα ανοίξτε τα μάτια σας», συνεχίζει. "Δεν επιτρέπεται να επικοινωνήσετε μεταξύ σας. Μέσα σε μία ώρα, ένας από σας πρέπει να ανακαλύψει το χρώμα του καπέλου του."

Και οι τρεις άντρες ανοίγουν τα μάτια τους και παρατηρούν τα καπέλα που μπορούν να δουν». Στέκονται εκεί για σχεδόν ολόκληρη ώρα στη σιωπή, και σκέφτονται. Αφού περνά η μία ώρα, οι τρεις άνδρες καταλαβαίνουν το χρώμα των δικών τους καπέλων και φωνάζουν την ίδια στιγμή τα χρώματα των καπέλων τους.

Μπορείτε να υποθέσετε ότι και οι τρεις άνδρες είναι λογικοί, ξέρουν ότι και οι άλλοι είναι λογικοί, και ότι όλοι σκέφτονται με την ίδια ταχύτητα.

Ποια είναι τα χρώματα από τα καπέλα των τριών ανδρών τελικά;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Stavri_]

1η περίπτωση: Αν υπήρχαν δυο άσπρα κάπελα και ένα μπλε τότε αυτός που θα φορούσε το μπλε θα φώναζε αμέσως.
2η περίπτωση: Αν υπήρχαν δυο μπλε καπέλα και ένα άσπρο: Έστω ο ένας σοφό που φοράει μπλε ,λέγεται Μ1 ,ο δεύτερος σοφός που φοράει μπλε ,λέγεται Μ2 και ο σοφός με το άσπρο λέγεται Α. Ο Μ1 θα βλέπει ένα μπλε και ένα άσπρο άρα δεν θα ξέρει τι να απαντήσει, ο Μ2 βλέποντας ένα μπλε και ένα άσπρο θα σκεφτεί πως αφού δεν μιλάει ο Μ1(άρα δεν ξέρει) δεν φοράει άσπρο, άρα φωνάζει και λέει μπλε για το δικό του καπέλο.
3η περίπτωση: Αν υπάρχουν τρία μπλε καπέλα: Οι σοφοί θα σκεφτούν τις 1-2 περιπτώσεις και αφού κανένας δεν θα έχει μιλήσει ως το τέλος της ώρας θα πουν όλοι μαζί ότι φοράνε μπλε.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Stavri_]

Ξεκινάμε από έναν ακέραιο αριθμό α. Αν του προσθέσουμε 30 τότε το αποτέλεσμα είναι ένα τέλειο τετράγωνο. Αν του αφαιρέσουμε 30 τότε το αποτέλεσμα είναι επίσης ένα τέλειο τετράγωνο. Πόσοι τέτοιοι αριθμοί α υπάρχουν και ποιοι είναι αυτοί;

Το 34 και το 226.(Νομίζω δηλαδή. Αν κάνω λάθος πες μου, για να το ξανά σκεφτώ, αν όχι τότε μπορώ να σου εξηγήσω το σκεπτικό μου )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

Δεν ταιριάζει και τόσο μετά τους όμορφους προηγούμενους γρίφους αλλά ας κάνουμε και λίγο χαβαλέ. Προσπαθείστε χωρίς μολύβι και χαρτί το εξής:
Μία ρακέτα και ένα μπαλάκι κοστίζουν ένα ευρώ και δέκα λεπτά. Η ρακέτα κοστίζει ένα ευρώ περισσότερο από το μπαλάκι. Πόσο κοστίζει το μπαλάκι;

Spoiler

Αν η πρώτη σας απάντηση ήταν δέκα λεπτά τότε την πατήσατε όπως εγώ. Μου θύμισε εκείνο που λέει: Αν τρέχεις σε αγώνα και περάσεις τον δεύτερο τι θέση είσαι; Και απαντάς πρώτος

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Italian dream...]

Δεν ταιριάζει και τόσο μετά τους όμορφους προηγούμενους γρίφους αλλά ας κάνουμε και λίγο χαβαλέ. Προσπαθείστε χωρίς μολύβι και χαρτί το εξής:
Μία ρακέτα και ένα μπαλάκι κοστίζουν ένα ευρώ και δέκα λεπτά. Η ρακέτα κοστίζει ένα ευρώ περισσότερο από το μπαλάκι. Πόσο κοστίζει το μπαλάκι;

Spoiler

Αν η πρώτη σας απάντηση ήταν δέκα λεπτά τότε την πατήσατε όπως εγώ. Μου θύμισε εκείνο που λέει: Αν τρέχεις σε αγώνα και περάσεις τον δεύτερο τι θέση είσαι; Και απαντάς πρώτος

Η ρακέτα κοστίζει 1 ευρω και 5 λεπτά και το μπαλάκι 5 λεπτα??

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Sail Beg]

1, 11, 21, 1211 .... what comes next?
Για να σας δω,εμένα δεν μου πήγε το μυαλό.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[notis_19]

Μήπως είναι το 111221 ?

Ξεκινάμε με τον αριθμό 1.

Αμέσως μετά το 1, υπάρχει το 11, αφού ο αριθμός 1 μπορεί να γραφεί και μια φορά το 1. Δηλαδή 11 (το πρώτο 1 δηλώνει την φορά και το άλλο 1 τον αριθμό)
Μετά το 11, υπάρχει το 21, λογικό αφού ο αριθμός 11, είναι 2 φορές το 1. Δηλαδή 21 ( το δυάρι δηλώνει το πόσες φορές εμφανίζεται ο αριθμός 1 και το 1 δηλώνει τον αριθμό )
Αμέσως μετά το 21, είναι ο αριθμός 1211, αφού το 21 είναι μία φορά το αριθμός 2 και μετά το 2, μία φορά ο αριθμός 1 και το ψηφίο 1. (μετά τις φορές,μπαίνει ο αριθμός)

Και,μετά τον αριθμό 1211, υπάρχει ο αριθμός 111221, αφού το 1211 είναι μία φορά ο αριθμός 1 και το 1, στη συνέχεια, το 2 είναι μία φορά ο αριθμός 2 και το 2, το 11 είναι 2 φορές ο αριθμός 1 και το 1. Όλο μαζί 111221.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[chocolatecookie]

Η ρακέτα κοστίζει 1 ευρω και 5 λεπτά και το μπαλάκι 5 λεπτα??

Κι εγώ έτσι το βρήκα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dimitris001]

1, 11, 21, 1211 .... what comes next?
Για να σας δω,εμένα δεν μου πήγε το μυαλό.

• 1 => ένα "1" δλδ 11
• 11 => δύο "1" άρα 21
• 21 => ένα "2" και ένα "1" δλδ 1211
• 1211 => ένα "1" , ένα "2" , δύο "1" άρα 111221
• 111221 => τρία "1" , δύο "2" και ένα "1" άρα 312211
• και πάει λέγοντας

edit : Με πρόλαβαν

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Sail Beg]

Σωστοί και οι 2
https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA&feature=youtu.be
Από αυτόν τον φαινομενικά ανούσιο γρίφο προέκυψε η σταθερά Conway.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[eyb0ss]

Δεν ταιριάζει και τόσο μετά τους όμορφους προηγούμενους γρίφους αλλά ας κάνουμε και λίγο χαβαλέ. Προσπαθείστε χωρίς μολύβι και χαρτί το εξής:
Μία ρακέτα και ένα μπαλάκι κοστίζουν ένα ευρώ και δέκα λεπτά. Η ρακέτα κοστίζει ένα ευρώ περισσότερο από το μπαλάκι. Πόσο κοστίζει το μπαλάκι;

Spoiler

Αν η πρώτη σας απάντηση ήταν δέκα λεπτά τότε την πατήσατε όπως εγώ. Μου θύμισε εκείνο που λέει: Αν τρέχεις σε αγώνα και περάσεις τον δεύτερο τι θέση είσαι; Και απαντάς πρώτος

Απλό. Έστω α η τιμή της ρακέτας και β της μπάλας. Τότε α+β=1,1 και α=β+1 Προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε 2α+β=β+2,1 <=>2α=2,1 <=>α=1,05 και β=α-1 <=>β=0,05 δηλαδή η ρακέτα κοστίζει 1,05ε και η μπάλα 0,05ε

ΥΓ Έγινε χωρίς χαρτί και μολύβι

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Drama Prinzessin]

Να υπολογιστεί η γωνία "α".

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Sail Beg]

ή 30 ή 45,δεν είμαι βέβαιος

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.