Εσύ βρες πόσες συναντήσεις θα έχουν μέσα σε ένα εικοσιτετράωρο.
Ας κάνω αναλυτικά τη διαδικασία. Έστω t0=0 η χρονική στιγμή κατά την οποία ο λεπτοδείκτης και ο ωροδείκτης δείχνουν 12. Ο λεπτοδείκτης σε χρονικό διάστημα Δtm=1 h=60 min=3600 s διαγράφει γωνία Δθ=360 deg=2π rad. Ο ωροδείκτης σε χρονικό διάστημα Δth=12 h=720 min=43200 s διαγράφει γωνία Δθ=360 deg=2π rad. Η γωνιακή ταχύτητα περιοστροφής των δεικτών υπολογίζεται στη συνέχεια:
ωm=Δθ/Δtm => ωm=360/3600=1/10 deg/s=0,1 deg/s (λεπτοδείκτης)
ωh=Δθ/Δth => ωm=360/43200=1/120 deg/s (ωροδείκτης)
Οι διαγραφόμενες γωνίες των τόξων που θα έχουν διαγράψει οι δύο δείκτες μέχρι την χρονική στιγμή t, δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις:
θm=ωmt
θh=ωht
Επειδή ωm>ωh, τότε ο λεπτοδείκτης περιστρέφεται γρηγορότερα από τον ωροδείκτη, όπως είναι αναμενόμενο. Όταν συναντηθούν οι δύο δείκτες για κ-οστή φορά (χωρίς να προσμετράται η ταύτισή τους την χρονική στιγμή t0=0) τότε ο λεπτοδείκτης θα έχει διαγράψει γωνία κατά κΔθ=360κ deg μεγαλύτερη από εκείνη του ωροδείκτη στο ίδιο χρονικό διάστημα. Συνεπώς προκύπτουν τα εξής:
θm-θh=κΔθ => (Δθ/Δtm)t -(Δθ/Δth)t=κΔθ => [(1/Δtm) -(1/Δth)]t=κ => t=κ/[(1/Δtm) -(1/Δth)]=[(Δth*Δtm)/(Δth-Δtm)]*κ
Οι χρονική στιγμή tκ κατά την οποία η δύο δείκτες θα συναντηθούν για κ-οστή φορά προσδιορίζεται από την εξίσωση:
tκ=[(Δth*Δtm)/(Δth-Δtm)]*κ=(43200/11)κ sec=(720/11)κ min=(12/11)κ h, όπου κ ανήκει Ν
Για κ=0 προκύπτει t0=0 που είναι η χρονική στιγμή κατά την οποία και οι δύο δείκτες δείχνουν 12 και έχει υποτεθεί ως αρχή μέτρησης του χρόνου.
Για να βρούμε πόσες φορές συναντιούνται οι δύο δείκτες κατά την διάρκεια ενός 24ώρου τότε πρέπει να λυθεί η ανίσωση tκ<=T όπου T=24 h. Έχουμε:
tκ<=Τ => (12/11)κ<=24 => κ<=22 => κ=0,1,2,...,22
Για κ=22 προκύπτει t22=24h=T
Άρα:
i) Στο διάστημα [0,T] οι δύο δείκτες συναντιούνται 23 φορές
ii) Στα διαστήματα [0,T) και (0,T] οι δύο δείκτες συναντιούνται 22 φορές
iii) Στο διάστημα (0,T) οι δύο δείκτες συναντιούνται 21 φορές
