Γρίφοι Μαθηματικών

[hliaskal000]

Ο Άλυτος γρίφος

https://oi-grifoi.blogspot.gr/2012/02/blog-post_14.html

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Deutsch... Lover]

Σε μια γιορτή του σχολείου, η δασκάλα ζήτησε από 10 παιδιά να παίξουν ένα παιχνίδι. Τους είπε να κλείσουν τα μάτια και φόρεσε στον καθένα τους είτε ένα κόκκινο είτε ένα άσπρο καπέλο. Μετά τους είπε να ανοίξουν τα μάτια τους και να δουν τα καπέλα που φοράνε τα υπόλοιπα παιδιά.
Όποιο παιδάκι έβλεπε τέσσερα ή περισσότερα κόκκινα καπέλα θα έπαιρνε δώρο ένα μπαλόνι. Στο τέλος του παιχνιδιού ένα παιδάκι ζήλεψε που κάποιο άλλο πήρε μπαλόνι ενώ αυτό όχι. Πόσα πήραν μπαλόνι;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giorgos216]

Σε μια γιορτή του σχολείου, η δασκάλα ζήτησε από 10 παιδιά να παίξουν ένα παιχνίδι. Τους είπε να κλείσουν τα μάτια και φόρεσε στον καθένα τους είτε ένα κόκκινο είτε ένα άσπρο καπέλο. Μετά τους είπε να ανοίξουν τα μάτια τους και να δουν τα καπέλα που φοράνε τα υπόλοιπα παιδιά.
Όποιο παιδάκι έβλεπε τέσσερα ή περισσότερα κόκκινα καπέλα θα έπαιρνε δώρο ένα μπαλόνι. Στο τέλος του παιχνιδιού ένα παιδάκι ζήλεψε που κάποιο άλλο πήρε μπαλόνι ενώ αυτό όχι. Πόσα πήραν μπαλόνι;

Μπαλόνι πήραν 6 παιδιά, διότι από τη στιγμή που κάποιοι πήραν και άλλοι όχι, σημαίνει ότι υπήρχαν 4 παιδιά με κόκκινα καπέλα. Συνεπώς, οι υπόλοιποι 6 που είδαν 4 κόκκινα καπέλα πήραν μπαλόνι.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Deutsch... Lover]

Μπαλόνι πήραν 6 παιδιά, διότι από τη στιγμή που κάποιοι πήραν και άλλοι όχι, σημαίνει ότι υπήρχαν 4 παιδιά με κόκκινα καπέλα. Συνεπώς, οι υπόλοιποι 6 που είδαν 4 κόκκινα καπέλα πήραν μπαλόνι.

Σωστα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[hliaskal000]

Το πρόβλημα των 5 ακέραιων σημείων!!

https://oi-grifoi.blogspot.gr/2013/04/blog-post_17.html

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Τolaras]

Μερικές σκέψεις
1. Αν ο Άρης είχε ως άθροισμα άρτιο αριθμό, τότε, σύμφωνα με την εικασία του Goldbach, θα μπορούσε να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων. Επομένως, αν ο Γιώργος είχε ως γινόμενο αριθμό που αναλύεται μόνο σε γινόμενο δύο πρώτων, θα έβρισκε τους αριθμούς αμέσως (π.χ. αν είχε 35 τότε οι αριθμοί θα ήταν 7 και 5). Ο Άρης ξέρει ότι υπάρχει αυτή η πιθανότητα. Αφού του λέει ότι δε μπορεί να βρει τους αριθμούς, έχει αποκλείσει αυτή την πιθανότητα. Και αυτό το έκανε διότι είδε ότι το άθροισμα των δύο αριθμών είναι περιττός αριθμός. Αυτό δεν το ήξερε ο Γιώργος. Μετά τo "ξέρω πως δε μπορείς να βρεις τους αριθμούς" του Άρη, το ξέρει.
2. Αν το άθροισμα είναι περιττός της μορφής 2 εις την ν + πρώτος, τότε υπάρχει η πιθανότητα ο Γιώργος να έχει το γινόμενο δύο τέτοιων αριθμών. Π.χ. 8 x 19 = 152. Το 152 έχει πρώτους παράγοντες τους 2 και 19. Ως γινόμενο μπορεί να γραφεί 8 x 19, 4 x 38, 2 x 76. Όμως τα δύο τελευταία γινόμενα δίνουν άρτιο άθροισμα, επομένως απορρίπτονται (Το τελευταίο και επειδή έχει το 2). Γενικά, αν σπάσουμε τη δύναμη του 2, το άθροισμα των αριθμών γίνεται άρτιο (άθροισμα δύο αρτίων). Ο Άρης τα γνωρίζει αυτά και έχει αποκλείσει και αυτή την πιθανότητα. Επομένως το άθροισμα των δύο αριθμών δεν είναι αριθμός της μορφής 2 εις την ν + πρώτος. Αυτό επίσης δεν το ήξερε ο Γιώργος. Μετά τo "ξέρω πως δε μπορείς να βρεις τους αριθμούς" του Άρη, το ξέρει.
3. Αφού έχουμε ως άθροισμα περιττό αριθμό, ο ένας αριθμός είναι άρτιος και ο άλλος περιττός, δηλαδή το γινόμενο των δύο αριθμών είναι άρτιος αριθμός. Αυτό το ξέρουν και οι δύο από την αρχή.

Ερώτημα
Ποιά στοιχεία επί πλέον έδωσε στο Γιώργο το "Δυστυχώς ούτε και εγώ μπορώ" του Άρη;

ρε μεγάλε δε κατάλαβα το στοιχειο 2 που αναφέρεις...δηλαδή αν έχει το άθροισμα 13 μπροστά του που είναι 2^3+5..και ο γιώργος πάρει το γινόμενο 40 πως μπορεί και αποκλείει το 4*10?δε γνωρίζει ο γιώργος αν το άθροισμα είναι άρτιο η περιττό..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ξαροπ]

Το πρόβλημα των 5 ακέραιων σημείων!!

https://oi-grifoi.blogspot.gr/2013/04/blog-post_17.html

Την επόμενη φορά καλό είναι και η λύση να μην είναι στο ακριβώς απο κάτω σχόλιο.

Επειδή έχουμε συνολικά 2*2 = 4 περιπτώσεις ζεύγους (άρτιο-περιττό, άρτιο-άρτιο, περιττό-άρτιο, περιττό-περιττό) και 5 σημεία, δύο σημεία θα έχουν την ίδια περίπτωση ζεύγους. Η ευθεία που τα ενώνει περνάει από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που ορίζουν Μ(x1+x2/2, y1+y2/2). Αφού το άθροισμα δυο περιττών ή δυο άρτιων διαιρείται με το 2, οι συντεταγμένες του Μ είναι ακέραιες.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[schooliki]

ρε μεγάλε δε κατάλαβα το στοιχειο 2 που αναφέρεις...δηλαδή αν έχει το άθροισμα 13 μπροστά του που είναι 2^3+5..και ο γιώργος πάρει το γινόμενο 40 πως μπορεί και αποκλείει το 4*10?δε γνωρίζει ο γιώργος αν το άθροισμα είναι άρτιο η περιττό..

Διατυπώνω καλύτερα την 1η παράγραφο, για να καταλάβεις γιατί ο Γιώργος, μετά την 1η φράση του Άρη, γνωρίζει ότι το άθροισμα είναι περιττός αριθμός.

1. Αν ο Άρης είχε ως άθροισμα άρτιο αριθμό, τότε, σύμφωνα με την εικασία του Goldbach, θα μπορούσε να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων.
Υπάρχει όμως η πιθανότητα ο Γιώργος να έχει αριθμό που αναλύεται σε γινόμενο μόνο δύο πρώτων, οπότε θα έβρισκε τους αριθμούς αμέσως (π.χ. αν είχε γινόμενο 35, τότε θα καταλάβαινε ότι οι αριθμοί είναι 7 και 5, αν είχε 77 τότε οι αριθμοί θα ήταν 11 και 7 κ.λ.π.).
Ο Άρης αντιλαμβάνεται ότι θα υπήρχε αυτή η πιθανότητα, αν είχε άθροισμα άρτιο. Θα μπορούσε δηλαδή να έχει το άρτιο άθροισμα δυο πρώτων, που είναι οι μόνοι πρώτοι παράγοντες ενός γινομένου.
Αφού λέει στο Γιώργο ότι δε μπορεί να βρει τους αριθμούς, προφανώς έχει αποκλείσει την πιθανότητα. Και αυτό θα μπορούσε να το κάνει με τόση σιγουριά, μόνο αν είχε ως άθροισμα περιττό αριθμό.
Ο Γιώργος, που γνωρίζει την υπόθεση Goldbach, γνωρίζει επίσης ότι δεν του έτυχε η παραπάνω περίπτωση, κατάλαβε ότι για να του πει ο Άρης "ξέρω πως δε μπορείς να βρεις τους αριθμούς", προφανώς έχει ως άθροισμα περιττό αριθμό, αλλιώς δε θα ήταν τόσο απόλυτος. Αν το άθροισμα ήταν άρτιο, πάντα θα υπήρχε η πιθανότητα που αναφέρθηκε προηγουμένως.
Επομένως μετά την 1η φράση του Άρη, ο Γιώργος γνωρίζει ότι ο Άρης έχει άθροισμα περιττό.

Υ.Γ.
Καμιά ιδέα Ιάσωνα, έτσι σαν ένα μικρό διάλειμμα απ' τα διαβάσματα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 845212]

Μου δωσανε τον εξης γριφο:
Το παραδοξο της σανιδας:

https://pantsik.blogspot.gr/2010/09/blog-post_252.html

Τι λετε παιδια?

Μια σκεψη που εκανα που πρεπει να ειναι λαθος ειναι η εξης:

Spoiler

Στην οριακη περιπτωση που η σανιδα ακουμπησει κατω δλδ x (t)= L το Πυθαγωρειο θεωρημα δεν θα ισχυει διοτι δεν θα σχηματιζεται τριγωνο. Ακουσα ομως απο παιδι που ξερει τελεια μαθηματικα οτι μπορει να θεωρηθει εκφυλισμενο. Δηλαδη οριακα για το ορθογωνιο ισχυει το Πθ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[καποιος_καπου]

Γιατί πρώτον:

Πρέπει να ορίσεις αυστηρά τι είναι ακέραιος, τι είναι πραγματικός και θα μπλέξουμε σε βαθειά λιμέρια της συνολοθεωρίας.

Καταρχήν, θα ορίσω το επαγωγικό σύνολο:


Ένα σύνολο πραγματικών καλείται επαγωγικό αν έχει τις εξής δύο ιδιότητες:

α) Ο αριθμός 1 συμπεριλαμβάνεται σε αυτό
β) Για κάθε x στο σύνολο, ο αριθμός χ+1 ανήκει σε αυτό.


Τώρα, κάθε πραγματικός καλείται ακέραιος αν ανήκει σε κάθε επαγωγικό σύνολο.


Έστω P ένα σύνολο όλων των θετικών ακεραίων. Το P έχει από μόνο του την ιδιότητα να 'ναι επαγωγικό επειδή περιέχει το 1 και το x+1. Από τη στιγμή που το P ανήκει σε κάθε επαγωγικό σύνολο, είναι το μικρότερο επαγωγικό σύνολο. (Χρήσιμο για τη τεχνική της επαγωγής)



Έστω τώρα δύο ακέραιοι , . Έστω n ένας φυσικός (μεγαλύτερος του 2). Χωρίζουμε το διάστημα σε ίσα μέρη. Δηλαδή:

.

Ας καλέσουμε εκείνον από τους αριθμούς για τον οποίο:

και ας καλέσουμε .


Χωρίζουμε πάλι το διάστημα σε ίσα μέρη και ας καλέσουμε εκεινόν από τους αριθμούς για τον οποίο:



Ονομάζουμε κυκλικά

Πάλι το ίδιο επ' άπειρον. Είναι δηλαδή φανερό ότι ο κιβωτισμός όπου , ορίζει τον πραγματικό αριθμό α.

Η τιμή:




Είναι η κατ' έλλειψη τιμή του α με προσέγγιση τάξης κ

Αντίστοιχα η η κατ' υπερβολή με την ίδια προσέγγιση.


Για έχουμε το δεκαδικό μέρος.

Προφανώς μπορούμε να πάρουμε άπειρους τέτοιους α, στο κλειστό .



Στέλιος



PS:

Όταν λέμε για κιβωτισμό ορίζουμε την ακολουθία που κάθε της διάστημα περιέχει όλα τα επόμενά του και αν τα μήκη των διαστημάτων της αποτελούν μηδενική ακολουθία. Δηλαδή πρέπει να ισχύει:

α) Τα διαστήματα να 'ναι κλειστά
β) Πρέπει να ισχύει
γ)

這些蛀蟲是什麼混蛋這些蛀蟲是什麼混蛋傢伙！有點幫助！誰成為現在的學生，請記住，同居與的有人f'ilo/女朋友或您看起來壞主意，謝謝！容易..我ischool...我說，我住雅典...等待...女孩真的真棒...但我和
恭喜複雜的事情...秘書將宣布;

這些蛀蟲是什麼混蛋這些蛀蟲是什麼混蛋傢伙！有點幫助！誰成為現在的學生，請記住，同居與的有人f'ilo/女朋友或您看起來壞主意，謝謝！容易..我ischool...我說，我住雅典...等待...女孩真的真棒...但我和
恭喜複雜的事情...秘書將宣布;

這些蛀蟲是什麼混蛋這些蛀蟲是什麼混蛋傢伙！有點幫助！誰成為現在的學生，請記住，同居與的有人f'ilo/女朋友或您看起來壞主意，謝謝！容易..我ischool...我說，我住雅典...等待...女孩真的真棒...但我和
恭喜複雜的事情...秘書將宣布;

αρα 1+1=2






καποιος



8)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nikoslarissa]

Μου δωσανε τον εξης γριφο:
Το παραδοξο της σανιδας:

https://pantsik.blogspot.gr/2010/09/blog-post_252.html

Τι λετε παιδια?

Μια σκεψη που εκανα που πρεπει να ειναι λαθος ειναι η εξης:

Spoiler

Στην οριακη περιπτωση που η σανιδα ακουμπησει κατω δλδ x (t)= L το Πυθαγωρειο θεωρημα δεν θα ισχυει διοτι δεν θα σχηματιζεται τριγωνο. Ακουσα ομως απο παιδι που ξερει τελεια μαθηματικα οτι μπορει να θεωρηθει εκφυλισμενο. Δηλαδη οριακα για το ορθογωνιο ισχυει το Πθ.

Θα το λυσει ο Dias

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[gth]

Μου δωσανε τον εξης γριφο:
Το παραδοξο της σανιδας:

https://pantsik.blogspot.gr/2010/09/blog-post_252.html

Τι λετε παιδια?

Μια σκεψη που εκανα που πρεπει να ειναι λαθος ειναι η εξης:

Spoiler

Στην οριακη περιπτωση που η σανιδα ακουμπησει κατω δλδ x (t)= L το Πυθαγωρειο θεωρημα δεν θα ισχυει διοτι δεν θα σχηματιζεται τριγωνο. Ακουσα ομως απο παιδι που ξερει τελεια μαθηματικα οτι μπορει να θεωρηθει εκφυλισμενο. Δηλαδη οριακα για το ορθογωνιο ισχυει το Πθ.

x^2(t)+y^2(t)=L^2 (1)=> παραγωγίζεις ως προς t : x'*x(t)+y'*y(t)=0 (2)

όταν το x->L(έστω για t=to>0) , (1)=> y(to)->0 και απο την (2) x'(to)->0 ,οποτε το ζητούμενο κλάσμα για t=to βλάζει 0 προς άπειρο και όχι άπειρο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 845212]

x^2(t)+y^2(t)=L^2 (1)=> παραγωγίζεις ως προς t : x'*x(t)+y'*y(t)=0 (2)

όταν το x->L , (1)=> y->0 και απο την (2) x'(t)->0 ,οποτε το ζητούμενο κλάσμα βλάζει 0 προς άπειρο και όχι άπειρο.

Το προβλημα λεει σε ποιο απο τα βηματα εχει κανει λαθος.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[gth]

Το προβλημα λεει σε ποιο απο τα βηματα εχει κανει λαθος.

Αν όντος είναι αυτό το λάθος στο τελευταίο γιατι λέει ότι το αποτέλεσμα είναι άπειρο ενώ δεν προκύπτει άπειρο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ViPeRMiMiS]

... Απλά δεν πήρε τριβή? (doing doing....)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Μου δωσανε τον εξης γριφο:
Το παραδοξο της σανιδας:

https://pantsik.blogspot.gr/2010/09/blog-post_252.html

Τι λετε παιδια?

Μια σκεψη που εκανα που πρεπει να ειναι λαθος ειναι η εξης:

Spoiler

Στην οριακη περιπτωση που η σανιδα ακουμπησει κατω δλδ x (t)= L το Πυθαγωρειο θεωρημα δεν θα ισχυει διοτι δεν θα σχηματιζεται τριγωνο. Ακουσα ομως απο παιδι που ξερει τελεια μαθηματικα οτι μπορει να θεωρηθει εκφυλισμενο. Δηλαδη οριακα για το ορθογωνιο ισχυει το Πθ.

Ας ξεκινήσουμε με κάποια βασικά πράγματα. Ορίζουμε σύστημα αξόνων Oxy όπως στο σχήμα που δίνεται όπου Ox οριζόντιος άξονας (στον οποίο στηρίζεται η σκάλα) με θετική φορά εκείνη της ταχύτητας v (συμβατικά την επιλέγουμε προς τα δεξιά ώστε να είναι σύμφωνη με το σχήμα) και Oy κατακόρυφος άξονας (στον οποίο επίσης στηρίζεται η σκάλα) με θετική φορά προς τα πάνω.

Όλες οι ποσότητες είναι θετικές ή το πολύ να μηδενίζονται. Δηλαδή x(t)>=0, y(t)>=0 για κάθε t>=0 και v>0.

Επειδή το κάτω άκρο Α(x(t),0) της σκάλας μετακινείται με σταθερή ταχύτητα τότε θα ισχύει x(t)=x0+vt όπου x0=x(0), t>=0. Σε κάθε χρονική στιγμή t>=0, το ύψος του σημείου Β(0,y(t)) στο οποίο στηρίζεται η σκάλα δίνεται από την σχέση y(t)=SQRT[(L^2)-(x(t)^2)], 0<=t<=T. Η χρονική στιγμή T εξηγείται παρακάτω.

Η σκάλα θα συνεχίσει να κατεβαίνει μέχρι τη χρονική στιγμή T για την οποία x(T)=L οπότε y(T)=0. Για t>T το x θα συνεχίσει να μεταβάλλεται με τον ίδιο ρυθμό, όμως το y είναι μηδέν. Δηλαδή y(t)=0 για t>T.

Λύνουμε την εξίσωση x(T)=L και έχουμε:
x(T)=L => x0+vT=L => T=(L-x0)/v

Άρα έχουμε:

x(t)=vt+x0, t>=0

y(t)=SQRT[(L^2)-(x(t)^2)] => y(t)=SQRT[(L^2)-((x0+vt)^2)]=SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)], 0<=t<=T
y(t)=0, t>T

Παρατηρούμε ότι lim(t->T-)y(t)=lim(t->T+)y(t)=y(T)=0 που σημαίνει ότι η y είναι συνεχής στο T

Η ταχύτητα u του Β ισούται με την πρώτη παράγωγο dy/dt της y. Έχουμε:

Για 0<=t<T έχουμε y(t)=SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]. Επομένως
u(t)=y΄(t)=-{[(v^2)t+vx0]/SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]}

Για t>T έχουμε y(t)=0. Επομένως u(t)=y΄(t)=0.

Στη συνέχεια θα εξεταστεί αν η y είναι παραγωγίσιμη στο T.

Για 0<=t<T έχουμε:

[(y(t)-y(T)]/(t-T)]=SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]/[t-((L-x0)/v)]=SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]/(-SQRT{[t-((L-x0)/v)]^2})
[(y(t)-y(T)]/(t-T)]=(-v)SQRT[(L+x0+vt)/(L-x0-vt)]

lim(t->T-)(L-x0-vt)=0 => lim(t->T-)[1/(L-x0-vt)]=+oo
lim(t->T-)(L+x0+vt)=2L>0

Άρα lim(t->T-)[(L+x0+vt)/(L-x0-vt)]=+oo => lim(t->T-)SQRT[(L+x0+vt)/(L-x0-vt)]=+oo => lim(t->T-){(-v)SQRT[(L+x0+vt)/(L-x0-vt)]}=-oo

Επομένως y΄(T-)=lim(t->T-)[(y(t)-y(T)]/(t-T)]=-oo

Για t>T έχουμε:

[(y(t)-y(T)]/(t-T)]=0 => y΄(T+)=lim(t->T+)[(y(t)-y(T)]/(t-T)]=0

Παρατηρούμε ότι y΄(Τ-)=-oo και y΄(T+)=0. Το όριο y΄(T-) υπάρχει και δεν είναι πεπερασμένο ενώ το όριο y΄(T+) υπάρχει και είναι πεπερασμένο. Κατά συνέπεια η y ΔΕΝ είναι παραγωγίσιμη στο T και δεν ορίζεται η ταχύτητα u τη χρονική στιγμή T. Συνεπώς

u(t)=y'(t)=-{[(v^2)t+vx0]/SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]}, 0<=t<T
u(t)=y΄(t)=0, t>T

Θα εξεταστούν στη συνέχεια τα όρια της y΄ όταν το t τείνει στο T

lim(t->T-)[-v(t^2)-vx0]=-vL<0
lim(t->T-)SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]=0 => lim(t->T-){1/SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]}=+oo

Άρα lim(t->T-)y΄(t)=-oo=y΄(T-)

lim(t->T+)y΄(t)=0=y΄(T+)

Το λάθος βρίσκεται στο 8ο βήμα του συλλογισμού. Πραγματικά στο χρονικό διάστημα [0,T) η ταχύτητα του σημείου Β συνεχώς αυξάνεται και γίνεται πολύ μεγάλη (το αρνητικό πρόσημο στο -οο δηλώνει ότι η u έχει φορά προς τα κάτω) όταν το t τείνει στο Τ αλλά δεν γίνεται ίσο με Τ. Συνεπώς στο διάστημα [0,Τ) η ταχύτητα του Β είναι πεπερασμένη.

Τη χρονική στιγμή t=T η ταχύτητα του Β θα γινόταν απεριόριστα μεγάλη (δηλαδή άπειρη) αν το y συνέχιζε να μεταβάλλεται με τον ίδιο ρυθμό. Όμως αυτό δεν συμβαίνει γιατί για t>T ισχύει y(t)=0. Επομένως εκεί που τείνει η ταχύτητα u να γίνει άπειρη, ξαφνικά μηδενίζεται την ίδια χρονική στιγμή. Γι αυτό η ταχύτητα του Β δεν γίνεται άπειρη. Ο λόγος λοιπόν που η ταχύτητα του Β δεν γίνεται άπειρη είναι ότι "την φρενάρει απότομα" η στιγμιαία μεταβολή του y από y(t)=SQRT[(L^2)-(x(t)^2)] σε y(t)=0 την χρονική στιγμή t=T.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Mister No0ne]

Πολυ ενδιαφερον προβλημα!!! κριμα που δεν εχω τις γνωσεις να το προσπαθησω.... Με την ταπεινη φυσικη και μαθηματικα της γ λυκειου εγω θα ελεγα οτι στην αποδειξη στο blog εχει ξεχασει να λαβει υποψην τις τριβες και το βαρος το οποιο προκαλει και ροπη

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Πολυ ενδιαφερον προβλημα!!! κριμα που δεν εχω τις γνωσεις να το προσπαθησω.... Με την ταπεινη φυσικη και μαθηματικα της γ λυκειου εγω θα ελεγα οτι στην αποδειξη στο blog εχει ξεχασει να λαβει υποψην τις τριβες και το βαρος το οποιο προκαλει και ροπη

Όχι δεν έχει ξεχάσει τίποτα. Από φυσικής πλευράς η εκφώνηση ευσταθεί. Εξάλλου εδώ δεν εξετάζουμε τη δυναμική αλλά την κινηματική του φαινομένου. Εννοείται ότι ασκείται μία οριζόντια εξωτερική δύναμη F στο Β (το κάτω άκρο της ράβδου που ακουμπάει στο πάτωμα) έτσι ώστε να μετακινείται με σταθερή ταχύτητα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[stefan87]

ΑΣΚΗΣΗ (σημειωση:χρηση κατω και ανω αθροισματων ολοκληρωματων και ελαχιστες γνωσεις συγκλισης σειρων!)ΕΥΚΟΛΟ!

οποιος θελει ας το λυσει!
​

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Βλα]

ΑΣΚΗΣΗ (σημειωση:χρηση κατω και ανω αθροισματων ολοκληρωματων και ελαχιστες γνωσεις συγκλισης σειρων!)ΕΥΚΟΛΟ!

οποιος θελει ας το λυσει!
​

Δεν κατάλαβα Χριστό!
Μπορείς να τα ξαναγράψεις ή με κάποιον τρόπο να το εξηγήσεις προφορικά;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.